2021-2022学年江西省鹰潭市中童中学高二数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年江西省鹰潭市中童中学高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则
sinC=( )
A．1 B．C．D．
参考答案：
A
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】根据条件求出B=，再利用余弦定理解决即可．
【解答】解：∵A+C=2B，
∴A+C+B=3B=π，
则B=，
则b2=a2+c2﹣2accosB，
即3=1+c2﹣2c×，
即c2﹣c﹣2=0，
解得c=2或c=﹣1（舍），
则a2+b2=c2．即△ABC为直角三角形，
∠C=，即sinC=1．
故选：A
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理是解决本题的关键．
2. 在等比数列中，若则( )
A.16
B.28
C.32
D.108
参考答案：
D 略
3. 从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．至少有一个黒球与都是红球
B．至少有一个黒球与都是黒球
C．至少有一个黒球与至少有1个红球
D．恰有1个黒球与恰有2个黒球
参考答案：
D
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．
【解答】解：A中的两个事件是对立事件，故不符合要求；
B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，故不符合要求；
C中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件，不是互斥关系；
D中的两个事件是互互斥且不对立的关系，故正确．
故选D
4. 在△ABC中，已知A = 45°，B = 15°，a=1，则这个三角形的最大边的长为
（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 如图，空间四边形中，，，，点在
线段上，且，点为的中点，则（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
略
6. 已知三棱锥A—BCD的各棱长均为1，且E是BC的中点，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
7. 若f(x)=，则f（2017）=（）
A． B． C． D．参考答案：
B
由题可知：当时，，所以，故
8. 已知F1、F2为椭圆+=1(a＞b＞0)的焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且
∠F1MF2=60°，则椭圆的离心率为（）
(A) (B) (C)
(D)参考答案：
B
略
9. 数列的通项公式可以是
A．B．
C．D．
参考答案：
A
10. 双曲线上的点P到点(5, 0)的距离是15, 则点P到点(－5, 0)的距离是（）
A．7 B．23 C．11或19 D．7或23 参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知命题p：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为．
参考答案：
a≤﹣2或a=1
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题．
【分析】根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．
【解答】解：∵“p且q”是真命题，
∴命题p、q均为真命题，
由于?x∈[1，2]，x2﹣a≥0，
∴a≤1；
又因为?x∈R，x 2
+2ax+2﹣a=0， ∴△=4a 2+4a ﹣8≥0， 即（a ﹣1）（a+2）≥0， ∴a≤﹣2或a≥1， 综上可知，a≤﹣2或a=1． 故答案为：a≤﹣2或a=1
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错．
12. 已知F 是抛物线E ：y 2=4x 的焦点，过点F 的直线交抛物线E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中垂线仅交x 轴于点M ，则使|MF|=λ|PQ|恒成立的实数λ= ．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由根据抛物线的定义得：|PQ|=x 1+x 2+2，由y 12=4x 1，y 22=4x 2，相减得，y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2），
求得直线斜率k ，求得直线PQ 的方程，代入求得M 点坐标，求得|MF|，则=，即可求得
λ．
【解答】解：抛物线E ：y 2=4x 的焦点F 为（1，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则根据抛物线的定义得：|PQ|=x 1+x 2+2，
由y 12=4x 1，y 22=4x 2，相减得，y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2），
∴k==，
则线段PQ 的中垂线的方程为：y ﹣
=﹣
（x ﹣
），
令y=0，得M 的横坐标为2+
，又F （1，0），
∴|MF|=，
则=．
|MF|=|PQ|，
故答案为：． 13. 设数列
的通项公式为
，则
_____________.
参考答案：
58 略 14. 曲线
在点
处的切线与轴、直线
所围成的三角形的面积为 .
参考答案：
2
略
15. 在上定义运算：，若不等式对任意实数都成
立，则的取值范围是_________________。

参考答案：
16. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上的任意一点，若
的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是__________
参考答案：
17. 正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点O ，则异面直线OC 1与AD 1所成角的大小为 ．
参考答案：
30°
考点：异面直线及其所成的角． 专题：空间角．
分析：连结BC1，AD1∥BC1，∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线OC1与AD1所成角的大小．
解答：解：连结BC1，∵AD1∥BC1，
∴∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则BO==，C1O=，，
∴cos∠BC1O=
=
=，
∴∠BC1O=30°．
∴异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．
故答案为：30°．
点评：本题考查异面直线OC1与AD1所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知约束条件求目标函数的最大值、最小值.参考答案：
；.
试题分析：首先画出不等式所表示的平面区域，然后画初始目标函数，当时，，，当时，，说明纵截距最大时，最小，将初始目标函数向上平移时越来越小，向下平移时越来越大，得到目标函数的最大值和最小值以及相应的最优点.
试题解析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示的.
令时，有，由图可知：
将向上平移时减小，且过B点时有最小值，
联立得，B(0,2).代入得
将向下平移时增大，且过C点时有最大值，
联立得，C(5,0).代入得.
考点：线性规划
19. (本小题满分14分)
已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设,为数列的前项和．是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案：
解：（1）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列，则有,即
矛盾．
所以｛｝不是等比数列．…………………………………………………………．．…3分(2)解：因为……………………………．…5分
又，所以
当，，此时……………………………………………6分当时，，，
此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列．∴………………………………………………………8分
(3)要使对任意正整数成立，
即
得（1）……………………………………10分
令，则当为正奇数时，
∴的最大值为, 的最小值为,…………………………12分
于是，由（1）式得
当时，由，不存在实数满足题目要求；………13分
当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是
………………………………………………………．．…14分
20. 已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
参考答案：
解:(1)直线,则,
直线AC的方程为,??????????? 2分
由
所以点C的坐标．.?????????????????????????4分
(2),所以直线BC的方程为, ????????5分
,即．.????????????????7分
,????????????????????8分
点B到直线AC:的距离为.??????????????9分
则．.????
略21. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
已知曲线：（为参数），：（为参数）.
（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求线段的中点到直线
距离的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）
为圆心是，半径是的圆
为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆.
（Ⅱ）当时，，
设
则，
为直线，
到的距离
从而当时，取得最小值
22. （满分12分）已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项．
参考答案：
由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．……6分(1) 令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. ……8分
(2) 通项公式T r＋1＝，令，得r＝1，
故展开式中含的项为T2＝. ……12分。