数据库系统概论chp6-3
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.2 CB
课程C 物理 物理 数学 数学
教员T 李勇 王军 李勇 张平
课程C 物理 物理 物理 数学 数学 数学
参考书B 普通物理 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数
上述CT表中，存在C →→T,但是这是平凡的多值依赖，即CT中已经不存 在既非平凡的多值依赖，所以CT属于4NF。同样，CB也属于4NF。分解后的 Teaching关系中的几个问题可以得到解决。
第六章 关系数据理论3
本次课主要内容
❖ 多值依赖及第四范式4NF ❖ 数据依赖的公理系统
▪ 逻辑蕴涵 ▪ Armstrong公理系统 ▪ 函数依赖集的闭包
❖ 例1：学校中某一门课程由多个教师讲授，使用相同的 一套参考书;每位教师可讲授多门课程，每种参考书也 可以供多门课程使用。
分析：每门课程有多个教师讲授； 每个教师可以讲授多门课程； 同一门课程使用一套相同的参考书； 每种参考书可以供多门课程使用。
❖
若X→→Y，Y→→Z， 则X→→Z –Y
❖ （3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。
❖
若X→Y，则X→→Y。
❖ （4）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∪Z。
❖ （5）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。
❖ （6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z，X→→Z -Y。
多值依赖与函数依赖的区别
(1) 多值依赖的有效性与属性集的范围有关 (2)
记作：F |= A→C。即函数依赖集 F 逻辑蕴含函数依赖A→C。
2、Armstrong公理系统
❖ Armstrong公理系统：一套推理规则，是模式分解算法的 理论基础；
❖ 关系模式R <U，F >来说有以下的推理规则：
▪ A1.自反律（Reflexivity）：若Y X U，则X →Y为F所蕴含。 ▪ A2.增广律（Augmentation）：若X→Y为F所蕴含，且Z U，则
原因：对于W的每一个值，C有一组值与之对应，而不论S取 何值；C的取值取决于W值，而与S值无关。
结论：C多值依赖于W，即W→→C。
多值依赖（续）
用下图表示这种对应
W→→S且W→→C
多值依赖 具有以下性质：
❖ （1）多值依赖具有对称性（如图）
❖
若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y
❖ （2）多值依赖具有传递性
3、函数依赖集的闭包
❖ 定义6.l2
在关系模式R<U，F>中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体
叫作F的闭包（closure），记为F +， F+={Fi|从阿氏公理中导出的所有函数依赖的集合} ❖ 一般情况下，F F+，如果F =F+，则称F为一个函数依赖 的完备集；
例1： 已知关系模式R（XYZ），F={XY, YZ}，求F+；
参考书B 普通物理 光学原理 物理习题集 普通物理 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数 数学分析 微分方程 高等代数
由上表可以看出，关系模型Teaching（C，T，B）的码是全码。因而 Teaching属于BCNF。但该关系存在下列增删改不方便和数据冗余。
（1）增加操作复杂。当某一课程增加一名教员时，该课程有多少本参考书，必须 插入多个元组。
因为W不是码，所以该关系模式不是4NF。
❖ WSC关系模式已经达到了BCNF，但不是4NF，仍有 不好的性质。
（1）若某一个仓库wi有n个保管员，存放m件商品，则分 量为wi的元组数目就一定有n×m个。
（2）每个保管员重复存储m次，每种商品重复存储n，数 据的冗余太大。
因此应该继续规范化使关系模式WSC达到4NF。
❖ 按照语义，我们可以得出：
关系模式 WSC中的任意一组值（W1，C1），有一组S值{S1，S2}， 这组值仅仅决定于W上的值（W1），而与C上的值无关。 我们再看，另一个值（W1，C2），它对应的一组S值仍是{S1， S2}，尽管C值改变了，但是W值还是不变。
