2013届高三数学下学期(3月)统一练习(一)理(丰台一模,含解析)

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）
数学（理科）
一、选择题 1.复数z=
1
i i
-在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 【答案】A 【解析】
211111i i
i i i i
-=-=-=+,所以复数对应点的坐标为(1,1)，为第一象限，选A. 2. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则
3
1
S a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【答案】B
【解析】在等比数列中，由3420
a a +=得4
3
2a q a =-=，所以
331118311(2)
S q a q -+===---，选B. 3. 执行右边的程序框图，输出k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【答案】A
【解析】第一次循环，2,03b
a a
=
=，不满足条件，循环，此时22,3k b ==。

第二次循环，22832(),394b a a =⨯==，不满足条件，循环，此时8
3,9
k b ==。

第三次循环，3283(),139b
a a
=⨯==，满足条件，此时输出3k =。

选A.
4．已知变量,x y 满足约束条件1
101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
，则2x y
e +的最大值是
(A) 3
e (B) 2
e (C) 1 (D) 4
e - 【答案】B
【解析】作出可行域如下图阴影所示：由11x y x y +=⎧⎨
-=⎩得1
x y =⎧⎨=⎩，所以B (1,0)，令z=2x+y ，则
当直线y=﹣2x+z 经过点B 时该直线在y 轴上的截距z 最大，z max =2×1+0=2，所以2x y
e +的最大
值是e 2
．选B ．
5.已知命题p:(0,),32x
x
x ∀∈+∞>；命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是
(A) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B
【解析】由题意可知命题p ：(0,),32x x
x ∀∈+∞>，为真命题；而命题q ：(,0),32x x x
∃∈-∞>为假命题，即q ⌝为真命题，由复合命题的真假可知p ∧（q ⌝）为真命题，选B.
6. 已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是
(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 26 【答案】C
【解析】设2
()6f x x x a =-+，其图象是开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所
示．关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有
且仅有3个整数，则(2)0(1)0f f ≤⎧⎨
>⎩，即(2)4120
(1)160
f a f a =-+≤⎧⎨=-+>⎩，解得58a <≤，又a Z ∈，所
以6,7,8a =。

则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21．选C ．
7. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是
(A) y=f(x)是区间(0,)+∞上的减函数，且x+y 4≤ (B) y=f(x)是区间(1,)+∞上的增函数，且x+y 4≥ (C) y=f(x)是区间(1,)+∞上的减函数，且x+y 4≥ (D) y=f(x)是区间(1,)+∞上的减函数，且x+y 4≤ 【答案】C
【解析】由lg()lg lg x y x y +=+，得00x y x y xy >>⎧⎨+=⎩
，，因为2
()2x y x y xy ++=≤，解得
4x y +≥．由：x y xy +=得111
()1(1)111
x x y f x x x x x -+====+≠---，．则函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以选C.
8．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C
与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积
(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 【答案】D
【解析】由题意可得：动圆圆心(,)C a b 的轨迹方程为y 2
=4x ．即b 2
=4a ，2
4
b a =．因为动圆C
与直
线1y x =+总有公共点，所以圆心C 到此直线的距离1d r a ≤=+，所
以
1a ≤+，又24
b a =，上式化
为22
(1)2(1)24b b -+≤+，化
为
21)41)0b b +-≥。

解得2b ≥
或(6b ≤-+。

当2b =时，a 取得最小值1，
此时圆C 由最小面积π×（1+1）2
=4π．选D ．
O
P
D
F
E
二 填空题
9.在平面直角坐标系中，已知直线C 1:1x t y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数）被圆C 2:cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩(θ是参数）
截得的弦长为 ； 【答案】2
【解析】圆C 的标准方程为2
2
1x y +=，圆心为（0，0），半径为1，直线l 的方程为10x y +-=，圆心到直线l 的距离12d =，直线l 与圆C 相交所得的弦长为2
121()22
-=．
10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在
[70,80)内的人数是________。

