医院选址问题——最短路的实际应用

医院选址问题——最短路的实际应用
摘要：在求医院选址的问题中，将居民点与其之间的距离抽象成图论中的加权简单图。

而所求的“可使距离医院最远的小区居民就诊时所走的路程最
近的小区”，则可已简化为图论中的最短路的模型。

在求解模型时，利
用Floyd算法，通过MATLAB计算。

关键词：最短路；Floyd算法；MA TLAB
问题的提出
已知A 地区的交通网络如图1所示，其中点代表居民区，边表示公路，ij I 为小区间公路距离，问区中心医院建在哪个小区，可使距离医院最远的小区居民就诊时所走的路程最近?
模型的建立
问题的分析
医院选址问题其实是一个求每一个节点到其他节点的最短路的问题。

而所选址则为到其他6个节点最短路中的最小值最小的节点，医院就应该建该节点所对应的居民小区。

简化的模型：
可以将“A 地区交通网络图”看作一个简单图，其中包含有7个节点、9条边。

则可以写出其权矩阵D
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞∞
∞
∞
∞
∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞=15
1518251530601830202560202015203030D 利用Floyd 算法，可以得到每一个节点到其他节点的最短距离。

最短路算法（Floyd 算法）
通过7阶加权简单图的权矩阵D ，然后分别算出矩阵S D D D ,,...,,7]3[]2[，其中
v 1
v 2
v 3
v 5
v 4 v 6
v 7
30
30
60
15
15
20 20
25 18 图1 A 地区交通网络图
]
7[]
2[]
1[]
[...,D
D
D S D D
D
i i ⊗⊗⊗=*=-
则可得ij s 即为从节点i 到节点j 的所有路中距离最小者，即i 到j 的最短路。

其中，定义2种运算如下：
模型的求解
由权矩阵D ，通过Floyd 算法，用MA TLAB 求出了最短路矩阵S ：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=015
63
33
40
30
60
150481825154563480305063933318300203363
402550200205030156333200306045936350300S
则可得S 每个列向量中的最大值向量
()6348
9363506393
通过MATLAB 中的min1函数即可得到求得节点号6，即v6居民区为所求。

)
,min()(,)(,)()2()
,,,min()(,)(,)(12211ij ij ij n m ij n m ij n m ij lj il j i j i ij n
m ij n l jk l m ij b a d d B A D b B a A b a b a b a c c B A C b B a A ==⊗===+++==*===⨯⨯⨯⨯⨯⨯其中规定：已知矩阵其中：规定）已知矩阵（
附录
star.m
function P=star(A,B)
n=7;
P=[inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,i nf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf]; for i=1:n
for j=1:n
for k=1:n
if A(i,k)+B(k,j)<P(i,j)
P(i,j)=A(i,k)+B(k,j);
end
end
end
end
disp(P);
plus1.m
function P=plus1(A,B)
n=7;
P=[inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,i nf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf;inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf]; for i=1:n
for j=1:n
if A(i,j)<B(i,j)
P(i,j)=A(i,j);
else
P(i,j)=B(i,j);
end
end
end
disp(P);
min1.m
function s=min1(S)
n=7;
X=zeros(7);
s=X(1,:);
for i=1:n
s(i)=max(S(:,i));
end
x=min(s);
for j=1:n
if x==s(j)
disp(j);
end
end
>>
D=[inf,30,inf,inf,inf,inf,inf;30,inf,20,inf,inf,15,inf;inf,20,inf,20,60,25,inf;inf,inf,20,inf ,30,18,inf;inf,inf,60,30,inf,inf,inf;inf,15,25,18,inf,inf,15;inf,inf,inf,inf,inf,15,inf]
>> D2=star(D,D);
>> D3=star(D2,D);
>> D4=star(D3,D);
>> D5=star(D4,D);
>> D6=star(D5,D);
>> D7=star(D6,D);
>> S1=plus1(D,D2);
>> S2=plus1(S1,D3);
>> S3=plus1(S2,D4);
>> S4=plus1(S3,D5);
>> S5=plus1(S4,D6);
>> S6=plus1(S5,D7);
>>S=S6;
>> min1(S);。