2019-2020学年江苏省镇江市丹阳市吕城片九年级(上)第一次调研数学试卷(解析版)

2019-2020学年江苏省镇江市丹阳市吕城片九年级第一学期第一
次调研数学试卷
一、单选题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．（x﹣3）x＝x2+2B．ax2+bx+c＝0
C．x2＝1D．x2﹣+2＝0
2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．已知x＝1是方程x2+bx+b﹣3＝0的一个根，那么此方程的另一个根为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2
4．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B 在⊙A内时，实数a的取值范围是（）
A．a＞2B．a＞8C．2＜a＜8D．a＜2或a＞8 5．下列说法错误的是（）
A．直径是圆中最长的弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
6．一元二次方程mx2﹣2x+1＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m≤1C．m＜1D．m≤1且m≠0 7．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，
并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（）
A．9人B．10人C．11人D．12人
9．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．不能确定10．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）
A．B．C．1D．2
二、填空题（每题3分，共30分）
11．方程x2＝6x的根是．
12．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是．
13．如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，连接AO，若∠B＝60°，则∠OAC＝°．
14．已知关于x的方程x2﹣（a2﹣2a﹣15）x+a﹣1＝0两个根是互为相反数，则a的值为．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是．
16．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实根，则点P与⊙O的位置关系是．
17．某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价元．
18．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m﹣mn+n＝．
19．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC ＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是．
20．M（a，b）是一次函数y＝x+3图象上一点，则关于x的方程ax2+bx+1＝0的根的情况是．
三、解答题（共60分）
21．（16分）用适当的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2＝25．
（2）x2+6x﹣10＝0．
（3）3x（x+2）＝5（x+2）．
（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．
22．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m2＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有两个实数根为x1，x2，且x1＝2x2+5，求m的值．
24．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：
求证：（1）不论m取任何实数，代数式4m2﹣4（m+1）+9的值总是正数
（2）当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．
25．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
26．已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
27．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．
（1）求证：＝；
（2）若的度数为50°，求∠C的度数．
28．阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P 与⊙O上各点之间的最短距离．
证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．
如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连接PC，OC．
∵PO＜PC+OC，
且PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC
∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．
（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB 于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是．（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB 边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A′M的长度；②求线段A′C长的最小值．
参考答案
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．（x﹣3）x＝x2+2B．ax2+bx+c＝0
C．x2＝1D．x2﹣+2＝0
解：A、由已知方程得到：3x﹣2＝0，属于一元一次方程，故本选项错误；
B、当a＝0时，它不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程属于分式方程，故本选项错误；
故选：C．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）
A．70°B．60°C．50°D．40°
解：∵AD∥OC，
∴∠AOC＝∠DAO＝70°，
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝70°，
∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
3．已知x＝1是方程x2+bx+b﹣3＝0的一个根，那么此方程的另一个根为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2
解：∵x＝1是方程x2+bx+b﹣3＝0的一个根，
∴1+b+b﹣3＝0，
∴x2+x+1﹣3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1，
∴此方程的另一个根为﹣2，A答案正确．
故选：A．
4．在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B 在⊙A内时，实数a的取值范围是（）
A．a＞2B．a＞8C．2＜a＜8D．a＜2或a＞8解：∵⊙A的半径为3，若点B在⊙A内，
∴AB＜3，
∵点A所表示的实数为5，
∴2＜a＜8，
故选：C．
5．下列说法错误的是（）
A．直径是圆中最长的弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选：B．
6．一元二次方程mx2﹣2x+1＝0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m≤1C．m＜1D．m≤1且m≠0解：∵一元二次方程mx2﹣2x+1＝0总有实数根，
∴△≥0，m≠0，
∴（﹣2）2﹣4m≥0，
∴m≤1，
∴m≤1且m≠0．
7．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．
故选：C．
8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（）
A．9人B．10人C．11人D．12人
解：设该群共有x人，
依题意有x（x﹣1）＝90，
解得：x＝﹣9（舍去）或x＝10，
答：这个群共有10人．
故选：B．
9．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．不能确定
解：∵方程x2﹣6x+8＝0的解是x＝2或4，
（1）当2为腰，4为底时，2+2＝4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长＝4+4+2＝10．
故选：B．
10．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）
A．B．C．1D．2
解：作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB＝QP+PB ＝QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接AO，OB，OQ，
∵B为中点，
∴∠BON＝∠AMN＝30°，
∴∠QON＝2∠QMN＝2×30°＝60°，
∴∠BOQ＝30°+60°＝90°．
∵直径MN＝2，
∴OB＝1，
∴BQ＝＝．
则PA+PB的最小值为．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．方程x2＝6x的根是x＝0或x＝6．
解：∵x2﹣6x＝0，
∴x（x﹣6）＝0，
则x＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝0或x＝6，
故答案为：x＝0或x＝6．
12．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是40°．．
解：∵OC＝OA，
∴∠C＝∠A，
∵∠C＝20°，
∴∠A＝∠C＝20°，
∴∠BOC＝∠A+∠C＝40°．
