高考数学备考优生百日闯关系列专题3.4以解析几何中与圆相关的综合问题解析版Word版含解

专题三 压轴解答题
第四关 以解析几何中与圆相关的综合问题
【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在15年高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.
类型一 以圆的切线为背景的相关问题 典例1 已知圆C ：2
2
2430x y x y ＋＋－＋＝．
（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．
（2）从圆C 外一点11()P x y ，向该圆引一条切线，切点为M O ，为坐标原点，且有PM PO ＝，求使得PM 取得最小值的点P 的坐标．
【答案】（1） (2y x =或10x y ++=或30x y +-=；（2）33
(,)105
-． 【解析】
（2）由PM PO ＝得，2222
111111()()1222430x y x y x y +++⇒+=－--=，
即点P 在直线l ：2430x y -+=上，PM 取最小值时，即OP 取得最小值，直线OP l ⊥， ∴直线OP 的方程为20x y +=，
解方程组202430
x y x y +=⎧⎨
-+=⎩，得P 点坐标为33
(,)105-．
【名师指点】圆的切线的应用，往往从两个方面进行考查，一是设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解；二是结合切线长定理与勾股定理求解．
【举一反三】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A ，点(0,2)B ，点(1)C -． （1）求经过A ，B ，C 三点的圆P 的方程；
（2）过直线4y x =-上一点Q ，作圆P 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）圆P 的方程为22
4x y +=；（2）证明过程详见试题解析，定点坐标为(1,1)-．
【解析】
（2）连接,QA QB ，∵过直线4y x =-上一点Q ，作圆P 的两条切线，切点分别为A ，B ， ∴,PA QA PB QB ⊥⊥，∴A ，B 在以PQ 直径的圆上；
设()00,4Q x x -，()0,0P ，则PQ 的中点坐标为004
(
,)2
2x x -， ∴以PQ 直径的圆的方程为2222
000044()()()()2222x x x x x y ---
+-=+，
化简得
()220040
x y x x x y +---=；
因为AB 为两圆的公共弦，所以两圆方程相减即得
()00:440
AB l x x x y +--=，
整理得()0440x y x y +--=，所以0440x y y +=⎧⎨--=⎩
，解得1
1x y =⎧⎨=-⎩，
∴直线AB 恒过定点，且定点坐标为(1,1)-． 类型二 与圆有关的面积问题
典例2 已知圆M 过(1,1)C -，(1,1)D -两点，且圆心M 在20x y +-=上． （1）求圆M 的方程；
（2）设点P 是直线3480x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
【答案】（1）圆M 的方程为22
(1)(1)4x y -+-=；（2）四边形PAMB 面积的最小值为
【解析】
【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，以及弦长公式等，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键． 【举一反三】如图，x DP ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且DP DM 2=，当点P 在圆12
2
=+y x 上运动时．
（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点()t T ,0作圆12
2
=+y x 的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求AOB ∆面积S 的最大值和
相应的点T 的坐标．
【答案】（Ⅰ）14
2
2
=+y x ；（Ⅱ）()3,0-或()
3,0． 【解析】
所以()()
(
)
()
(
)3
3444444122222222
2
122
12+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+--++=
-+-=
t t
k t k t k k y y x x AB ．
因为233
43
342≤+
=
+=
t
t t t AB ，且当3±=t 时，2=AB ，所以AB 得最大值为2． 依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆2
2
1x y +=的半径， 所以AOB ∆面积112
1
≤⨯=
AB S ，当且仅当3±=t 时，AOB ∆面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为()3,0-或者()
3,0
类型三 圆与其他圆锥曲线的结合问题
典例3 已知圆:O 2
2
1x y +=的切线l 与椭圆:C 22
34x y +=相交于A ，B 两点．
（1）求椭圆C 的离心率； （2）求证：OA OB ⊥；
（3）求OAB ∆
面积的最大值． 【答案】（1
（2）详见解析；（3
．
【解析】
【名师指点】圆与圆锥曲线的交汇问题以公共点为基点,派生出弦长问题、中点问题、垂直问题、切线问题、恒过定点问题、定长问题等等,应对不同的题目,会采用不同的方式方法,但总体上仍以设而不求的处理策略为主.常规的策略是数形结合,将数反映的形画出来,结合图形解决问题． 【举一反三】已知圆1C ：2
2
(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．
（1）求动点P 的轨迹W 的方程；
（2）设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若
122OC ON OM =+，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率MN k ；
（3）过点103S ,⎛⎫- ⎪⎝⎭
且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）2212x y +=；（2
）2121MN b b k a a -==-；（3）在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1)． 【解析】
（3）直线l 方程为1
3
y kx =-
，联立直线和椭圆的方程得: 2
21312
y kx x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得22
9(12)12160k x kx +--= 由题意知：点)3
1
,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点， 设).,(),,(2211y x B y x A 则1212
