2016-2017学年高一数学人教A版必修4课件：3.1.1 两角差的余弦公式

D．2≤m≤4
解析：∵ 3sin x＋cos
x＝2
23sin
x＋12cos
x
＝2cosx－π3 ＝4－m，
且－2≤2cosx－π3 ≤2，
∴－2≤4－m≤2，
解之得 2≤m≤6，故选 A.
第二十二页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
第二十三页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
20°＋2×12sin 20°－sin sin 70 °
20°
＝ s3isnin707°0°＝ 3.
答案：(1)
6＋ 4
2
(2)C
点评：在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时， 关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°
，90°，120°，150°等)之间差的关系问题，然后利用公 式化简求值．
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分析：配角；整体代换；差角的余弦公式灵活运用．
注意到条件中的角与待求结论中的角存在着以下关系：
α－β2－α2 －β＝α＋2 β，因此可以求出
α＋β
cos 2 .
解析：∵α∈π2 ，π，β∈0，π2 ， ∴α－β2 ∈π4 ，π，α2 －β∈－π4 ，π2 ，
解析：(1)原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. (2)原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]
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＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.
(3)∵sin α＝－45，180°<α<270°， ∴cos α＝－35， ∵sin β＝153，90°<β<180°， ∴cos β＝－1123，
＝ 22× 23＋ 22×21＝
6＋ 4
2 70°
20°＝2cos（30°－sin207°0°）－sin
20°
＝2cos
30°cos
20°＋2sin 30°sin sin 70°
20°－sin
20°
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2× ＝
3 2 cos
3 C. 2
D．－
3 2
ππ (2) 3sin12＋cos12的值为( )
1 A.2
B．1
C. 2
D. 3
第三页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两角差的余弦
公式的展开式是关键．
(2)本题考查公式的逆用．如何将特殊的数值变形为特殊角的三角函
数值，使式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键．
∴－2≤44m－－m6≤2，解之得－1≤m≤73，故选 D.
答案：D
第二十页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
点评：解此类形如 asin x＋bcos x 的题，在式子前
提取 a2＋b2，得：
asin x＋bcos
x＝
a2＋b2
a a2＋b2sin
x＋
b a2＋b2cos
x，
令 cos φ＝ a2b＋b2，sin φ＝ a2a＋b2，
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►跟踪训练
2．求 cos 15°＋sin 165°的值．
分析：15°＝60°－45°，sin 165°＝sin(90°＋75°)
＝cos 75°＝sin 15°. 解析：cos 15°＋sin 165° ＝cos 15°＋sin 15°
＝
2
2 2 cos
15°＋
)
A．m≤37
B．m≥－1
C．m≤－1 或 m≥37
D．－1≤m≤73
分析：主要考查作辅助角，形成两角差的余弦公式中所需
要的条件．
第十九页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
解析：∵ 3cos
x＋sin
x＝2
3 2 cos
x＋21sin
x，
＝2cosx－π6 ＝44m－－m6，
且－2≤2cosx－π6 ≤2，
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点评：利用角变换进行三角函数式的求值、证明是常用的技巧
，如α＝(α＋β)－β，α＋2β＝(α＋β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－ β)等． ►跟踪训练
3．设 cosα－β2＝－19，sinα2 －β＝23，
其中
α∈π2 ，π，β∈0，π2 ，求
α＋β
cos 2 .
答案：(1)B (2)C
第五页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
点评：(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理 解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角 的变形，使之符合公式特征． (3)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形
为某特殊角的三角函数值．
第六页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°
＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.故选 B.
第四页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
(2)原式＝2
23sin1π2＋12cosπ 12
＝2cosπ3 cosπ 12＋sinπ3 sinπ 12
＝2cosπ3 －π 12＝2cosπ4 ＝2× 22＝ 2.故选 C.
第十六页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
又∵cosα－β2＝－19<0，sinα2 －β＝23>0， ∴α－β2 ∈π2 ，π，α2 －β∈0，π2 .
∴sinα－β2＝
1－cos2α－β2
＝
1－811＝4
9
5 .
cosα2 －β＝
1－sin2α2－β＝
1－49＝
5 3.
第十七页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
第十三页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
∴π6 －α∈－π3 ，0，
∴sinπ6 －α＝－ 1－cos2π6 －α
＝－
1－11572＝－187.
∴cos α＝cosπ6 －π6 －α
＝cosπ6 cosπ6 －α＋sinπ6 sinπ6 －α
＝
23×1157＋12×－187＝15
3－8 34 .
2 2 sin
15°
＝ 2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝ 2cos(45°－15°)
＝ 2cos 30°
＝
6 .
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题型3 用字母表示角的变形在解题中的应用
例 3 已知 cosπ6 －α＝1157，α∈π6 ，π2 ， 求 cos α的值． 分析：π6 －α＋α＝π6 ⇒α＝π6 －π6 －α. 解析：∵π6 －α＋α＝π6 ，∴α＝π6 －π6 －α， 又∵cosπ6 －α＝1157，α∈π6 ，π2 ，
3 2
C. 3
D. 2
分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用，要 善于进行角的变形，使之符合公式特征． (2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．
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解析：(1)原式＝cos(－15°)＝cos 15°
＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
第一页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
第二页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
题型1 两角差的余弦公式的简单应用
例 1 (1)sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为( )
A．－12
1 B.2
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－53×－1123＋－45×153＝1665.
第八页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
题型2 已知角的变形在解题中的应用
例 2 (1)计算：cos(－15°);
2cos (2)
10°－sin sin 70°
20°的值是(
)
A.12
B.
∴cosα＋2 β＝cosα－β2－α2－β ＝cosα－β2cosα2 －β＋sinα－β2·sinα2 －β
＝－91× 35＋23×49 5＝7275.
第十八页，编辑于星期五：十五点 五十二分。
题型4 辅助角在两角差的余弦公式中的应用
例 4 要使 3cos x＋sin x＝44m－－m6有意义，则应有(
►跟踪训练 1．(1)计算：cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°；
(2)计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (3)已知 sin α＝－54，sin β＝153，且 180°<α<270°，
90°<β<180°，求 cos(α－β).
则 asin x＋bcos x＝ a2＋b2(sin φsin x＋cos φcos x)
＝ a2＋b2cos(x－φ).
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►跟踪训练
4．若 3sin x＋cos x＝4－m 有意义，则实数 m 的取值范围是
(A) A．2≤m≤6
B．－6≤m≤6
C．2<m<6