【学海导航】高三数学第一轮总复习 3

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75 2
.
点评：等比数列是指数型函数，其指数的
变化恰好是成等差数列变化的，即对一正项等
比数列求对数后，就构成了一个新的等差数列.
拓展练习 已知等差数列{an},a2=9,a5=21.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的公差为d.
所以q=
1 2
.
从而an=(
1 2
)n(n∈N*).
题型4 等比数列与等差数列交汇 2. 已知等比数列{bn}与数列{an}满足 bn=3an(n∈N*). (1)若a8+a13=m,求b1b2…b20; (2)若b3·b5=39,a4+a6=3,求b1b2…bn的最大值. 解：(1)易证得{an}是以log3q为公差的等差数 列(q为等比数列{bn}的公比). 又a8+a13=m， 所以b1b20=3a1·3a20=3a1+a20=3m， b2b19=3a2+a19=3m，b10b11=3a10+a11=3m，… 所以b1b2…b20=(b1b20)10=310m.
是等比数列.
2. 一个等比数列的奇数项，仍组成一个等
比数列，它的公比是原数列公比的二次幂.
3. 若{an},{bn}为等比数列,则{λan}(λ≠0),
{|an|}，{ 数列.
1 a
n
}，{an2}，{manbn}(m≠0)仍为等比
4. 解题时，应注意等比数列性质的应用，
以减少运算量而提高解题速度.
所以数列a1，a3，a5，…，a2n-1，…和a2，
a4，a6，…，a2n，…都是公比为q的等比数列.
当q≠1时，Sn (a1 a3 a2n-1)(a2 a4 a2n)
1-qn 2(1-qn) 3(1-qn) (q 1). 1-q 1-q 1-q
又bn=a1qn-1+a2qn-1=3qn-1，
所以an+2-2an+1=2(an+1-2an). 又bn=an+1-2an，所以bn+1=2bn.① 由S2=4a1+2，a1=1，得a1+a2=4a1+2， 解得a2=5，则b1=a2-2a1=3.② 由①和②知，数列{bn}是首项为3，公比 为2的等比数列，故bn=3·2n-1.
(2)证明：因为c n
4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。
5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。
6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/192022/1/192022/1/191/19/2022第三章来自数列3.3
等比数列
第二课时
题型3 等比数列性质的应用
1.
等比数列{an}的公比为
1 3
,前n项和为Sn,
n∈N*.若S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,则其公比为( )
A. ( 1 )2
3
C. 1
3
B. ( 1 )6
3
D. 2
3
解:设{an}的公比为q,首项为a1.由S2=a1+a1q,
(2)由b3·b5=39，得a3+a5=9.又a4+a6=3，
所于以是db =1 b -2 3，b an 1 =(b 2 21 7b ，n )n 2 所 以(3 a 1 a na n )2n 2 27 3 (n-2 3 -( 1n )2 (-- 31 ).0 n ),
所以，当n=5时，b1b2…bn取得最大值
-1)
.
题型5
等比数列中的探究性问题
3. 已知数列{an}中，Sn是其前n项和，并 且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1.
(1)设数列bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求证： 数列{bn}是等比数列；
{cn}是(2)等设差数数列列cn；= 2a
n n
(n=1,2,…)，求证：数列
a2=2，且数列{anan+1}是公比为q的等比数列.设 bn=a2n-1+a2n，数列{bn}的前n项和为Sn，试推断 是否存在常数k，使对任意n∈N*都有Sn=2bn+k 成立？若存在,求出k的值；若不存在,说明理由.
解：由已知 即 an1 an2 q,
an an1
a n2 q , an
所以
Sn
3(1
q3bn)
1-q
qq-1bn
3. 1-q
因为Sn=2bn+k，所以
q
q -
1
2,
得q=2，
所以 k 3 3 -3 .
1-q 1-2
当q=1时，a2n-1=1，a2n=2，
从而bn=3，Sn=3n，不满足题设条件，
故k=-3为所求.
1. 在等比数列中，每隔相同的项抽出来
的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然
(3)求数列{an}的通项公式及前n项和.
解：(1)证明：由Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2，
两式相减，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，
即an+2=4an+1-4an. (根据bn的构造，如何把该式表示成bn+1与 bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形 能力的训练.)
an 2n
(n
N
*),
为
3 4
所 又的以c等1 c差an211数-c12n列,2a故，nn11数所-2ann列以c{ancnn21}n-是3421ann首- 14 项2.bnn1为3122n2n1，-1 公43.差
(3)因为 c n
an 2n
,
又 cn
3 4
n
-1 , 4
所以
an 2n
3n 4
-
1 4
,
所以 a n ( 3 n - 1 ) 2 n - 2 .
当n≥2时，Sn=4an-1+2=2n-1(3n-4)+2；
当n=1时，S1=a1=1也适合上式.
综上可知,所求的前n项和为Sn=2n-1(3n-4)+2.
点评：1.本例主要复习用等差、等比数 列的定义证明一个数列为等差、等比数列， 求数列的通项公式与前n项和.解决本题的关 键在于由条件Sn+1=4an+2得出递推公式.
2.解综合题要总览全局，尤其要注意上 一问的结论可作为下面论证的已知条件，在 后面求解的过程中适时应用.
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1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。
立足教育 开创未来
2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。
依题意得方程组
a1 a1
d 4
9 d
2
1
,
解得
a d
1
5 4
.
所以数列{an}的通项公式为an=4n+1.
(2)由an=4n+1，得bn=24n+1，
所以数列{bn}是首项为b1=25,公比q=24的等比数列,
于是得数列{bn}的前n项和
Sn
25
(24n -1) 24 -1
32 (24n 15
7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/192022/1/19January 19, 2022
8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/192022/1/192022/1/192022/1/19
拓展练习 已知数列{an}满足：a1=1，
S4-S2=q2(a1+a1q),S6-S4=q4(a1+a1q),及S2,S4-S2,S6-
S4成等比数列,可得其公比为q2=(
1 3
)2，故选A.
点评：等比数列有着许多同构性质，如①
{an}是等比数列，则{a2n}也是等比数列，{akn+b} 也是等比数列；②Sn是等比数列{an}的前n项的 和，若Sm≠0，则数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，… 成等比数列.
拓展练习 设正项等比数列{an}的首项
a1=
1 2
，前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+
S10=0，求数列{an}的通项公式.
解：由已知得210(S30-S20)=S20-S10，
即210·q10(S20-S10)=S20-S10.
因为an＞0,所以S20-S10≠0,所以210·q10=1，