【答案】30
【解析】由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人。

11．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若23,1PF PD ==，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= .
315°
【解析】因为直线PD 切⊙O 于点D ，PO 交⊙O 于点E ，F ．
所以PD 2
=PE•PF，可得1(23)PE =⋅+，所以2323
PE =
=+
由此可得23EF PF PE =-=.因为O 是圆心，EF 经过点O ，所以直径EF=2，可得⊙O 的半径为r=。

因为∠EDP=∠DFP ，∠P 是公共角，所以△EDP ∽△DFP ，
可得=23-。

因为EF 是⊙O 直径，所以DE ⊥DF 。

因此，Rt △DEF 中，tan ∠DFP==23-
结合∠DFP 是锐角，得∠DFP=15°，即∠EFD=15°。

12.在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅= .
【答案】-1
【解析】B 为原点，以BC 、AB 所在直线为x 、y 轴，建立如图所示直角坐标系，
可得A （0，1），B （0，0），C （2，0），D （1，1）。

因为E 是CD 的中点，所以点E 的坐标为31
(,)22
E .所以31(1,1),(,)22CD BE =-=,可得3131
(1,1)(,)12222
CD BE ⋅=-⋅=-
+=-.
13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是
_______.
【答案】25
【解析】由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC 为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面PBC ．因为PO ⊥底面ABC ，所以平面PAC ⊥底面ABC ，而BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥AC ． PC=
．
．
．
所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是25+．
14. 已知M 是集合{}1,2,3,
,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有
2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，
则(2)f = ；()f k = 。

【答案】3，21k -
【解析】将1，…2k﹣1分为k 组，1和2k ﹣1，2和2k ﹣2，…k﹣1和k+1，k （单独一组）
每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M 。

每组属于或不属于M ，共
两种情况，M 的可能性有2k 排除一个空集M 的可能性为21k
-。

所以()21k
f k =-，
2(2)213f =-= 。

三、解答题
15. 已知函数2
2
()(sin cos )2cos .f x x x x =+- （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44
ππ上的值域. 16．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，
NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN; （Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求
ME
MN
的值. N
C
D
M
E
17．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。

18.已知函数1
()f x x a
=
+，2()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()
()()
g x x f x ϕ=的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。

19． 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2
)，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。

20． 设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：
① 1230n a a a a +++
+=；
② 1231n a a a a +++
+=.
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，
试证：（1）2
1≤k S ； （2）
1
11.22n
i
i a i
n
=≤
-∑
丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）
数学（理科）参考答案
一、选择题
二
填空题
； 10. 30； 11．15° （第一个空2分，第二个空3分）； 12. -1；
13. 2； 14. 3，21k
-(第一个空2分，第二个空3分)。