22416
,3(12)9(12)
k x x x x k k +=
=-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点D ,
则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=，即:1212()()0x x y m y m +--= （*） 因为11221
1,33
y kx y kx =-=-
则（*）左边变为2
1212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++
2
1212121111
()()()3333
x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121
(1)()()339
k x x k m x x m m =+-+++++
22
2216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++222218(1)(9615)9(21)
m k m m k -++-=+
()()
()
222218196150921m k m m k -++-∴
=+由假设得对于任意的R k ∈,0DA DB ⋅=恒成立，
即22
1096150
m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =，因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1)．
【精选名校模拟】
1．如图，在直角坐标系xOy 中，圆2
2
:4+=O x y 与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，
AN 分别与圆O 交于M ，N 两点．
（1）若2AM k =，1
2
AN k =-
，求△AMN 的面积； （2
）过点5)P -作圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，求PE PF ⋅； （3）若2AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点． 【答案】（1）516 ；（2）13
528
；（3）见解析 【解析】
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-22248,482k k k k M ，由此能证明直线MN 过定点⎪⎭⎫
⎝⎛-0,32． 试题解析：（1）由题知，得直线AM 的方程为42+=x y ，直线AN 的方程为12
1
--
=x y
所以，圆心到直线AM 的距离5
4=
d ，所以，5
5451642=-
=AM ，由中位线定理知， AN=
558， 由题知1-=⋅AN AM k k ，所以AN ⊥AM ，21=S ⨯⨯554558=5
16
.
2．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-,设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
【答案】（1）3=y 或者01243=-+y x ；（2 【解析】
（2）解：∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为（a,2a-4） 则圆C 的方程为：[]1)42()(2
2=--+-a y a x （2分）
又∵MO MA 2=∴设M 为（x,y 整理得：4)1(2
2=++y x 设为圆D （3分）
∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即圆C 和圆D 有交点
2分）
解得，a 的取值范围为：1分） 3．如图，设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，
112DF F
F ⊥，121||
||F F DF =1
2DF F ∆的面积为
2
. （1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的圆，其方程为2
253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭. 【解析】
从而1DF =
112DF F F ⊥得222
211292
DF DF F F =+=，因此2DF =
所以122a DF DF =+=，故2221a b a c =
=-=
因此，所求椭圆的标准方程为：2
212
x y +=
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点（2，0），且被y 轴所截得的弦长为4． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 1的方程；
（Ⅱ）过点P （1，2）分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交C 1于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ），若120k k +=，且直线AB 与圆2221
:(2)2
C x y -+=相切，求△PAB 的面积．
【答案】（1）2
4y x =；（2）. 【解析】
∴P 到直线AB 的距离d =
△PAB 的面积为
1
||2
d AB ⨯⨯= 5．在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ,抛物线C 的方程为y x 42
=,线段AB 是抛物线C 的一条动弦．
(1)求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ; (2)若4-=⋅,求证：直线AB 恒过定点；
(3)当8=AB 时，设圆)0)1(:2
2
2
>=-+r r y x D （,若存在且仅存在两条动弦AB ,满足直线AB 与圆D 相切，求半径r 的取值范围？
【答案】（1）准线方程：1y =-，焦点坐标(0,1)F ；（2）证明见解析；（3）3r >. 【解析】
（1）准线方程：1-=y +2分 焦点坐标：)1,0(F +4分 （2）设直线AB 方程为b kx y += ,),(),,(2211y x B y x A
⎩⎨⎧=+=y
x b kx y 42 得 0442
=--b kx x ⎩⎨
⎧-==+∴b x x k x x 442121 +6分 416
2
22
1212121-=+=+=⋅x
x x x y y x x 821-=∴x x 84-=-∴b +8分
2=b 直线 2+=kx y 过定点（0，2） +10分
（3）81616122
=++=b k k
AB 2122=++b k k +12分
r k b d =+-=
2
11 +14分 1
11
422
2
+--+=
k k k r 令112
≥+=k t
t t r -=
34 当21<≤t 时， t t r -=3
4
单调递减，30≤<r +15分
当2>
t 时， 3
4
t t r -
=单调递增，0>r +16分 k 存在两解即t 一解 3>∴r +18分
6.