原因：对于W的每一个值，S有一组值与之对应，而不论C取 何值；S的取值取决于W值，而与C值无关。
XYXZ, XZXY,
XZYZ,
XYXYZ, XZXYZ,
共计42个FD；
❖ 采用投影分解法消去非平凡且非函数依赖的多值依赖。 例如：可以把WSC分解为：WS（W,S）和WC（W,C）。
WS
WC
W
S
W1
S1
W1
S2
W2 S3
W2 S4
W
C
W1
C1
W1
C2
W1
C3
W2
C4
W2
C5
规范化小结
❖ 规范化目的：使结构更合理，消除插入、修改、删除异常，使 数据冗余尽量小，便于插入、删除和更新。
▪ 若函数依赖X→Y在R（U）上成立，则对于任何Y' Y均有X→Y' 成立
▪ 多值依赖X→→Y若在R(U)上成立，不能断言对于 任何Y' Y有X→→Y' 成立
2）第四范式
❖定义6.10
▪ 关系模式R<U,F>∈1NF，如果对于R的每个非 平凡多值依赖X→→Y（Y X），X都含有码， 则R∈4NF。
BCNF的关系模式Teaching之所以会产生上述问题，是因为参考书的取值 和教员的取值是彼此独立毫无关系的，它们都取决于课程。也就是说关系模式 Teaching中存在一种称为多值依赖的数据依赖。
一、多值依赖及第四范式
1）多值依赖（MultiValued Dependency，简记MVD）
❖ 定义6.9
根据阿氏公理可得出：
F + ={
Xφ, Yφ, Zφ, XYφ, XZφ,
XX, YY, ZZ, XYX, XZX,
XY, Y Z,
XYY, XZY,
XZ, YYZ,
XYZ, XZZ,
XXY,
XYXY, XZXY,
XXZ,
XYYZ, XZXZ,
XYZ,
分析：每个仓库有多个保管员； 每个保管员管理所在仓库的所有商品； 每种商品被所有保管员保管。
W（仓库） W1 W1 W1 W1 W1 W1 W2 W2 W2 W2
S（保管员） S1 S1 S1 S2 S2 S2 S3 S3 S4 S4
C（商品） C1 C2 C3 C1 C2 C3 C4 C5 C4 C5
（1）参考书只需要在CB关系中存储一次。
（2）当某一课程增加一名教员时，只需要在CT关系中 增加一个元组。
（3）某一门课程要去掉一门参考书，只需要在CB关系 中删除一个相应元组。
例如：关系模式WSC是BCNF，但是否4NF？ （1）在关系模式WSC中存在非平凡的多值依赖：
W→→S，W→→C （2）关系模式WSC的码是（W，S，C）；
XZ→YZ为F所蕴含。（ 注释：XZ 表示X∪Z ） ▪ A3.传递律（Transitivity）：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为
F所蕴含。
根据推理规则导出的规则
1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：
▪ 合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ。
▪ 证明： 由X→Y，有xz →Yz； 由 X→Z，有X→XZ；所以X→YZ
课程C 物理 数学 计算数学
表6.3 非规范化示例
教员T 李勇 王军
李勇 张平
张平 周峰
参考书B 普通物理学 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数 数学分析 ……
例如：
表6.4 Teaching
课程C 物理 物理 物理 物理 物理 物理 数学 数学 数学 数学 数学 数学
教员T 李勇 李勇 李勇 王军 王军 王军 李勇 李勇 李勇 张平 张平 张平
设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y、Z是U的子集，并且 Z＝U－X－Y。关系模式R(U)中多值依赖 X→→Y成立，当且仅当对R(U) 的任一关系r，给定的一对（x，z）值，有一组Y的值，这组值仅仅决 定于x值而与z值无关；
❖ 若X→→Y，而Z=空集，则称X→→Y为平凡的多值依赖； 否则，称X→→Y为非平凡的多值依赖。
二、数据依赖的公理系统
❖ 问题的提出： 在关系模式规范化处理过程中，不仅要知道一个由语义决定的 函数依赖集合，还要知道由这个已知的函数依赖集合所蕴含 （或推导出）的所有函数依赖集合。为此，需要一个有效而完 备的公理系统， Armstrong公理系统即是这样的一个系统。
