连云港XX学校八年级下期中数学试卷及答案-精选

2016-2017学年江苏省连云港XX 学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分） 1．下列现象属于旋转的是（ ） A ．摩托车在急刹车时向前滑动 B ．飞机起飞后冲向空中的过程 C ．幸运大转盘转动的过程
D ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 2．下列各式是分式的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．反比例函数y=的图象在（ ）
A ．第一、三象限
B ．第一、二象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限 4．在平行四边形ABCD 中，∠A=65°，则∠D 的度数是（ ） A ．105° B ．115° C ．125° D ．65°
5．矩形面积为4，它的长y 与宽x 之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．一张矩形纸片如图对折两次，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A ．三角形
B ．矩形
C ．菱形
D ．五边形
7．如果把分式
（x ＞0，y ＜0）中的x 变为原来的2倍，y 变为原来的一半，则分式的值
（ ）
A ．变大
B ．变小
C ．不变
D ．不确定
8．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x+b 与函数y=的图象相交于点A 、B ，已知点A 的坐标为（3，4），则△AOB 的周长为（ ）
A ．10
B ．20
C ．10+2
D ．10+
二、填空题（每空3分，共30分）
9．当x= 时，分式的值为零．
10．若函数y=x
是反比例函数，则m= ．
11．已知直线y=2x 与双曲线y=的一个交点是A （2，m ），则k= ．
12．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm ，则原三角形的周长为 cm ．
13．若点P 1（﹣1，m ），P 2（﹣2，n ）在反比例函数y=的图象上，则m n （填“＞”、“＜”或“=”号）．
14．附加题：已知
，则
= ．
15．连云港与上海两地相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍．求高铁列车的平均行驶速度．如果设高铁的行驶速度为xkm/h ，则可列出方程为 ．
16．如图，有一个边长为4cm 的正方形ABCD ，将一块45°的三角板直角顶点与正方形对角线交点O 重合，两条直角边分别与BC 边交于点E ，与CD 边交于点F ．则四边形OECF 的面积是 cm 2．
17．如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形
AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ．若AB=，AG=1，则EB= ．
18．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，
连接EF 、CF ，则下列结论：①∠DCF=∠BCD ；②EF=CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE=3∠AEF ．其中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题（满分96分） 19．化简：
（1）（﹣）÷6ab；
（2）+．
20．解下列方程
（1）=；
（2）﹣=1．
21．作图与设计：
（1）用四块如图Ⅰ所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形，分别画在图①、②、③中．要求①中的只是轴对称而不是中心对称图形，②中的只是中心对称而不是轴对称图形、③中的既是轴对称又是中心对称图形）；
（2）请你任意改变图Ⅰ瓷砖中黑色部分的图案，然后再用四块改变图案后的正方形瓷砖拼出一个中心对称图案画在④中．（为了画图方便，请用平行斜线代替黑色即可）
22．已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=﹣3，
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）试判断点P（﹣2，3）是否在这个函数的图象上．
23．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E．
（1）试说明CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
24．水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
25．矩形ABCD周长为20，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：
（1）如图1，当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点O除外）时，证明△PAC≌△PDB；
（2）如图2，当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；
（3）如图3，若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点P为对角线交点，且在反比例函数y=上，求这个矩形的长和宽．
26．如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
（1）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求处当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）．
2016-2017学年江苏省连云港XX学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列现象属于旋转的是（）
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程
D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【考点】R1：生活中的旋转现象．
【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转即可选出答案．
【解答】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；
B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；
C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；