故答案为：40°．
13．如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，连接AO，若∠B＝60°，则∠OAC＝30°．
解：连接CO，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∴∠OAC＝（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30．
14．已知关于x的方程x2﹣（a2﹣2a﹣15）x+a﹣1＝0两个根是互为相反数，则a的值为﹣3．
解：根据题意得x1+x2＝﹣＝a2﹣2a﹣15，
又∵x1+x2＝0，
∴a2﹣2a﹣15＝0，
∴a＝5或a＝﹣3，
∵当a＝5时，x2+4＝0无实根，
∴a的值为﹣3．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N．
解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，
可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，
故答案为：点M与点N．
16．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实
根，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外．
解：∵x2﹣2x+d＝0没有实根，
∴Δ＝4﹣4d＜0，解得d＞1，
∵⊙O的半径为1，
∴点P在⊙O外．
故答案为点P在⊙O外．
17．某种衬衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件每降价1元，则每天可多销售10件，如果每天盈利为1400元，那么每件应降价6或10元．
解：设每件降价x元，则平均每天可售出（40+10x）件，
依题意，得：（20﹣x）（40+10x）＝1400，
整理，得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
故答案为：6或10．
18．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m﹣mn+n＝3．解：根据题意得m+n＝﹣2，mn＝﹣5，
所以m+n﹣mn＝2﹣（﹣5）＝3．
故答案为3．
19．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC ＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是a＝b＝c．
解：连接OA，OD，OM．
∵四边形ABOC、DEOF、HMON均为矩形．
∴OA＝BC，OD＝EF，OM＝HN
∴BC＝EF＝HN
即a＝b＝c．
故答案是：a＝b＝c．
20．M（a，b）是一次函数y＝x+3图象上一点，则关于x的方程ax2+bx+1＝0的根的情况是有实数根．
解：∵M（a，b）是一次函数y＝x+3图象上一点，
∴b＝a+3，
当a＝0时，b＝3≠0，bx+1＝0有一个实数解；
当a≠0时，
∵Δ＝b2﹣4a
＝（a+3）2﹣4a
＝a2﹣2a+9
＝（a﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个实数解，
综上所述，关于x的方程ax2+bx+1＝0有实数根．
故答案为有实数根．
三、解答题（共60分）
21．（16分）用适当的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2＝25．
（2）x2+6x﹣10＝0．
（3）3x（x+2）＝5（x+2）．
（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．
解：（1）4（x﹣3）2＝25，
（x﹣3）2＝，
∴x﹣3＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）x2+6x﹣10＝0，
x2+6x＝10，
x2+6x+9＝10+9，即（x+3）2＝19，
∴x+3＝，
∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；
（3）3x（x+2）＝5（x+2），
3x（x+2）﹣5（x+2）＝0，
（x+2）（3x﹣5）＝0，
∴x+2＝0或3x﹣5＝0，
∴；
（4）（x+1）（x+8）＝﹣12，
x2+9x+20＝0，
（x+4）（x+5）＝0，
∴x+4＝0或x+5＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣5．
22．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴AO＝BO，
∵C、D分别是半径OA、BO的中点，
∴OC＝OD，
在△OCB和△ODA中，
，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m2＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有两个实数根为x1，x2，且x1＝2x2+5，求m的值．
【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣m2）＝4+4m2．
∵m2≥0，
∴4+4m2＞0，即Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程x2﹣2x﹣m2＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣m2．
又∵x1＝2x2+5，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴﹣m2＝﹣3，即m2＝3，
解得m＝±．
24．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：
求证：（1）不论m取任何实数，代数式4m2﹣4（m+1）+9的值总是正数
（2）当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．
解：（1）4m2﹣4（m+1）+9
＝4m2﹣4m﹣4+9
＝4m2﹣4m+5
＝（2m﹣1）2+4；
∴不论m取任何实数，代数式4m2﹣4（m+1）+9的值总是正数．
（2）由（1）4m2﹣4（m+1）+9＝（2m﹣1）2+4得：
m＝时，此代数式的值最小，这个最小值是：4．
25．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得510元的利
润，每件应降价多少元？
解：（1）设每次下调的百分率为x，由题意，
得40（1﹣x）2＝32.4，
解得x1＝0.1，x2＝1.9，
经检验：1，x2＝1.9不符合题意，
故x＝0.1＝10%，
答：两次下降的百分率10%．
（2）设每件商品降价y元，由题意，
得（40﹣30﹣y）（48+8y）＝510，
解得y1＝1.5，y2＝2.5．
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5，
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；
26．已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵点E是AB的中点，
∴OE＝AB，
同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
27．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G．
（1）求证：＝；
（2）若的度数为50°，求∠C的度数．
【解答】（1）证明：连接AF．
∵A为圆心，
∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，
∴∠DAF＝∠GAD，
∴＝；
（2）解：∵的度数为50°，
∴∠BAF＝50°，
∵AB＝AF，
∴∠B＝∠AFB＝（180°﹣∠BAF）＝65°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠B＝115°．
28．阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P 与⊙O上各点之间的最短距离．
证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．
如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连接PC，OC．
∵PO＜PC+OC，
且PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC
∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．
（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB 于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是﹣1．
（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB 边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A′M的长度；②求线段A′C长的最小值．
解：（1）连接AO与⊙O相交于点P，如图①，由已知定理可知，
此时AP最短，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC为直径，
∴PO＝CO＝1，
∴AO＝＝＝，
∴AP＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）①∵将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，由翻折的性质可得：A′M＝AM，
∵M是AD边的中点，四边形ABCD为菱形，边长为2，
∴AM＝1，
∴A′M＝1；
②由①知，点A′在以点M为圆心，1为半径的圆上，
连接CM交圆M于点A′，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，如图②，∵∠A＝60°，四边形ABCD为菱形，
∴∠HDM＝60°，
在Rt△MHD中，
DH＝DM•cos∠HDM＝，
MH＝DM•sin∠HDM＝，
∴CH＝CD+DH＝2+＝，
在Rt△CHM中，
CM＝＝＝，
∴A′C＝﹣1．。