电大复变函数形成性考核册参考答案

复变函数习题总汇与参考答案
第1章 复数与复变函数
一、单项选择题
1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ）
A （ac+bd, a ）
B (ac-bd, b)
C （ac-bd, ac+bd ）
D (ac+bd, bc-ad)
2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）}
A |z|<R
B 0<|z|<R
C R<|z|<+∞
D |z|>R
3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D
4、若A= ，则 |A|=（C ） A 3 B 0 C 1 D 2
二、填空题
1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）
2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）
3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充
2z
z +2z z -i z z 2+i
z z 2-)1)(4()
1)(4(i i i i +--++∞→n lim +∞→n lim
分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题
1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1
|-1-i|=
2、写出复数-i 的三角式。

解：
3、写出复数 的代数式。

解：
4、求根式 的值。

解： ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i
i i i 212312
121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-i i i i -+-11327-)3sin 3(cos 3327)27arg(3
27303π
ππ
π
i e W z i +==-=∴=-=⋅的三次根的值为
四、证明题
1、证明若
，则a 2+b 2=1。

证明：
而
bi a yi x yi x +=+-bi
a yi x yi
x +=+- ||||yi x yi x bi a +-=+∴
2
2||b a bi a +=+11
1
2222222
2=+∴=+∴=++=+-∴b a b a y x y x yi x yi x
3、证明： 证明：
)Re(221222122
1z z z z z z +++=+∴=+=--++-++=-++-+=+∴-=+=-=+=+++=+++=++=++=+)Re(2)(2)()())(())(()
)(())((2112212211122122211221221121212121221z z by ax i ay bx by ax i ay bx by ax bi a yi x yi x bi a z z z z yi x z yi x z bi a z bi a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 则则设)
Re(2212221221z z z z z z ⋅++=+
第2章 解析函数
一、单项选择题
1．若f(z)= x 2-y 2+2xyi,则 2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为（D ）
A B
C D
3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（C ）
A 仅在点z=0解析
B 无处解析
C 处处解析
D 在z=0不解析且在z ≠0解析
4、若f （z ）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C ）
A 解析
B 可导
C 连续
D 不连续
二、填空题
1、若f(z)在点a 不解析，则称a 为f(z)的奇点。

2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。

3、若f(z)=z 2+2z+1，则
4、若 ，则 不存在。

)
()(D z f ='y v x v y u x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且x v x u x v y u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂且y
v
x v y u x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且x
v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂且22)(+=
'z z f )2)(1(7)(--=z z z f =')1(f
三、计算题：
1、设f(z)=zRe(z), 求
解： = 2、设f(z)=e x cosy+ie x siny,求 解：f(z)=e x cosy+ie x siny=e z ,z=x+iy
u=e x cosy v=e x siny
f(z)=u+iv
∴f(z)在复平面解析，且 =e x cosy+ie x siny
3、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=x 3-3xy 2， f(i)=0,试求f(z)。

解：依C-R 条件有Vy=ux=3x 2-3y 2
则V （x1y ）=3x 2y-y 3+c(c 为常数)
故f(z)=x 3-3xy 2+i(3x 2y-y 3+c)=x 3-3xy 2+i(cx 2y-y 3)+ic
=z 3+ic ，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时，
f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0
∆Z -∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z
-∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z ∆Z ∆Z →∆)Re(lim 0z 0)Re(lim 0
=∆Z =→∆z )
(z f 'y e y v x u x cos =∂∂=∂∂ y e y
v y u x sin =∂∂-=∂∂ie y e z f x +='cos )()(z f 'c
x Q xy
uy x Q xy v x Q y y x dy y x v x =∴=-='+=∴+-=-=∴⎰)(6)(6)
(3)33(3222
∴c=1 ∴f(z)=Z 3+i
4、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求f(z)。

解：依C-R 条件有Vy=ux=2y
∴V= =y 2+ϕ(x) ∴Vx=
∴ϕ(x)= V=y 2-x 2+2x+c(c 为常数)
∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x+c)
为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i ∴c=-1
∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x-1)
=-(z-1)2i
四、证明题
1、试在复平面讨论f(z)=iz 的解析性。

解：令f(z)=u+iv z=x+iy
则iz=i(x+iy)=-y+ix
∴u=-y v=x
于是ux=0 uy=-1
Vx=1 Vy=0
∵ux 、uy 、vx 在复平面内处处连接
又Ux=Vy Uy=-Vx 。