❖ 相关定义： 一个函数依赖可以通过已知的函数依赖推导出来；如利用X→Y 和Y→Z可以推导出X →Z，可以说，函数依赖X→Y和Y→Z逻辑 蕴含（Logical Implication）了X →Z。
主要内容：
1、逻辑蕴涵 2、Armstrong公理系统 3、函数依赖集的闭包 4、函数依赖集的等价及最小依赖集
1、逻辑蕴涵
❖ 定义6.11
对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R <U，F>，其任何一个关系 r，若函数依赖X→Y都成立（即r中任意两元组t、s，若t[X]=s[X]，
则t[Y]=s[Y]），则称F逻辑蕴含X→Y，记为F⊨X→Y； ❖ 例如，设F={ A→B，B→C }，则函数依赖A→C被F逻辑蕴含，
结论：S多值依赖于W，即W→→S。
❖ 按照语义，我们可以得出：
关系模式 WSC中的任意一组值（W1，S1），有一组C值{C1， C2,C3}，这组值仅仅决定于W上的值（W1），而与S上的值无关。 我们再看，另一个值（W1，S2），它对应的一组S值仍是{C1， C2,C3}，尽管S值改变了，但是W值还是不变。
▪
（A2， A3）
▪ 伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。 （A2， A3）
▪ 证明： X→Y，有WX →WY，又WY→Z，故XW→Z。
▪ 分解规则：由X→Y及 Z Y，有X→Z。 不需证明（A1， A3）
2.根据合并规则和分解规则，可得引理6.1；
引理6.l X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立（i=l， 2，…，k）。
原因：对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值；T的 取值取决于C值，而与B值无关。
结论：T多值依赖于C，即C→→T。
例如： Teaching（C, T, B） 关系模式 Teaching中的任意一组值（物理C，李勇T），有一组B值{普 通物理，光学原理，物理习题集}，这组B值仅仅决定于课程C上的值 （物理），而与教员T上的值无关。
（2）删除操作复杂。当某一门课程要去掉一本参考书，该课程有多少名教员，就 必须删除多个元组。
（3）修改操作复杂。当某一课程的参考书需要修改，该课程有多少名教员，则需 要修改多个元组。
（4）数据冗余度大。每一门课程的参考书是固定的，但在Teaching关系中，有多 少名教员，参考书就要存储多少次，造成大量的数据冗余。
❖ 规范化方法：将关系模式投影分解成两个或两个以上的关系模 式。
❖ 规范化原则：遵从概念单一化 “一事一地”原则，即一个关系 模式描述一个实体或实体间的一种联系。规范的实质就是概念 的单一化。
❖ 规范化要求：分解后的关系模式集合应当与原关系模式“等 价”，即经过自然联接可以恢复原关系而不丢失信息，并保持 属性间合理的联系。
例如： Teaching（C, T, B）
关系模式 Teaching中的任意一组值（物理C，光学原理B），有一组T值 {李勇，王军}，这组T值仅仅决定于课程C上的值（物理），而与参考书 B上的值无关。
我们再看，另一个值（物理C，普通物理B），它对应的一组T值仍是{李 勇，王军}，尽管B值改变了，但是T值还是不变。
我们再看，另一个值（物理C，王军T），它对应的一组B值仍是{普通 物理，光学原理，物理习题集}，尽管T值改变了，但是B值还是不变。
原因：对于C的每一个值，B有一组值与之对应，而不论T取何值；B的 取值取决于C值，而与T值无关。
结论：B多值依赖于C，即C→→B。
❖ 例10：关系模式WSC（ W，S，C ）中， W表示仓 库，S表示保管员，C表示商品。假设每个仓库有若 干个保管员，有若干种商品。每个保管员保管所在的 仓库的所有商品，每种商品被所有保管员保管。所列 出的关系如下表。
例如：关系模式Teaching是BCNF，但是否4NF？ （1）在关系模式Teaching中存在非平凡的多值依赖：
C→→T，C→→B （2）关系模式Teaching的码是（C，T，B）；
因为C不是码，所以该关系模式不是4NF。
