2020数学新教材同步导学提分教程人教A第二册课件：第八章 立体几何初步 8.3 8.3.2 第2课
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二十二页，编辑于星期日：一点 七分。
2．长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义 可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别 为 a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r2＝12 a2＋b2＋c2，如 图(2)．
第二十三页，编辑于星期日：一点 七分。
第二十七页，编辑于星期日：一点 七分。
1．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为
()
4π
2π
3π π
A. 3 B. 3 C. 2 D.6
答案 A
解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的 直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1， 其体积是43×π×13＝43π.
答案
解析
第二十八页，编辑于星期日：一点 七分。
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，
则该球的表面积为( )
81π A. 4
B．16π
C．9π
27π D. 4
答案 A
答案
第二十九页，编辑于星期日：一点 七分。
解析 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt△AOE 中，(4－r)2＋( 2)2 ＝r2，解得 r＝94，∴该球的表面积为 4πr2＝4π×942＝814π.
cm3
第十五页，编辑于星期日：一点 七分。
(2)球的表面积为 400π，一个截面的面积为 64π，则球心到截面的距离 为________．
答案 (1)A (2)6 解析 (1)如图，作出球的一个截面，则 MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，
答案
第三十四页，编辑于星期日：一点 七分。
课后课时精练
第三十五页，编辑于星期日：一点 七分。
解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为
a.如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，OP
＝12a，所以球的半径
R＝OA
满足
R2＝
33a2＋12a2＝172a2，故
S
球＝4πR2＝73πa2.
第二十六页，编辑于星期日：一点 七分。
随堂水平达标
∴R＝5，∴V 球＝43π×53＝5300π(cm3)．
答案
解析
第十六页，编辑于星期日：一点 七分。
(2)如图，由已知条件知球的半径 R＝10，截面圆的半径 r＝8，
∴球心到截面的距离 h＝ R2－r2＝6.
第十七页，编辑于星期日：一点 七分。
题型三 球的组合体问题 例 3 设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( ) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
(1)两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________； (2)已知球的大圆周长为 16π cm，求这个球的表面积．
答案
364π (1) 3
(2)见解析
答案
第十页，编辑于星期日：一点 七分。
解析 (1)设大、小两球半径分别为 R，r，则由题意可得
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴在 Rt△ABE 中，AE＝
a2－a32＝
6 3 a.
设球心为 O，半径为 R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝ 46a，
∴S
球＝4π×
46a2＝32πa2.
答案
第二十一页，编辑于星期日：一点 七分。
1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
第一页，编辑于星期日：一点 七分。
核心概念掌握
第二页，编辑于星期日：一点 七分。
知识点 球的表面积和体积
1．球的表面积
如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ □01 4πR2 .
2．球的体积 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
□02 43πR3 .
第三页，编辑于星期日：一点 七分。
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
3．正四面体的外接球
正四面体的棱长
a
与外接球的半径
R
的关系为：2R＝
6 2 a.
第二十四页，编辑于星期日：一点 七分。
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( )
A．πa2 B.73πa2 C.131πa2 D．5πa2 答案 B
答案
第二十五页，编辑于星期日：一点 七分。
解析
第十二页，编辑于星期日：一点 七分。
则 OO′＝ 2，O′M＝1， ∴OM＝ 22＋1＝ 3，即球的半径为 3， ∴V＝43π×( 3)3＝4 3π.
[答案] B
解析 答案
第十三页，编辑于星期日：一点 七分。
球的截面的性质 (1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面 问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截 面，并充分利用它来分析解决问题． (2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 满足关系 d＝ R2－r2.
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R＝8，
则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
第十一页，编辑于星期日：一点 七分。
题型二 球的截面问题 例 2 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离 为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π [解析] 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
第三十页，编辑于星期日：一点 七分。
3．三个球的半径之比为 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球 的表面积之和的( )
A．1 倍 B．2 倍 C.95倍 D.74倍 答案 C
解析 设最小球的半径为 r，则另外两个球的半径分别为 2r,3r，其表面 积 分 别 为 4πr2,16πr2,36πr2 ， 故 最 大 球 是 其 余 两 个 球 的 表 面 积 之 和 的 4πr32＋6π1r62 πr2＝95倍．
第七页，编辑于星期日：一点 七分。
[解] (1)∵球的直径为 6 cm，∴球的半径 R＝3 cm. ∴球的表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 球的体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)． (2)∵S 球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即 R＝4. ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2536π. (3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5. ∴S 球＝4πR2＝100π.
答案 (1)C (2)1 (3)43π (4)4π
答案
第五页，编辑于星期日：一点 七分。
核心素养形成
第六页，编辑于星期日：一点 七分。
题型一 球的表面积与体积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5030π，求它的表面积．
答案
解析
第三十一页，编辑于星期日：一点 七分。
4．一个距离球心为 3的平面截球所得的圆面面积为 π，则球的体积为 ________．
答案
32π 3
解析 设所得的圆面的半径为 r，球的半径为 R， 则由 π＝πr2，得 r＝1， 又 r2＋( 3)2＝R2，∴R＝2. ∴V＝43πR3＝332π.