三、解答题
15. （本题13分）已知函数
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44
ππ上的值域. 解：（Ⅰ）2()1sin 22cos )4
f x x x x π
=+-=-， (3)
分
∴
最小正周期
T=π, …………………………………………………………………………………4分 单
调
增
区
间
3[,]()88k k k Z π
π
ππ-
+
∈, …………………………………………………………7分
（Ⅱ）33,24422x x ππππ
≤≤∴≤≤
，
52444x πππ
∴≤-≤
， ………………………………………………………………………………10分
∴()f x 在
3[,]44
ππ
上的值域是
[-. ………………………………………………………13分
16．（本题14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面
ABCD ，NB ∥MD ，且1=NB ，MD=2； （Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;
（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求ME
MN
的值. 解：（Ⅰ）∵ABCD 是正方形, ∴BC ∥AD.
∵BC ⊄平面AMD,AD ⊂平面AMD, ∴BC ∥平面AMD. ∵NB ∥MD,
∵NB ⊄平面AMD,MD ⊂平面AMD, ∴NB ∥平面AMD. ∵NB BC=B,NB ⊂平面BCN, BC ⊂平面BCN,
∴
平
面
AMD ∥
平
面
BCN …………………………………………………………………………………3分 ∵AM ⊂平面AMD, ∴AM ∥
平
面
BCN …………………………………………………………………………………………4分 (也可建立直角坐标系，证明AM 垂直平面BCN 的法向量，酌情给分) （Ⅱ）⊥MD 平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以，可选点D 为原点，DA,DC,DM 所在直线分别
为
x,y,z
轴
，
建
立
空
间
直
角
坐
标
系
（
如
图）…………………………………………………………………5分 则()0,0,2A ，()2,0,0M ，()0,2,0C ,()1,2,2N .
∴)1,2,0(=AN , ………………………………………6分
)1,2,2(-=MN ，)2,2,0(-=MC ,
设平面MNC 的法向量()z y x n ,,=,
则⎩
⎨⎧=-=-+0220
22z y z y x ，令2=z ，则()1,2,2,n =- … 7分 设AN 与平面MNC 所成角为θ,
∴55
23
52122cos sin =
⨯⨯+⨯=
=θ. ……9分 （Ⅲ）设(,,)E x y z ，ME
MN
λ=，ME MN λ∴=，
又
(,,2),(2,2,1)ME x y z MN =-=-，
∴
E
点
的
坐
标
为
(2,2,2)λλλ-， …………………………………………………………………11分
AD ⊥面MDC,AD MC ∴⊥，
欲使平面ADE ⊥平面MNC ，只要AE MC ⊥，
(22,2,2),AE λλλ=--(0,2,2)MC =-，0AE MC ⋅=42(2)0λλ∴--=，
2
3
λ∴=
∴23
ME MN =. ………………………………………………………………………………14分
17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。

抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。

解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ……………………………………………………1分
则P （A ）=211
4222116441
10
C C C C C C ⋅⋅=，
答：甲和乙都不获奖的概率为
1
10
. …………………………………………………………………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………………………6分
P(X=0)=3
8, P(X=400)= 2526311448C C ⋅⋅=, P(X=600)= 2526131448
C C ⋅⋅=,
P(X=1000)=12552266113
448
C C C C +⋅⋅= , …………………………………………………………………
…10分 ∴X 的分布列为
…………………………………11分 ∴E(X)=0×38+400×18+600×18+1000×3
8
=500(元). 答
:
甲
获
奖
的
金
额
的
均
值
为
500(元). ……………………………………………………………13分
18. （本题13分）已知函数1()f x x a
=
+，2
()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数()
()()
g x x f x ϕ=
的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值. 解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x ≠-a}，……………………………………………………………1分 则
2
1
()()()23()
h x f x g x bx x a '''=-=-
--+， …………………………………………………3分
h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，
∴(1)0,(1)0.h h =⎧⎨'=⎩即2
1
30,11230.(1)
b a b a ⎧--=⎪+⎪⎨⎪---=+⎪⎩,解得0,2,a b =⎧⎨=-⎩或4,36.a b ⎧
=-⎪
⎨⎪=-⎩……………………6分
(Ⅱ)记ϕ(x)=
()()
g x f x ，则ϕ(x)=(x+a)(bx 2
+3x)(x ≠-a),
ab=8，所以8b a =，∴2
8()()(3)x x a x x a ϕ=++(x ≠-a), ∴2211
()(24223)(43)(6)x x ax a x a x a a a
ϕ'=++=++,
令()0x ϕ'=，得34x a =-，或1
6
x a =-, (8)
分
因为[)3,a ∈+∞，∴所以31
46
a a -
<-， ∴故当34x a <-，或16x a >-时，()0x ϕ'>，当31
46
a x a -<<-时，()0x ϕ'<，
∴函数ϕ(x)的单调递增区间为31
(,),(,),(,)46
a a a a -∞----+∞，
单
调
递
减
区
间
为
31
(,)46
a a --, ……………………………………………………………………10分 [3,)a ∈+∞,∴39
44a -≤-,1
62
a -≤-，
① 当26
a
-≤-，即12a ≥时, ϕ(x)在[-2,-1]单调递增,
∴ϕ(x)在该区间的最小值为64
(2)446a a
ϕ-=-+-， (11)
分
② 当216a
-<-<-时,即612a <<, ϕ(x)在[-2,
6a -)单调递减, 在(,1]6
a
--单调递增，
∴ϕ(x)在该区间的最小值为()6a ϕ-=2
25108
a -，
………………………………………………12分 ③当16
a
-
≥-时,即36a ≤≤时, ϕ(x)在[-2,-1]单调递减, ∴ϕ(x)在该区间的最小值为8(1)113a
a
ϕ-=-+-， (13)
分
综上所述，当36a ≤≤时，最小值为8113a a -+-；当612a <<时，最小值为2
25108
a -；当12a ≥时，最小值为64
446a a
-
+-. （不综述者不扣分）
19．（本题13分）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过点P(2)，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A 、B 。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在k 的值，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3），若存在求出 k 的取值范围，若不存在，请说明理由。

