人教版数学高一人教A版必修1能力强化提升 1-2-1 函数的概念

一、选择题
1．(2012～2013安阳一中奥赛班)下列图形中表示函数图象正确的是( )
[答案] C
[解析] 垂直于x 轴的直线与图象最多只有一个交点，故选C. 2．(2012～2013曲阜二中月考试题)函数y ＝1－x
2x 2－3x －2定义域为( )
A ．(－∞，1]
B ．(－∞，2]
C ．(－∞，－12∩(－1
2，1)
D ．(－∞，－12)∪(－1
2，1]
[答案] D
[解析] 函数y ＝1－x
2x 2－3x －2
有意义满足 ⎩⎪⎨⎪⎧
1－x ≥02x 2－3x －2≠0即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤1x ≠－12且x ≠2∴x ≤1且x ≠－12故选D. 3．给出下列从A 到B 的对应：
①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2 ③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1
x
其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 [答案] B
[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B.
4．下列各组函数相等的是( ) A ．f (x )＝x 2－1
x －1与g (x )＝x ＋1
B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x
C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋x
x
D ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝(t 2－1)2 [答案] D
[解析] 对于A ：f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相等函数；
对于B ：f (x )＝|x |·－2x 与g (x )的对应关系不同，故不是相等函数；
对于C ：f (x )的定义域是R ，g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相等函数； 对于D ：f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相等函数，故选D.
5．有下列等式：
①x －2y ＝2；②2x 2－3y ＝1；③x －y 2＝1；④2x 2－y 2＝4. 其中，能表示y 是x 的函数的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①④ [答案] A
[解析] ①可化为y ＝1
2x －1，表示y 是x 的一次函数；
②可化为y ＝23x 2－1
3
，表示y 是x 的二次函数；
③当x ＝5时，y ＝2，或y ＝－2，不符合函数的唯一性，故y 不是x 的函数； ④当x ＝2时，y ＝±2，故y 不是x 的函数．故选A.
6．(2012～2013惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )
[答案] B
[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B.
7．(2012～2013曲阜一中高一期末检测题)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( )
A ．必有一个
B ．一个或两个
C ．至多一个
D ．可能两个以上 [答案] C
[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 8．已知f (x )＝x x ＋1，则f (2)－f (12)＝( )
A ．1 B.23 C.1
3 D ．－13
[答案] C
[解析] f (2)＝
22＋1＝23，f (12)＝12
12
＋1
＝13，
∴f (2)－f (12)＝23－13＝1
3
，故选C.
二、填空题
9．(2012·全国高考数学广东卷)函数y ＝x ＋1
x
的定义域为________． [答案] [－1,0)∪(0，＋∞) [解析] y ＝
x ＋1x 中的x 满足：⎩⎨⎧
x ＋1≥0
x ≠0
⇔－1≤x <0或x >0. 10．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． [答案] {－1，－2,2}
11．(2012～2013安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2
x 2(x ≠0)，那
么f ⎝⎛⎭⎫12等于________．
[答案] 15
[解析] 令g (x )＝1－2x ＝12得，x ＝1
4
，
∴f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫
g ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142
⎝⎛⎭
⎫142
＝15. 12．下列说法正确的是________．
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； ④对于任何一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同； ⑤f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，这是一个常量． [答案] ①③⑤
[解析] ①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．
②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集．如函数f (x )＝1，x ＝1的定义域为{1}，值域为{1}．
③是正确的；根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．
④是错误的．当x 不同时，函数值y 的值可能相同．如函数y ＝x 2，当x ＝1和－1时，
y 都为1.
⑤是正确的．f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值是一个常量． 三、解答题
13．求下列函数的定义域，并用区间表示 (1)y ＝(x ＋1)2
x ＋1－1－x ；
(2)y ＝
5－x
|x |－3
. [分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≠0
1－x ≥0，
解得x ≤1且x ≠－
1，
即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．
(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧
5－x ≥0
|x |－3≠0
，
解得x ≤5，且x ≠±3，
即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
规律总结：定义域的求法：
(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；
(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 14．已知函数f (x )＝x ＋3＋1
x ＋2
.
(1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (2
3
)的值；
(3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值． [解析] (1)使根式
x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1
x ＋2
有意义的实
数x 的集合是{x |x ≠－2}，
所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋
1
－3＋2
＝－1； f (23
)＝23＋3＋1
2
3
＋2＝113＋38＝38＋333
. (3)因为a >0，故f (a )，f (a －1)有意义． f (a )＝
a ＋3＋1
a ＋2；
f (a －1)＝
a －1＋3＋
1
(a －1)＋2
＝
a ＋2＋
1a ＋1
. 15．已知f (x )＝x
1＋x ，
(1)求f (x )＋f (1
x
)的值；
(2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (7)＋f (1)＋f (12)＋…＋f (1
7)的值．
[解析] (1)f (x )＋f (1x )＝x
1＋x ＋1
x
1＋
1x
＝1＋x 1＋x
＝1.
(2)由(1)可知，f (1)＋f (2)＋…＋f (7)＋f (1)＋f (12)＋…＋f (1
7)＝7.
16．(1)已知f (x )＝2x －3，x ∈{0,1,2,3}，求f (x )的值域．
(2)已知f (x )＝3x ＋4的值域为{y |－2≤y ≤4}，求此函数的定义域． [解析] (1)当x 分别取0,1,2,3时，y 值依次为－3，－1,1,3， ∴f (x )的值域为{－3，－1,1,3}． (2)∵－2≤y ≤4，∴－2≤3x ＋4≤4，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋4≥－23x ＋4≤4，∴⎩⎨⎧
x ≥－2x ≤0，
∴－2≤x ≤0，即函数的定义域为{x |－2≤x ≤0}．。