设圆2
2
1:(4C x y +=
与圆2
2
2:(4C x y +=，动圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切． （1）求动圆C 的圆心轨迹L 的方程；
（2
）已知点M ，P 为L 上动点，求2||||MP C P +最小值．
【答案】（1）动圆C 的圆心轨迹L 的方程为2
21(2)
4x y x -=≥；（2）2||||
MP C P +
最小值为4．
【解析】
7．已知12,F F 分别为椭圆221221y x C a b
+=：的上、下焦点,1F 是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与
2C 在第二象限的交点, 且15
||.3
MF =
（1）求椭圆1C 的方程;
（2）与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭1C 于,A B ,若椭圆1C 上一点P 满足
OA OB OP λ+=,求实数λ的取值范围.
【答案】（1）
22
1
34
x y
+=；（2）{|22,0,
λλλλ
-<<≠≠
且且
【解析】
（1）由题知
1
(0,1)
F,所以221
a b
-=,
又由抛物线定义可知
1
5
1
3
M
MF y
=+=,得
2
3
M
y=,
于是易知
2
()
3
M,从而
2
7
3
MF=,
由椭圆定义知
12
24
a MF MF
=+=,得2
a=,故23
b=,
从而椭圆的方程为
22
1
34
x y
+=6分
8．已知F1,F2分别是椭圆E:
2
5
x
+y2=1的左、右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条
直径的两个端点.
(1)求圆C的方程;
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.
【答案】（1）(x-2)2+(y-2)2=4 （2）y-2=0或
【解析】
解:(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.
设圆心的坐标为(x0,y0),
由0
001,20,
22
y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得002,2.x y =⎧⎨=⎩
所以圆C 的方程为(x-2)2+(y-2)2
=4.
9．已知P 为圆()2
2:18A x y ++=上的动点，点()1,0B ，线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交
于点M ，记点M 的轨迹为Γ的方程； （1）求曲线Γ的方程；
（2）当点P 在第一象限，且cos BAP ∠=
时，求点M 的坐标．
【答案】（1）2212
x y +=；（2）． 【解析】
10．已知圆2
2
:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的右焦点F 和上顶点B ．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，求OM OQ ⋅的最大值.
【答案】（1）22
184
x y +=；
（2）【解析】
（2）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx -5分 2
2
18
4y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩得：22(12)8k x +=
，∴2x =. 6分 22(1)(1)2y kx x y =⎧⎨-+-=⎩
得：22
(1)(22)0k x k x +-+=
，∴1x ， 7分 ∴11(
,)22x kx OM OQ ⋅=
⋅22212121(,)()0)2x kx x x k x x k =+=>. 9分
==
设22
21()12k k k k
ϕ++=+，2/
22422()(12)k k k k ϕ--+=+， 令2/
22
422()0(12)k k k k ϕ--+=>+，得1
12
k -<<． 又0k >，∴()k ϕ在1(0,)2
单调递增，在1
(,)2+∞单调递减. 11分
∴当12
k =
时，max 13
()()22k ϕϕ==，即OM OQ ⋅
的最大值为. 13分
法二：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx 5分 2
2
18
4y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩得：22(12)8k x +=
，∴2x =. 6分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅
=222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+
=0)k > 9分
=设1(1)t k t =+>，则222222(1)113
11122122432
24()3()3[()]33
k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.
当且仅当12
,3
t =
即max []OM OQ ⋅=
.
