2020年江苏省南京市六合职业中学高三数学理模拟试卷含解析

2020年江苏省南京市六合职业中学高三数学理模拟试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设全集，集合,，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D．
参考答案：
D
2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A. 向左平移2个单位长度
B. 向右平移2个单位长度
C. 向上平移1个单位长度
D. 向下平移1个单位长度
参考答案：
C
【分析】
利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可．
【详解】解：，
故只需将函数的图象向上平移1个单位长度，即可得到，故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的图象与变换，结合对数的运算法则是解决本题的关键，属于基础题．
3. 已知函数，则函数的图象可能是（）
参考答案：
B
略
4. △ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cos C=（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
由正弦定理得＝，∴sin C＝＝＝，又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cos C＝＝.
5. 斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是
A．e＜B．1＜e＜C．1＜e＜
D．e＞
参考答案：
D
6. 等差数列中的、是函数的极值点，则
=（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
7. 一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）
A. 1
B.
C.
D.
参考答案：
B
【分析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．
【详解】正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半，
且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，
所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，
即最大水面高度为，故选B.
【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
8. 已知||=3，||=5，且+λ与﹣λ垂直，则λ等于（）
A．B．±C．±D．±
参考答案：
B
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由题意可得（+λ）?（﹣λ）=0，计算可得=0，代入数
据解λ的方程可得．
【解答】解：∵+λ与﹣λ垂直，∴（+λ）?（﹣λ）=0，
∴=0，即=0，
代入数据可得32﹣λ2×52=0，
解得λ=±
故选：B
9. 对于函数①，②，
③.判断如下两个命题的真假：
命题甲：在区间上是增函数；
命题乙：在区间上恰有两个零点，且。

能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（）
A．① B．② C．①③ D．①②
参考答案：
D
略
10. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,又分别是两曲线的离心率,若PF1PF2,则
的最小值为( )
A．B．4
C．D．9
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 无限循环小数可以化为分数，如，
请你归纳出；
参考答案：
略
12. 已知，且，则，
．
参考答案：
，
13. ________.
参考答案：
略
14. 已知等差数列，的前n项和为，，若对于任意的自然数，都有
则=____________.
参考答案：
略
15. 已知函数，在下列四个命题中：①的最小正周期是；
②的图象可由的图象向右平移个单位得到；③若，且
，则；④直线是函数图象的一条对称轴，其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．
参考答案：
③④
16. 已知,·=-2，则与的夹角为.
参考答案：
17. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程；
(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？
参考答案：
解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，
中垂线为轴建立直角坐标系------1分
则------2分
设抛物线的方程为，将点代入得-------3分
所以抛物线弧AB方程为（）------4分
（2）解法一：
设等腰梯形的腰与抛物线相切于
则过的切线的斜率为
所以切线的方程为：，即
令，得，令，得，
所以梯形面积-----10分
当仅当，即时，成立
此时下底边长为
-----12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．-----13分
解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于则过的切线的斜率为
所以切线的方程为：，即
运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：
-----10分
当仅当，即时，成立，此时下底边长为
---12分
答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．-----------13分
解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰
所在直线方程为，联立，得，
令，得，或（舍），
故此腰所在直线方程为，
令，得
，
故等腰梯形的面积：------------10分
当且仅当，即时，有
此时，下底边长------------12分
答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．----------13分
略
19. 已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）= [f（x）﹣ax]，且对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下，讨论a≥0，a＜0，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
（Ⅱ）先求导，化简对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，得到λ≤（1+）（lnx+1），再构造函数，根据导数和函数的单调性和最值得关系即可求出实数λ的取值范围
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
则f′（x）=+a，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）的增区间为（0，+∞）．无减区间；
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜﹣；令f′（x）＜0，解得x＞﹣．
则f（x）的增区间为（0，﹣），减区间为（﹣，+∞）．
（Ⅱ）∵g（x）= [f（x）﹣ax]=（ax+lnx﹣ax）=lnx，x＞0，
∴g′（x）=lnx+=（lnx+2），
∴2?g′（x）﹣1=lnx+1，
∵对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，
∴lnx+1≥恒成立，
∴λ≤（1+）（lnx+1），
设h（x）=（1+）（lnx+1），
∴h′（x）=，
再令φ（x）=x﹣lnx，x≥1，
∴φ′（x）=1﹣≥0恒成立，
∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）≥φ（1）=1，
∴h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=2，
∴λ≤2
20. 如图所示，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶
点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.
参考答案：
（1）由题设知：2a = 4，即a = 2 ，
将点代入椭圆方程得，
解得b2 = 3∴c2 = a2－b2 = 4－3 = 1 ，故椭圆方程为，
焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0）
由（Ⅰ）知，，
∴PQ所在直线方程为，
由得
设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则，
略
21. 已知，，函数，的最大值为4.
(1)求的值；
(2)求的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）函数，所以，
因为，
所以．
（Ⅱ），
当且仅当，即时，取得最小值．
22. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A , B , C所对的边，.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b =2，求△ABC面积的最大值。

参考答案：
（1）在中，由正弦定理，可得，
又，
，即，
整理得：，
又，.
（2）由（1）及余弦定理得：，
即，
又，当且仅当时等号成立，
，解得：，
，（当且仅当时等号成立），故面积的最大值为.。