答案
第十八页，编辑于星期日：一点 七分。
[解析] 作出图形的轴截面如图所示，点 O 即为该球的球心，线段 AB 即为长方体底面的对角线，长度为 a2＋2a2＝ 5a，线段 BC 即为长方体的 高，长度为 a，线段 AC 即为长方体的体对角线，长度为 a2＋ 5a2＝ 6a， 则球的半径 R＝A2C＝ 26a，所以球的表面积 S＝4πR2＝6πa2.
解析
第三十二页，编辑于星期日：一点 七分。
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个 半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时 容器中水的深度．
第三十三页，编辑于星期日：一点 七分。
解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面． 根据切线的性质知，当球在容器内时，水深 CP 为 3r，水面的半径 AC 为 3r，则容器内水的体积为 V＝V 圆锥－V 球＝13π·( 3r)2·3r－43πr3＝53πr3， 而将球取出后，设容器内水的深度为 h， 则水面圆的半径为 33h， 从而容器内水的体积是 V′＝13π· 33h2·h＝19πh3， 由 V＝V′，得 h＝3 15r.即容器中水的深度为3 15r.
[答案] B
解析 答案
第十九页，编辑于星期日：一点 七分。
[条件探究] 将本例中长方体改为棱长为 a 的正四面体，则球的表面积如 何求？
解 如图，过 A 作底面 BCD 的垂线，垂足为 E，则 E 为△BCD 的 中心，连接 BE.
∵棱长为
a，∴BE＝
23a×23＝
3 3 a.
答案
第二十页，编辑于星期日：一点 七分。
第十四页，编辑于星期日：一点 七分。
(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一
个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，
若不计容器厚度，则球的体积为( )
500π A. 3
cm3
866π B. 3
cm3
1372π C. 3
cm3
2048π D. 3
第四页，编辑于星期日：一点 七分。
2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是 c，则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
(2)表面积为 4π 的球的半径是________．
(3)直径为 2 的球的体积是________．
(4)已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为________．
答案
第八页，编辑于星期日：一点 七分。
求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求出半径 R， 然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积 的相关题目也就易如反掌了．
第九页，编辑于星期日：一点 七分。
2．长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义 可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别 为 a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r2＝12 a2＋b2＋c2，如 图(2)．
第二十三页，编辑于星期日：一点 七分。
第二十七页，编辑于星期日：一点 七分。
1．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为
()
4π
2π
3π π
A. 3 B. 3 C. 2 D.6
答案 A
解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的 直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1， 其体积是43×π×13＝43π.
答案
解析
第二十八页，编辑于星期日：一点 七分。
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，
则该球的表面积为( )
81π A. 4
B．16π
C．9π
27π D. 4
答案 A
答案
第二十九页，编辑于星期日：一点 七分。
解析 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt△AOE 中，(4－r)2＋( 2)2 ＝r2，解得 r＝94，∴该球的表面积为 4πr2＝4π×942＝814π.
cm3
第十五页，编辑于星期日：一点 七分。
(2)球的表面积为 400π，一个截面的面积为 64π，则球心到截面的距离 为________．
答案 (1)A (2)6 解析 (1)如图，作出球的一个截面，则 MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，
答案
第三十四页，编辑于星期日：一点 七分。
课后课时精练
第三十五页，编辑于星期日：一点 七分。
解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为
a.如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23× 23a＝ 33a，OP
＝12a，所以球的半径
R＝OA
满足
R2＝
33a2＋12a2＝172a2，故
S
球＝4πR2＝73πa2.
第二十六页，编辑于星期日：一点 七分。
随堂水平达标
∴R＝5，∴V 球＝43π×53＝5300π(cm3)．
答案
解析
第十六页，编辑于星期日：一点 七分。
(2)如图，由已知条件知球的半径 R＝10，截面圆的半径 r＝8，
∴球心到截面的距离 h＝ R2－r2＝6.
第十七页，编辑于星期日：一点 七分。
题型三 球的组合体问题 例 3 设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( ) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
(1)两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________； (2)已知球的大圆周长为 16π cm，求这个球的表面积．
答案
364π (1) 3
(2)见解析
答案
第十页，编辑于星期日：一点 七分。
解析 (1)设大、小两球半径分别为 R，r，则由题意可得
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴在 Rt△ABE 中，AE＝
a2－a32＝
6 3 a.
设球心为 O，半径为 R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝ 46a，
∴S
球＝4π×
46a2＝32πa2.