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆
22
:4O x y +=交x 轴于点,A B （点A 在x 轴的负半轴上），点M 为圆O 上一动点，,MA MB 分别交直线4x =于,P Q 两点。

（1）求,P Q 两点纵坐标的乘积；
（2）若点C 的坐标为(1,0)，连接MC 交圆O 于另一点N ．
①试判断点C 与以PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由； ②记,MA NA 的斜率分别为12
,k k ，试探究
12
k k 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说
明理由．
【答案】（1）12-;（2）①点C 在圆外; ②121
3
k k =-． 【解析】
（2）①
(1,0)C ，由（1）知
006(3,
)2y CP x =+，0
02(3,)2y CQ x =-，
∴
0000629322y y CP CQ x x ⋅=+⋅=-+-，即
2PCQ π∠>
，∴点C 在圆内。

②设
11(,)M x y ，
22(,)
N x y ，当直线MN
的斜率不存在时，M
，(1,N ，此时
121
3k k =-
，
当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y k x =-，
代入圆方程224x y +=，整理得
2222
(1)240k x k x k +-+-=， ∴
212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，又212121212121212(1)(2)(2)2()4y y k x x x x k k x x x x x x --+==+++++，
∴22
222122222421111443
411k k k k k k k k k k k --+++==--++++。

12．已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线0532:1=+-y x l 相切，设点A 为圆上一动
点，x AM ⊥轴于点M ，且动点N 满足⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
+=33133，设动点N 的轨迹为曲线C
（1）求曲线C 的方程，
（2）直线l 与直线l ，垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值．
【答案】（1） 22 1.93
x y += ;（2） 23
3
【解析】
（2）由题意可设直线02:=++m y x l ，设直线l 与椭圆13
92
2=+y x 交于),(),,(2211y x D y x B ，
联立方程22
2,
39
y x m x y =--⎧⎨+=⎩得093121322=-++m mx x ， 0
)93(41314422>-⨯-=∆m m ，解得
39
2<m ，
13
31176261246812222
,1m m m m x -±-=
-±-=，
又因为点O 到直线l 的距离5
m
d =，12BD x x =-= 13
)39(313)3117(1331172552122222
m m m m m m S OBD
-=
-=-⋅⋅=∆233≤.（当且仅当2239m m -=即 2
39
2=
m 时取到最大值） OBD ∆∴面积的最大值为233.
13．已知过原点的动直线l 与圆1C :2
2
650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）()3,0；（2）49232
2
=+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-y x ⎪
⎭
⎫
⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34k =±． 【解析】
（2）设线段AB 的中点00(,)x y M ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l .
设直线l 的方程为mx y =（易知直线l 的斜率存在），所以1C 1k m M ⋅=-，00mx y =，所以
130000-=⋅-x y x y ，所以0320020=+-y x x ，即4923202
0=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-y x . 因为动直线l 与圆1C 相交，所以21
32<+m m ，所以5
4
2<
m . 所以202
02
2
054x x m y <=，所以202
00543x x x <-，解得3
50>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以
33
5
0≤<x . 所以),(00y x M 满足49232
02
0=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x
即M 的轨迹C 的方程为492322
=
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-y x ⎪⎭
⎫
⎝⎛≤<335x .
结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤
或3
4
k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当07k -≤<或3
4
k =-时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述，当752752≤≤-
k 或3
4
k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点. 14．已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()2
2
231x y -+-=交于M ，N 两点. （I ）求k 的取值范围；
（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .
【答案】（I ）44,33骣-琪琪桫
（II ）2
【解析】
L
15．如图；.已知椭圆C:22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆
T:
2222)(0),x y r r ++=>（设圆T 与椭圆C 交于点M 、N .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程;
（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点. 试问；是否存在使POS POR S S ∆∆⋅最大的点
P ，若存在求出P 点的坐标，若不存在说明
理由.
【答案】（1）14
22=+y x ；（2）22132)25x y ++=
（；（3）存在 【解析】
试题解析：
解：（1
）由题意知2,c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
解之得；
2,a c =222
c a b =-得b=1，
故椭圆C 方程为14
22
=+y x ；.3分 （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设1111(,),(,)M x y N x y -, 不妨 设10y >, 由于点M 在椭圆C 上，∴2
211
14
x y =-,
由已知
),2(),,
2),0,2(1111y x y x T -+=+=-（则
22111111(2,
)(2,)(2)TM TN x y x y x y ∴⋅=++-=+-
22
2111581
2)(1)()4455x x x =+--=+-（,..6分由于22,x -<<故当185
x =-时，TM TN ⋅取得最小值为
1
5
-, 当185x =-时135y =，故83(,),55M -又点M 在圆T 上，代入圆的方程得213
25r =,故圆T 的方程为：
2213
2)25
x y ++=
（；..8分。