⎰ydy 2z x uy x +-=-='2)(ϕ⎰++-=+-c
x x dx x 2)22(2
∴f(z)=iz 在复平面解析。

2、试证：若函数f(z)在区域G 内为解析函数，且满足条件f '（z ）=0，z ∈G ，则f(z)在G 内为常数。

证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z ∈G
∵f(z)在G 内解析，
Ux=Vy, Uy=-Vx
又f '（z ）=0, f '（z ）=Ux+iVx
Ux=0 Vx=0
Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0
U 为实常数C 1，V 也为实常数C 2，
f(z)=C 1+iC 2=Z 0
f(z)在G 内为常数。

复变函数课程作业参考解答2
第3章 初等函数
一、单项选择题
1. z = ( A ) 是根式函数
n z w =的支点. (A) 0 (B) 1
(C) π (D) i
2. z = ( D ) 是函数z w ln =的支点.
(A) i (B) 2i
(C) -1 (D) 0
3. e i =( B ).
(A) e -1+e (B) cos1+isin1
(C) sin1 (D) cos1
4. sin1= ( A )
(A) i e e i i 2-- (B) i e e i
i 2-+
(C) 21--e e (D) 21
-+e e
二、填空题 1. cosi = 21e
e +-
2. i e +1= e(cos1+isin1)
3. lni =i 2π
4. ln(1+i) = )24(221ππk i Ln ++k 为整数.
三、计算题
1. 设z=x+iy ，计算2
z e .
解:
xyi y x iy x z 2)(2222+-=+= ∴
xy i y e e x z 222
2⋅+-= )]]2sin()2)[cos(ex p[(22xy i xy y x +- ∴
2z e =22y x e - )exp(2z = 22y x e -
2. 设z = x+iy, 计算)Re(1z
e . 解: ∵ z = x+iy
∴ 222211y x y i y x x iy x z +-+=+= ∴ )sin (cos 1222222y x y i y x y y x x z e
e +-++=
∴ 2221
cos )Re(22y x y
e e y x x +=-
3. 求方程i z π=ln 2的解. 解: ∵ lnz =2/πi
∴ 由对数函数的定义有: Z=i i e i =+=2sin 2cos 2/π
π
π
∴ 所给方程的解为z = i
4. 求方程i e z 31+=的解.
解: ∵
)3sin 3(cos 231ππi i e z +=+= =)3sin 3(cos 2π
πi e Ln + 根据指数函数的定义有:
z=n2+i 3/π 或z=n(1+i 3)
四、证明题
1. 试证: z z z cos sin 22sin ⋅=.
证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：
i e e z iz
iz 22sin 22--=
222cos sin 2iz
iz iz e e i iz e z z -+⋅
-=
i e e iz
iz 222⋅-⋅-=
∴ sin2z=2sinz ·cosz
2. 证明:
x
n x x
n nx x x 2sin 2sin 21
sin
sin 2sin sin ⋅+=
+++ .
证明: 令A=nx x x cos 2cos cos 1++++ B=sinx+sin2x+…sinnx
∴ inx
x i ix e e e Bi A ++++=+ 21
2
2)1(12
1
111x i iz ix
x
n i e
x n e e e -+-=
--=
+
x n i x i x n i
e x x n e
x i xe
n i 22
2
1
2sin 21
sin 2sin 221sin 2⋅+=
+=⋅+
=
)
2sin 2(cos 2sin 21sin
x n i x n x x
n ++
∴
x
n x x
n x x x 2sin 2sin 21
sin
sin 2sin sin +=
+++
第4章 解析函数的积分理论
一、单项选择题 1.
=
⎰c
dz 2( D ) , c 为起点在0 , 终点在1+i 的直线段.
(A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i) 2.
⎰==1
)
(sin z A zdz .
(A) 0 (B) 10i π
(C) i (D) 123+i
3.
⎰==5
)(5
z B dz z
(A) i (B) 10i π (C) 10i (D) 0
4.
⎰=-32)
23(sin 2z z z =( A ). (A)
23
cos
4⋅i π (B) i π4
(C) i π2 (D) i π2- 二、填空题
1. 若)(z f 与)(x g 沿曲线c 可积，则⎰⎰⎰+=+c
c
c
dz
z g dz z f dz z g z f )()()]()([.
2. 设L 为曲线c 的长度, 若f(z)沿c 可积, 且在c 上满足M z f ≤)(,则
ML
dz z f c
≤⎰)(.
3. ⎰=1
77i
zdz
4.
e
e zdz i i
-=⎰-0
1cos 2
三、计算题 1.计算积分⎰c
zdz
Im ,其中c 为自0到2+i 的直线段.
解: c 的方程为:
)10()()(≤≤+==t t i z t z z 其次由t i t z z yi x )2()(+===+得 t z =Im dt i dt t z dz )2()(+='= ∴
⎰⎰+=c
tdt i zdz 1
)2(Im
=
⎰+1
)2(tdt
i
=i
211+
2. 计算积分⎰=+-+1
212102sin z z dz z z z
e .
解:
⎰=+-+1
212102sin z z dz z z z
e =
⎰=--+1
)3)(2(2sin z z dz z z z
e
作区域D:1≤z 积分途径在D 内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D 内,所以被积函数在D 内解析. 由定理4.2得:
⎰=+-+1
212102sin z z dz z z z
e =0
3. 计算积分
⎰=--c
z c dz z z 41
:,)1)(1(132.
解: ⎰
--c dz z z )1)(1(1
32
∵ 奇点z=1和z=-1不在区域D,1<z 内
013
=-z 的三个根2,1,0,3
2==k e
z ik k π也不在D 内
∴ 由定理4.2 得
⎰
--c dz z z )1)(1(1
32=0
4. 计算积分⎰c z
dz z e 5, 5:=z c .
解: 由定理4.6得
0)
4(5])[(!42==⎰z z c z e i dz z e π
=12i
π
四、证明题 1. 计算积分⎰=+1
21z dz z ，并由此证明0
cos 45cos 210
=++⎰θθθ
d n
.
证明：∵
21
)(+=
z z f 在圆域
|z|≤1内解析 ∴
⎰=+1
21z dz z =
⎰==+1
021
z dz z
另一方面,在圆|z|=)2)(sin (cos 1≤≤+⋅θθθz i
∴
⎰=+1
21z dz z =⎰-+++π
πθθϑθ)sin (cos 2sin cos 1
i d (实部和虚部为0)
=
⎰⎰-
--+++-++-=+++-π
π
ππθ
θθθθθθθθθϑθθθd i i i i c d i ]sin )cos 2][(sin )cos 2[(]
sin )cos 2[(cos sin 2sin cos cos sin
=θθθθθθπ
πd i ⎰-+++++-sin cos cos 44)1cos 2(sin 2
=dz i ⎰-+++-π
πθθθcos 45)cos 21(sin 2
=θθθθθθ
πππ
πd i d ⎰⎰--++++-cos 45cos 21cos 45sin 2
∵
⎰=+1
21z dz z =0 ∴0cos 45sin 2=+-⎰-θθθ
π
πd
∴ 0cos 45cos 21=++⎰-θθθ
π
πd 而θθ
cos 45cos 21++为偶函数 ∴0=θθθ
π
πd ⎰-++cos 45cos 21
=θ
θθπ
d ⎰
++0
cos 45cos 212
∴
cos 45cos 210
=++⎰
θθθ
π
d
复变函数课程作业参考解答3
第5章 解析函数的幂级数表示
一、单项选择题
1. 幂级数∑∞
=0
n n
z
的收敛半径等于( B )
( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 3 2. 点z=-1是f(z)=51052
++z z
r ( B )级零点.
( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 级数∑∞
=0
n n
z
的收敛圆为( D ).
(A) | z-1|< 3 (B) |z|<3 (C) |z-1| >1 (D) |z| <1
4. 设f(z)在点a 解析, 点b 是f(z)的奇点中离点a 最近的奇点,于是,使f(z)=∑∞
=-0
)(n n
n
a z c
成立的收敛圆的半径等于( C ).
(A) a+b+1 (B) b-a+1 (C) |a-b| (D) |a+b| 二、填空题
1.级数1+z+⋯
⋯++⋯⋯+!!22n z z n
的收敛圆R=+∞．即整个复平面．
2.若f(z)= sinz k ⋅(k 为常数),则z=m π(m=0, 2,1±±……)为f(z)的 1 级零点.
3.幂有数∑∞
=0
!n n
z
n 的收敛半径等于 0 .
4.z=0是f(z)=e z -1的 1 级零点.
1.将函数f(z)=()()[]1
21-+-z z 在点z=0展开幂级数.
解: f(z)=
()()2116131213111312111
1110z z z z z z z z n n +--=+--⋅
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-∑+∞= =-
∑∑∑∞+=∞+=∞+=⎪
⎭⎫
⎝⎛---=⎪⎭⎫
⎝⎛--⋅-000
2613121161
31n n
n n n n z z z z 1<z
2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成幂级数. 解：()
()[]
'
-=-=--12
11f(z)z z 而(1-z)-1=∑+∞
==-011
n n z z
()
[
]∑∑+∞
=-+∞
=--='='
-=-∴0
1
1
2
))((1)
1(n n n n
nz
z z z
=∑+∞
=+0)1(n n
z
n 1<z
3．将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成幂级数.
解：f(z)=(z+2)-1=[]3)
1(11
