高中数学 第2讲 直线与圆的位置关系 第1节 圆周角定理课后练习 新人教A版选修4-1(2021年

课后练习新人教A版选修4-1
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理课后练习新人教A版选修4-1
一、选择题(每小题5分，共20分）
1．如图所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC,∠A＝40°,D是错误!的中点,E 为错误!的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE的三内角的度数分别是( ) A．50°，30°，100°B．55°，20°，105°
C．60°,10°，110° D．40°，20°，120°
解析：如右图所示,连接AD．
∵AB＝AC，D是错误!的中点,
∴AD过圆心O。

∵∠A＝40°，∴∠BED＝∠BAD＝20°，
∠CBD＝∠CAD＝20°。

∵E是错误!的中点，
∴∠CBE＝错误!∠CBA＝35°，
∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.
∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°.
答案：B
2．如图所示，AB是半⊙O的直径，弦AD,BC相交于点P，若CD＝3,AB＝4，则tan∠BPD ＝( ）
A．错误!B．错误!
C．5
3
D．错误!
解析: 如右图所示．
连接BD，则∠BDP＝90°,
∵∠DCP ＝∠BAP ，∠CDP ＝∠ABP ，
∴△APB ∽△CPD ．∴错误!＝错误!＝错误!. 在Rt △BPD 中,cos ∠BPD ＝错误!, ∴cos ∠BPD ＝3
4.∴tan ∠BPD ＝错误!。

答案： D
3．AB 为⊙O 的直径，AC 为圆中的任意一弦，点D 为错误!的中点,那么OD （ ) A ．等于错误! B ．等于AC C ．与AC 相交
D ．与AC 平行
解析： 如右图所示，连接OC ． ∵D 为错误!的中点，
∴∠BOD ＝∠DOC ＝错误!∠BOC ．
又∵∠A ＝错误!∠BOC ，∴∠A ＝∠BOD ． ∴OD ∥AC ,故选D ． 答案: D
4.如图，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的
面积等于( ）
A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
解析: 由∠ACB ＝30°知AB ︵
所对圆心角为60°,
由OB ＝OA 知△BOA 为等边三角形，故AB ＝OB ＝OA ＝4， 故S 圆＝πr 2
＝π×42
＝16π. 答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分）
5．如图所示,在⊙O 中，∠AOB ＝100°,则错误!的度数为_________，错误!
的度数为________.
解析： 由圆心角定理，得错误!的度数＝∠AOB 的度数
＝100°，
错误!的度数＝360°－错误!的度数＝360°－100°＝260°，
故填100°，260°。

答案： 100° 260°
6.如图,△ABC是圆O的内接等边三角形，AD⊥AB，与BC的延长线相交于点D,与圆O相交于点E，若圆O的半径r＝1,则DE＝________。

解析：连接BE。

∵AD⊥AB．
所以BE为⊙O的直径,且BE＝2r＝2。

又∵∠AEB＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝30°,∠EBD＝30°,
又∵∠ABD＝60°，
∴∠D＝∠EBD＝30°，
∴DE＝BE＝2.
答案: 2
三、解答题(每小题10分，共20分）
7.如图,AB是⊙O的一条弦，∠ACB的平分线交AB于点E，交⊙O于点D．
求证:AC·CB＝DC·CE.
证明：连接BD．在△ACE与△DCB中，
∵∠EAC与∠BDC是同弧所对的圆周角，
∴∠EAC＝∠BDC．
又∵CE为∠ACB的平分线,
∴∠ACE＝∠DCB,∴△ACE∽△DCB．
∴AC
CE
＝错误!。

∴AC·CB＝DC·CE。

8．已知如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点,A是错误!的中点，AD⊥BC于点D,BF交AD于点E。

（1)求证：BE·BF＝BD·BC;
（2）试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．
解析: （1）证明：连接FC，则BF⊥FC．
在△BDE和△BCF中，
∵∠BFC＝∠EDB＝90°,
∠FBC＝∠EBD，
∴△BDE∽△BFC．
∴错误!＝错误!.
即BE·BF＝BD·BC．
(2)连接AC、AB,则∠BAC＝90°。

∵错误!＝错误!,
∴∠1＝∠2.
又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°,
∴∠2＝∠3。

∴∠1＝∠3.
∴AE＝BE。

在Rt△EBD中，BE＞BD,
∴AE＞BD．
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)如图，BC是半圆O的直径，A、D为半圆O的三等分点，且BC＝4,P是直径BC 上的一动点,且PF⊥BD，PE⊥AC．
（1）求PE＋PF的值；
(2）如果点P是AD边上的动点,那么PE＋PF的值是不是定值？如果PE＋PF是定值,请证明你的结论，如果不是定值，请说明理由．
解析: （1）∵A，D为半圆O的三等分点。

错误!＝错误!＝错误!，
∴∠DBC＝∠ACB＝30°，
又∵∠PFB＝∠PEC＝90°,∴BP＝2PF，PC＝2PE，
∴BP＋PC＝2(PF＋PE)，
∴PF＋PE＝4
2
＝2。

(2）P点在AD上时，PE＋PF是定值．
∵A、D是半圆O的三等分点，
∴∠DAC＝∠ADB＝30°，
在Rt△PAE中，PE＝错误!AP，
在Rt△PDF中，PF＝错误!PD．
∴PE＋PF＝错误!（AP＋PD)＝错误!AD,
连接OA，OD，
∵错误!是半圆的错误!，∴∠AOD＝60°，又OA＝OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴AD＝OA＝错误!BC＝2，
∴PE＋PF＝1(定值)．。