这正是它之所以存在数据冗余度大、插入和删除操作复杂等弊 端的根源，可以用投影分解法把Teaching分解为如下两个4NF关系模 式，减少数据冗余。
课程C 物理 物理 数学 数学
教员T 李勇 王军 李勇 张平
课程C 物理 物理 物理 数学 数学 数学
参考书B 普通物理 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数
上述CT表中，存在C →→T,但是这是平凡的多值依赖，即CT中已经不存 在既非平凡的多值依赖，所以CT属于4NF。同样，CB也属于4NF。分解后的 Teaching关系中的几个问题可以得到解决。
第六章 关系数据理论3
本次课主要内容
❖ 多值依赖及第四范式4NF ❖ 数据依赖的公理系统
▪ 逻辑蕴涵 ▪ Armstrong公理系统 ▪ 函数依赖集的闭包
❖ 例1：学校中某一门课程由多个教师讲授，使用相同的 一套参考书;每位教师可讲授多门课程，每种参考书也 可以供多门课程使用。
分析：每门课程有多个教师讲授； 每个教师可以讲授多门课程； 同一门课程使用一套相同的参考书； 每种参考书可以供多门课程使用。
❖
若X→→Y，Y→→Z， 则X→→Z –Y
❖ （3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。
❖
若X→Y，则X→→Y。
❖ （4）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∪Z。
❖ （5）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。
❖ （6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z，X→→Z -Y。
多值依赖与函数依赖的区别
(1) 多值依赖的有效性与属性集的范围有关 (2)
记作：F |= A→C。即函数依赖集 F 逻辑蕴含函数依赖A→C。
2、Armstrong公理系统
❖ Armstrong公理系统：一套推理规则，是模式分解算法的 理论基础；
❖ 关系模式R <U，F >来说有以下的推理规则：
▪ A1.自反律（Reflexivity）：若Y X U，则X →Y为F所蕴含。 ▪ A2.增广律（Augmentation）：若X→Y为F所蕴含，且Z U，则
原因：对于W的每一个值，C有一组值与之对应，而不论S取 何值；C的取值取决于W值，而与S值无关。
结论：C多值依赖于W，即W→→C。
多值依赖（续）
用下图表示这种对应
W→→S且W→→C
多值依赖 具有以下性质：
❖ （1）多值依赖具有对称性（如图）
❖
若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y
❖ （2）多值依赖具有传递性
3、函数依赖集的闭包
❖ 定义6.l2
在关系模式R<U，F>中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体
叫作F的闭包（closure），记为F +， F+={Fi|从阿氏公理中导出的所有函数依赖的集合} ❖ 一般情况下，F F+，如果F =F+，则称F为一个函数依赖 的完备集；
例1： 已知关系模式R（XYZ），F={XY, YZ}，求F+；
参考书B 普通物理 光学原理 物理习题集 普通物理 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数 数学分析 微分方程 高等代数
由上表可以看出，关系模型Teaching（C，T，B）的码是全码。因而 Teaching属于BCNF。但该关系存在下列增删改不方便和数据冗余。
（1）增加操作复杂。当某一课程增加一名教员时，该课程有多少本参考书，必须 插入多个元组。
因为W不是码，所以该关系模式不是4NF。
❖ WSC关系模式已经达到了BCNF，但不是4NF，仍有 不好的性质。
（1）若某一个仓库wi有n个保管员，存放m件商品，则分 量为wi的元组数目就一定有n×m个。
（2）每个保管员重复存储m次，每种商品重复存储n，数 据的冗余太大。
因此应该继续规范化使关系模式WSC达到4NF。
❖ 按照语义，我们可以得出：
关系模式 WSC中的任意一组值（W1，C1），有一组S值{S1，S2}， 这组值仅仅决定于W上的值（W1），而与C上的值无关。 我们再看，另一个值（W1，C2），它对应的一组S值仍是{S1， S2}，尽管C值改变了，但是W值还是不变。