D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；
故选：C．
2．下列各式是分式的是（）
A．B．C．D．
【考点】61：分式的定义．
【分析】根据分式的定义进行判断．
【解答】解：A、是整式，不是分式；
B、是整式，不是分式；
C、是分式；
D、不是分式，是整式．
因为本题选择分式，
故选C．
3．反比例函数y=的图象在（）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限
【考点】G4：反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大可得答案．
【解答】解：反比例函数y=的图象在第一、三象限，
故选：A．
4．在平行四边形ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是（）
A．105°B．115°C．125°D．65°
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线性质推出∠A+∠D=180°，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠D+∠A=180°，
∵∠A=65°，
∴∠D=115°．
故选B．
5．矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（）
A．B．C．D．
【考点】GA：反比例函数的应用；G2：反比例函数的图象．
【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
【解答】解：由矩形的面积4=xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y=（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选B．
6．一张矩形纸片如图对折两次，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）
A．三角形 B．矩形C．菱形D．五边形
【考点】P9：剪纸问题．
【分析】解答该类剪纸问题，通过自己动手操作即可得出答案；或者通过折叠的过程可以发现：该四边形的对角线互相垂直平分，继而进行判断．
【解答】解：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，
故将①展开后得到的平面图形是菱形．
故选：C．
7．如果把分式（x＞0，y＜0）中的x变为原来的2倍，y变为原来的一半，则分式的值（）
A．变大B．变小C．不变D．不确定
【考点】65：分式的基本性质．
【分析】根据分式的基本性质即可求出变换后的式子，然后用作差法即可判断．
【解答】解： =，
∴﹣=
∵x＞0，y＜0，
∴﹣2x+y＜0，xy＜0，
∴，
故选（B）
8．如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x+b与函数y=的图象相交于点A、B，已知点A的坐标为（3，4），则△AOB的周长为（）
A．10 B．20 C．10+2 D．10+
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】把A坐标代入确定出一次函数与反比例函数解析式，联立求出B的坐标，进而求出OA，OB，AB的长，即可确定出周长．
【解答】解：把A（3，4）代入y=﹣x+b中得：b=7，即一次函数为y=﹣x+7；
代入y=中得：k=12，即反比例函数为y=，
联立得：，
解得：，即B（4，3），
根据勾股定理及两点间的距离公式得：OA=OB=5，AB=，
则△AOB周长为10+，
故选D
二、填空题（每空3分，共30分）
9．当x= 1 时，分式的值为零．
【考点】63：分式的值为零的条件． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：x 2﹣1=0，解得：x=±1， 当x=﹣1时，x+1=0，因而应该舍去． 故x=1．
故答案是：1．
10．若函数y=x 是反比例函数，则m= ±1 ． 【考点】G1：反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义，可得答案． 【解答】解：由题意，得 m 2﹣2=﹣1， 解得m=±1， 故答案为：±1．
11．已知直线y=2x 与双曲线y=的一个交点是A （2，m ），则k= 8 ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据点A 在直线y=2x 上求得m 的值，再将点A 坐标代入反比例函数解析式即可得． 【解答】解：根据题意知点A （2，m ）在直线y=2x 上， ∴m=4，即点A （2，4）， 将点A （2，4）代入y=，得：4=，即k=8，
故答案为：8．
12．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm ，则原三角形的周长为 16 cm ．
【考点】KX ：三角形中位线定理．
【分析】三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 一半，已知中点三角形的周长，可以求出原三角形的周长．
【解答】解：由中点和中位线定义可得原三角形的各边长分别为新三角形各边长的2倍， 所以原三角形的周长为新三角形的周长的2倍为16． 故答案为16．
13．若点P 1（﹣1，m ），P 2（﹣2，n ）在反比例函数y=的图象上，则m ＜ n （填“＞”、“＜”或“=”号）．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】先求出m 、n 的值，再比较大小即可．
【解答】解：∵P 1（﹣1，m ），P 2（﹣2，n ）在反比例函数y=的图象上，
∴m==﹣2，n==﹣1，
∵﹣2＜﹣1，
∴m＜n．
故答案为：＜．
14．附加题：已知，则= 1 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】根据题意可得到a+b=4ab，而所求代数式可以化简为，把前面的等式代入即可求出其值．
【解答】解：∵，
∴a+b=4ab，
则===1．
15．连云港与上海两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍．求高铁列车的平均行驶速度．如果设高铁的行驶速
度为xkm/h，则可列出方程为+4=．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设高铁的行驶速度为xkm/h，则普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据“乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达”可列方程．
【解答】解：设高铁的行驶速度为xkm/h，则普通快车的平均行驶速度为xkm/h，
根据题意，可得： +4=，
故答案为+4=．