答案
第二十一页，编辑于星期日：一点 七分。
1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
第一页，编辑于星期日：一点 七分。
核心概念掌握
第二页，编辑于星期日：一点 七分。
知识点 球的表面积和体积
1．球的表面积
如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ □01 4πR2 .
2．球的体积 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
□02 43πR3 .
第三页，编辑于星期日：一点 七分。
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
3．正四面体的外接球
正四面体的棱长
a
与外接球的半径
R
的关系为：2R＝
6 2 a.
第二十四页，编辑于星期日：一点 七分。
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( )
A．πa2 B.73πa2 C.131πa2 D．5πa2 答案 B
答案
第二十五页，编辑于星期日：一点 七分。
解析
第十二页，编辑于星期日：一点 七分。
则 OO′＝ 2，O′M＝1， ∴OM＝ 22＋1＝ 3，即球的半径为 3， ∴V＝43π×( 3)3＝4 3π.
[答案] B
解析 答案
第十三页，编辑于星期日：一点 七分。
球的截面的性质 (1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面 问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截 面，并充分利用它来分析解决问题． (2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 满足关系 d＝ R2－r2.
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R＝8，
则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
第十一页，编辑于星期日：一点 七分。
题型二 球的截面问题 例 2 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离 为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π [解析] 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
第三十页，编辑于星期日：一点 七分。
3．三个球的半径之比为 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球 的表面积之和的( )
A．1 倍 B．2 倍 C.95倍 D.74倍 答案 C
解析 设最小球的半径为 r，则另外两个球的半径分别为 2r,3r，其表面 积 分 别 为 4πr2,16πr2,36πr2 ， 故 最 大 球 是 其 余 两 个 球 的 表 面 积 之 和 的 4πr32＋6π1r62 πr2＝95倍．
第七页，编辑于星期日：一点 七分。
[解] (1)∵球的直径为 6 cm，∴球的半径 R＝3 cm. ∴球的表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 球的体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)． (2)∵S 球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即 R＝4. ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2536π. (3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5. ∴S 球＝4πR2＝100π.
答案 (1)C (2)1 (3)43π (4)4π
答案
第五页，编辑于星期日：一点 七分。
核心素养形成
第六页，编辑于星期日：一点 七分。
题型一 球的表面积与体积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5030π，求它的表面积．
答案
解析
第三十一页，编辑于星期日：一点 七分。
4．一个距离球心为 3的平面截球所得的圆面面积为 π，则球的体积为 ________．
答案
32π 3
解析 设所得的圆面的半径为 r，球的半径为 R， 则由 π＝πr2，得 r＝1， 又 r2＋( 3)2＝R2，∴R＝2. ∴V＝43πR3＝332π.
答案
第十八页，编辑于星期日：一点 七分。
[解析] 作出图形的轴截面如图所示，点 O 即为该球的球心，线段 AB 即为长方体底面的对角线，长度为 a2＋2a2＝ 5a，线段 BC 即为长方体的 高，长度为 a，线段 AC 即为长方体的体对角线，长度为 a2＋ 5a2＝ 6a， 则球的半径 R＝A2C＝ 26a，所以球的表面积 S＝4πR2＝6πa2.
解析
第三十二页，编辑于星期日：一点 七分。
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个 半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时 容器中水的深度．
第三十三页，编辑于星期日：一点 七分。
解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面． 根据切线的性质知，当球在容器内时，水深 CP 为 3r，水面的半径 AC 为 3r，则容器内水的体积为 V＝V 圆锥－V 球＝13π·( 3r)2·3r－43πr3＝53πr3， 而将球取出后，设容器内水的深度为 h， 则水面圆的半径为 33h， 从而容器内水的体积是 V′＝13π· 33h2·h＝19πh3， 由 V＝V′，得 h＝3 15r.即容器中水的深度为3 15r.
[答案] B
解析 答案
第十九页，编辑于星期日：一点 七分。
[条件探究] 将本例中长方体改为棱长为 a 的正四面体，则球的表面积如 何求？
解 如图，过 A 作底面 BCD 的垂线，垂足为 E，则 E 为△BCD 的 中心，连接 BE.
∵棱长为
a，∴BE＝
23a×23＝
3 3 a.
答案
第二十页，编辑于星期日：一点 七分。
第十四页，编辑于星期日：一点 七分。
(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一
个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，
若不计容器厚度，则球的体积为( )
500π A. 3
cm3
866π B. 3
cm3
1372π C. 3
cm3
2048π D. 3
第四页，编辑于星期日：一点 七分。
2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是 c，则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
(2)表面积为 4π 的球的半径是________．
(3)直径为 2 的球的体积是________．
(4)已知一个球的体积为43π，则此球的表面积为________．
答案
第八页，编辑于星期日：一点 七分。
求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求出半径 R， 然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积 的相关题目也就易如反掌了．
第九页，编辑于星期日：一点 七分。