原因：对于W的每一个值，S有一组值与之对应，而不论C取 何值；S的取值取决于W值，而与C值无关。
XYXZ, XZXY,
XZYZ,
XYXYZ, XZXYZ,
共计42个FD；
❖ 采用投影分解法消去非平凡且非函数依赖的多值依赖。 例如：可以把WSC分解为：WS（W,S）和WC（W,C）。
WS
WC
W
S
W1
S1
W1
S2
W2 S3
W2 S4
W
C
W1
C1
W1
C2
W1
C3
W2
C4
W2
C5
规范化小结
❖ 规范化目的：使结构更合理，消除插入、修改、删除异常，使 数据冗余尽量小，便于插入、删除和更新。
▪ 若函数依赖X→Y在R（U）上成立，则对于任何Y' Y均有X→Y' 成立
▪ 多值依赖X→→Y若在R(U)上成立，不能断言对于 任何Y' Y有X→→Y' 成立
2）第四范式
❖定义6.10
▪ 关系模式R<U,F>∈1NF，如果对于R的每个非 平凡多值依赖X→→Y（Y X），X都含有码， 则R∈4NF。
BCNF的关系模式Teaching之所以会产生上述问题，是因为参考书的取值 和教员的取值是彼此独立毫无关系的，它们都取决于课程。也就是说关系模式 Teaching中存在一种称为多值依赖的数据依赖。
一、多值依赖及第四范式
1）多值依赖（MultiValued Dependency，简记MVD）
❖ 定义6.9
根据阿氏公理可得出：
F + ={
Xφ, Yφ, Zφ, XYφ, XZφ,
XX, YY, ZZ, XYX, XZX,
XY, Y Z,
XYY, XZY,
XZ, YYZ,
XYZ, XZZ,
XXY,
XYXY, XZXY,
XXZ,
XYYZ, XZXZ,
XYZ,
分析：每个仓库有多个保管员； 每个保管员管理所在仓库的所有商品； 每种商品被所有保管员保管。
W（仓库） W1 W1 W1 W1 W1 W1 W2 W2 W2 W2
S（保管员） S1 S1 S1 S2 S2 S2 S3 S3 S4 S4
C（商品） C1 C2 C3 C1 C2 C3 C4 C5 C4 C5
（1）参考书只需要在CB关系中存储一次。
（2）当某一课程增加一名教员时，只需要在CT关系中 增加一个元组。
（3）某一门课程要去掉一门参考书，只需要在CB关系 中删除一个相应元组。
例如：关系模式WSC是BCNF，但是否4NF？ （1）在关系模式WSC中存在非平凡的多值依赖：
W→→S，W→→C （2）关系模式WSC的码是（W，S，C）；
XZ→YZ为F所蕴含。（ 注释：XZ 表示X∪Z ） ▪ A3.传递律（Transitivity）：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为
F所蕴含。
根据推理规则导出的规则
1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：
▪ 合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ。
▪ 证明： 由X→Y，有xz →Yz； 由 X→Z，有X→XZ；所以X→YZ
课程C 物理 数学 计算数学
表6.3 非规范化示例
教员T 李勇 王军
李勇 张平
张平 周峰
参考书B 普通物理学 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数 数学分析 ……
例如：
表6.4 Teaching
课程C 物理 物理 物理 物理 物理 物理 数学 数学 数学 数学 数学 数学
教员T 李勇 李勇 李勇 王军 王军 王军 李勇 李勇 李勇 张平 张平 张平
设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y、Z是U的子集，并且 Z＝U－X－Y。关系模式R(U)中多值依赖 X→→Y成立，当且仅当对R(U) 的任一关系r，给定的一对（x，z）值，有一组Y的值，这组值仅仅决 定于x值而与z值无关；
❖ 若X→→Y，而Z=空集，则称X→→Y为平凡的多值依赖； 否则，称X→→Y为非平凡的多值依赖。
二、数据依赖的公理系统
❖ 问题的提出： 在关系模式规范化处理过程中，不仅要知道一个由语义决定的 函数依赖集合，还要知道由这个已知的函数依赖集合所蕴含 （或推导出）的所有函数依赖集合。为此，需要一个有效而完 备的公理系统， Armstrong公理系统即是这样的一个系统。