16．如图，有一个边长为4cm的正方形ABCD，将一块45°的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与BC边交于点E，与CD边交于点F．则四边形OECF的面积是4 cm2．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据正方形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BOC=90°，∠OCF=∠OBE=45°，求出∠BOE=
∠COF ，根据全等三角形的判定得出△BOE ≌△COF ，即可求出四边形EOCF 的面积=三角形BOC 的面积，即可得出答案．
【解答】解：
连接AC 和BD ，则AC 、BD 都过O ， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA=OB=OC=OD ，∠BOC=90°，∠OCF=∠OBE=45°，
∴S △BOC =S 正方形ABCD =4cm ×4cm ×=4cm 2， ∵∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOE=∠COF=90°﹣∠EOC ， 在△BOE 和△COF 中
∴△BOE ≌△COF （ASA ）， ∴S △BOE =S △COF ，
∴S 四边形OECF =S △EOC +S △COF =S △EOC +S △BOE =S △BOC =4cm 2 故答案为：4．
17．如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形
AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ．若AB=，AG=1，则EB= ．
【考点】LE ：正方形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质；KQ ：勾股定理．
【分析】首先连接BD 交AC 于O ，由四边形ABCD 、AGFE 是正方形，即可得AB=AD ，AE=AG ，∠DAB=∠EAG ，然后利用SAS 即可证得△EAB ≌△GAD ，则可得EB=GD ，然后在Rt △ODG 中，利用勾股定理即可求得GD 的长，继而可得EB 的长． 【解答】解：连接BD 交AC 于O ， ∵四边形ABCD 、AGFE 是正方形， ∴AB=AD ，AE=AG ，∠DAB=∠EAG ， ∴∠EAB=∠GAD ，
在△AEB 和△AGD 中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴EB=GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB=，
∴BD⊥AC，AC=BD=AB=2，
∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1，
∵AG=1，
∴OG=OA+AG=2，
∴GD==，
∴EB=．
故答案为：．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，
连接EF、CF，则下列结论：①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S
△BEC =2S
△CEF
；④∠DFE=3∠AEF．其
中一定成立的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△
EFC =S△
CFM
，
∵MC＞BE，
∴S△
BEC ＜2S△
EFC
，故S△
BEC
=2S△
CEF
错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（满分96分）
19．化简：
（1）（﹣）÷6ab；
（2）+．
【考点】6C：分式的混合运算．
【分析】（1）根据分式的除法可以解答本题；
（2）根据分式的加法可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣）÷6ab
=﹣
=﹣；
（2）+
=
=
=．
20．解下列方程
（1）=；
（2）﹣=1．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：6x+18=x﹣2，
解得：x=﹣4，
经检验x=﹣4是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，原方程无解．
21．作图与设计：
（1）用四块如图Ⅰ所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形，分别画在图①、②、③中．要求①中的只是轴对称而不是中心对称图形，②中的只是中心对称而不是轴对称图形、③中的既是轴对称又是中心对称图形）；
（2）请你任意改变图Ⅰ瓷砖中黑色部分的图案，然后再用四块改变图案后的正方形瓷砖拼出一个中心对称图案画在④中．（为了画图方便，请用平行斜线代替黑色即可）
【考点】R9：利用旋转设计图案；P8：利用轴对称设计图案．
【分析】（1）分别利用轴对称以及中心对称图形的定义分别得出符合题意的答案；
（2）可以改为矩形阴影，进而得出中心对称图形．
【解答】解：（1）如图①所示：是轴对称而不是中心对称图形；
如图②所示：只是中心对称而不是轴对称图形，
如图③所示：既是轴对称又是中心对称图形；
（2）如图④所示：是中心对称图案．
22．已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=﹣3，
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）试判断点P（﹣2，3）是否在这个函数的图象上．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；G2：反比例函数的图象；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）设反比例函数解析式为y=，然后把x=2，y=﹣3代入求出k即可；
（2）利用描点法画函数图象；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
把x=2，y=﹣3代入得k=2×（﹣3）=﹣6，
所以反比例函数解析式为y=﹣；
（2）如图所示：
（3）当x=﹣2时，y=﹣=3，
所以点P（﹣2，3）在反比例函数y=﹣的图象上．
23．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E．
（1）试说明CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质得出和角平分线得出∠DEC=∠CDE，根据等角对等边可得CD=CE；
（2）证出BE=AB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AEB，再由平行线的性质即可得出∠DAE=∠AEB=50°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CD=CE；