)1(3113121---⋅
=---=-+=+z z z z
=∑∑∞+=∞+=-⋅-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--⋅003)1()1(313)1(31n n n
n n n
z z 31<-z 4．将函数f(z)=e z 在点z=1展开成幂级数. 解： f(z)=e z f (n)=e z ()e f
n =∴1)
(
n n n z z n f e )1(!f(z)0
)
1()
(-⋅==∴∑
∞
+=
＝∑+∞
=-0)1(!n n z n e
1．证明:1-e i2z=-2isinze iz
证：e iz=cosz+isinz
∴e-iz=cos-isinz
∴e iz-e-iz=2isinz
∴-2isinz=-( e iz-e-iz)
= e iz-e-iz
∴-2isinz e iz
=( e-iz- e iz) e iz
=e0- e2iz=1- e2iz
2．试用解析函数的唯一性定理证明等式:
cos2z= cos2z-sin2z
证①f1(z)=cos2z,则f1(z)复平面G解析
设f2(z)＝cosz－sin2ｚ，则f2(z)也在整个复平面G解析
②取E=K为实数轴,则E在G内有聚点.
③当E为实数时,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)= f2(z) ∴由解析函数唯一性定理,由以上三条知
Z∈成立
f1(z)= f2(z) G
Z∈
即cos2z= cos2z-sin2z G
第6章解析函数的罗朗级数表示
一、单项选择题
1．函数f(z)=231
2+-z z 在点z=2的去心邻域( D ) 内可展成罗朗级数.
(A) 0<3<z (B) 0<51<-z (C) 1<31<-z (D) 0<12<-Z 2．设点α为f(z)的孤立奇点，若α
→z z Iimf )
(=c ()∞≠，则点α为f(z)的
( C ).
(A) 本性奇点 (B) 极点 (C) 可去奇点 (D) 解析点
3．若点α为函数f(z)的孤立奇点，则点α为f(z)的极点的充分必要条件是( D ). (A) ∞
→z Iimf
f(z)=c(∞≠) (B)
∞→z Iim
f(z)=∞ (C)
α
→z Iim
f(z)=c(∞≠) (D)
α
→z Iim
f(z)=∞
4．若点α为函数f(z)的孤立奇点，则点α为f(z)的本性奇点的充要条件是（ B ）. (A) ∞
→z Iim
f(z)= c(∞≠) (B) α
→z Iim
f(z)不存在 (C)
α
→z Iim
f(z)=c(∞≠) (D)
α
→z Iim
f(Z)=∞
二、填空题 1．设∑+∞
-∞
=-n n
n
z c
)
(α为函数f(z)在点α的罗朗级数,称n
n n
a z c
)(1
-∑--∞
=为
该级数的主要部分.
2.设点α为函数f(z)的奇点,若f(z)在点α的某个 某个去心邻域
εα<-z 内解析,则称点α为f(z)的孤立奇点.
3.若f(z)=z e +14
，则点z=0为f(z)的 0 级极点. 不是极点,若f(z)= z e +14
则z=0为f(z)的一个极点.
4.若f(z)=(sin 21
)-1,则点z ＝0为f(z)非孤立 奇点.
三、计算题
1．将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数.
解: f(z)=21-z = - z -21= -n
n
n n n
n z z z 2
)1(21)2(212112100∑∑∞=∞=--=--=--
2．将函数f(z)＝12
-z z 在点ｚ＝１的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)=11
1211111)1)(1(1111
22-+
-+=-++=-++-=-+-=-z z z z z z z z z z z 3．试求函数f(z)=z -3·sinz 3的有限奇点,并判定奇点的类别. 解: 3
sin z 解析,无奇点,∴f(z)的有限奇点为z=0. 并且为3阶极点.
4．试求函数f(z)=[z ()2
1z -]-1的有限奇点，并判定奇点的类别.
解: f(z)的m 阶奇点即
)
(1
z f 的阶零点,而
)1)(1()1()(1
2z z z z z z f +-=-=零点为z=0，z=1，z=-1，且均为1阶
零点。

[]
1
2)
1()(--=∴z z z f 的有限奇点为z=0，z=1,z=-1且均为1阶极点.
四、证明题
1．设f(z)=[]1
33)1(8--z e z ,试证z=0为f(z)的6级极点.
证:要证z=0为f(z)的6级极点,只需证z=0为)1(8)(133g e z z f z =的6阶零点即可. 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋯⋯+⋯⋯++++=-=1)(3)(2)(18)1(8)
(13
333233333n ！z ！z ！z z z e z z f z =8z 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯++!2)(233Z z =8z 6⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⋯+++-!!3211
3233n ）（z ）（z ！z n
令⋯⋯+++=！）（z ！z （z）3212
33ϕ
则00≠）（ϕ 0=∴z 为)(1
z f 的6阶零点
∴z=0 为f(z)的6级极点.。