❖ 相关定义： 一个函数依赖可以通过已知的函数依赖推导出来；如利用X→Y 和Y→Z可以推导出X →Z，可以说，函数依赖X→Y和Y→Z逻辑 蕴含（Logical Implication）了X →Z。
主要内容：
1、逻辑蕴涵 2、Armstrong公理系统 3、函数依赖集的闭包 4、函数依赖集的等价及最小依赖集
1、逻辑蕴涵
❖ 定义6.11
对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R <U，F>，其任何一个关系 r，若函数依赖X→Y都成立（即r中任意两元组t、s，若t[X]=s[X]，
则t[Y]=s[Y]），则称F逻辑蕴含X→Y，记为F⊨X→Y； ❖ 例如，设F={ A→B，B→C }，则函数依赖A→C被F逻辑蕴含，
结论：S多值依赖于W，即W→→S。
❖ 按照语义，我们可以得出：
关系模式 WSC中的任意一组值（W1，S1），有一组C值{C1， C2,C3}，这组值仅仅决定于W上的值（W1），而与S上的值无关。 我们再看，另一个值（W1，S2），它对应的一组S值仍是{C1， C2,C3}，尽管S值改变了，但是W值还是不变。
▪
（A2， A3）
▪ 伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。 （A2， A3）
▪ 证明： X→Y，有WX →WY，又WY→Z，故XW→Z。
▪ 分解规则：由X→Y及 Z Y，有X→Z。 不需证明（A1， A3）
2.根据合并规则和分解规则，可得引理6.1；
引理6.l X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立（i=l， 2，…，k）。
原因：对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值；T的 取值取决于C值，而与B值无关。
结论：T多值依赖于C，即C→→T。
例如： Teaching（C, T, B） 关系模式 Teaching中的任意一组值（物理C，李勇T），有一组B值{普 通物理，光学原理，物理习题集}，这组B值仅仅决定于课程C上的值 （物理），而与教员T上的值无关。
（2）删除操作复杂。当某一门课程要去掉一本参考书，该课程有多少名教员，就 必须删除多个元组。
（3）修改操作复杂。当某一课程的参考书需要修改，该课程有多少名教员，则需 要修改多个元组。
（4）数据冗余度大。每一门课程的参考书是固定的，但在Teaching关系中，有多 少名教员，参考书就要存储多少次，造成大量的数据冗余。
❖ 规范化方法：将关系模式投影分解成两个或两个以上的关系模 式。
❖ 规范化原则：遵从概念单一化 “一事一地”原则，即一个关系 模式描述一个实体或实体间的一种联系。规范的实质就是概念 的单一化。
❖ 规范化要求：分解后的关系模式集合应当与原关系模式“等 价”，即经过自然联接可以恢复原关系而不丢失信息，并保持 属性间合理的联系。
例如： Teaching（C, T, B）
关系模式 Teaching中的任意一组值（物理C，光学原理B），有一组T值 {李勇，王军}，这组T值仅仅决定于课程C上的值（物理），而与参考书 B上的值无关。
我们再看，另一个值（物理C，普通物理B），它对应的一组T值仍是{李 勇，王军}，尽管B值改变了，但是T值还是不变。
我们再看，另一个值（物理C，王军T），它对应的一组B值仍是{普通 物理，光学原理，物理习题集}，尽管T值改变了，但是B值还是不变。
原因：对于C的每一个值，B有一组值与之对应，而不论T取何值；B的 取值取决于C值，而与T值无关。
结论：B多值依赖于C，即C→→B。
❖ 例10：关系模式WSC（ W，S，C ）中， W表示仓 库，S表示保管员，C表示商品。假设每个仓库有若 干个保管员，有若干种商品。每个保管员保管所在的 仓库的所有商品，每种商品被所有保管员保管。所列 出的关系如下表。
例如：关系模式Teaching是BCNF，但是否4NF？ （1）在关系模式Teaching中存在非平凡的多值依赖：
C→→T，C→→B （2）关系模式Teaching的码是（C，T，B）；
因为C不是码，所以该关系模式不是4NF。
这正是它之所以存在数据冗余度大、插入和删除操作复杂等弊 端的根源，可以用投影分解法把Teaching分解为如下两个4NF关系模 式，减少数据冗余。