（2）解：∵BE=CE，CD=CE，
∴BE=CD，
∵AB=CD，
∴BE=AB，
∴∠AEB=∠BAE==50°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=50°．
24．水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系．
（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
【考点】GA：反比例函数的应用．
【分析】（1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=40和x=240代入求出相对应的x和y；
（2）先求出8天销售的总量和剩下的数量m，将x=150代入反比例函数中得到一天的销售量y，即为所需要的天数；
（3）求出销售15天后剩余的数量除2得到后两天每天的销售量y，将y的值代入反比例函数中即可求出x．
【解答】解：（1）∵xy=12000，
函数解析式为，
将y=40和x=240代入上式中求出相对应的x=300和y=50，
故填表如下：
（2）销售8天后剩下的数量m=2104﹣（30+40+48+50+60+80+96+100）=1600（千克），
当x=150时， =80．
∴=1600÷80=20（天），
∴余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．
（3）1600﹣80×15=400（千克），400÷2=200（千克/天），
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克．
当y=200时， =60．
所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．
25．矩形ABCD周长为20，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：
（1）如图1，当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点O除外）时，证明△PAC≌△PDB；
（2）如图2，当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；
（3）如图3，若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点P为对角线交点，且在反比例函数y=上，求这个矩形的长和宽．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）先由线段的垂直平分线得出PA=PD，PB=PC，∠APN=∠DPN，∠BPN=∠CPN，进而得出∠APC=∠DPB即可；
（2）先利用勾股定理得出PA2=AK2+PK2，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=DG2+PG2，再判断出四边形ADGK是矩形，得出AK=DG，CG=BK，最后用等量代换即可得出结论；
（3）先根据点P在反比例函数图象上得出xy=10，再由矩形的周长得出x+y=7，联立方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴MN也是AD的垂直平分线，
∴PA=PD，∠APN=∠DPN，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，∠BPN=∠CPN，
∴∠APC=∠DPB，
在△PAC和△PDB中，，
∴△PAC≌△PDB；
（2）证明：过点P作KG∥BC，如图（1）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB⊥KG，DC⊥KG，
∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2，
同理，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=DG2+PG2，PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，
PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2．
∵AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，
∴四边形ADGK是矩形，
∴AK=DG，
同理CG=BK，
∴AK2=DG2，CG2=BK2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2
（3）如图（2），设P（x，y），
∵点P为对角线交点，且在反比例函数上，
∴xy=10①，
∵矩形ABCD周长为20，点B的坐标为（1，1），
∴（x﹣1）+（y﹣1）=5，
∴x+y=7②，
联立①②解得，或
∴BC=2（x﹣1）=2或8，AB=2（y﹣1）=8或2．
即：矩形的长为8，宽为2．
26．如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
（1）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求处当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值．（2）要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．
（3）当P
1O=OD=5或P
2
O=P
2
D或P
3
D=OD=5或P
4
D=OD=5时分别作P
2
E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P
4
G
⊥OA于G，利用勾股定理P
1C，OE，P
3
F，DG的值，就可以求出P的坐标．
【解答】解：（1）∵四边形PODB是平行四边形，∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴t=5．
（2）∵ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=，
∴t=3，
CQ=PC+PQ=3+5=8，
∴点Q的坐标为（8，4）．
（3）当P
1O=OD=5时，由勾股定理可以求得P
1
C=3，
P
2O=P
2
D时，作P
2
E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
当P
3D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P
3
F=3，
∴P
3
C=2；
当P
4D=OD=5时，作P
4
G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，∴OG=8．
∴P
1（2，4），P
2
（2.5，4），P
3
（3，4），P
4
（8，4）．
2017年5月24日。