解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b
+=()0a b >>，由题意
22224
42
1
a b a b
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得28a =，2
4b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. ……………………5分
（Ⅱ）假设存在斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3）， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 的中点为N(x 0,y 0),
由
22
18
4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得
222(12)4280k x mkx m +++-=, ……………………………………………6分 222222164(12)(28)648320
m k k m k m ∆=-+-=-+>，
所
以
22840k m -+>,……………7分
122
412mk
x x k
+=-
+, ∴
1202
2212x x mk
x k +=
=-+，
002
12m
y kx m k
=+=
+, …………………………………………8分 线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3），
∴
1
NQ k k ⋅=-，即00
3
1y k x -⋅=-，
∴236m k -=+， ………………………………………10分
0∆> ，
整理得42
362850k k ++<，显然矛盾∴不存在满足题意的
k 的
值。

……………………………13分
20．（本题14分）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待
数列”：
① 12
30n a a a a ++++=；
② 1231n a a a a +++
+=.
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,
,)k S k n =，
试证：（1）21≤k S ； （2）111.22n
i i a i
n =≤-∑
解：（Ⅰ）数列11
,0,22
-为三阶期待数列…………………………………………………………1分
数列
3113,,,8888
--为四阶期待数列,……………………………………..…..3分(其它答案
酌情给分)
（Ⅱ）设等差数列12321,,,
,(1)k a
a a a k +≥的公差为d ，
123210k a a a a ++++
+=，
∴12(21)(21)0,2
k k d
k a +++=所以10a kd +=，
即
10
k a +=，
2,k a d +∴= ………………………………………………………………………4分
当
d=0
时
,
与
期
待
数
列
的
条
件
①
②
矛
盾， ……………………………………………………………5分 当d>0时,据期待数列的条件①②得：
23211
,2
k k k a a a +++++
+=
∴(1)11
,22(1)
k k kd d d k k -+
==
+即
由10k a +=得1111
0,(1)1
a k a k k k +⋅
==-++即，
∴111(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n k k k k k k k *=-
+-=-∈≤++++………………………
…7分
当d<0时， 同理可得(1)11
,22(1)
k k kd d d k k -+
=-=-
+即 由10k a +=得1111
0,(1)1
a k a k k k -⋅
==++即，
∴111(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n n k k k k k k *=
--=-+∈≤++++ (8)
分
（Ⅲ）（1）当k=n 时，显然1
02
n S =≤
成立；…………………………………………………9分
当k<n 时，据条件①得
1212()k k k k n S a a a a a a ++=++
+=-++⋅⋅⋅+，
即
n
k k k k a a a a a a S +++=+++=++ 2121，
∴12122k k k k n S a a a a a a ++=++
++++
+
12121k k k n a a a a a a ++≤++
+++++=,
∴1
(1,2,3,,).
2
k S k n ≤
= (11)
分
311241
(2)1234
1n
i n n
i a a a a a a a i n n
-==+++++
+-∑
3243
121
211234
1n n n n S S S S S S S S S S S n n --------=+
++++
+
-
311242233445
(1)n n
S S S
S S S
n n n -=
+++++
+⨯⨯⨯-
311242233445
(1)n S S S S S
n n -≤
+++++
⨯⨯⨯-11111
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