初中数学竞赛辅导讲义

初中数学竞赛辅导讲义 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
初中数学竞赛辅导讲义（初三）
第一讲 分式的运算
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1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]
例1．化简
2312++x x + 6512++x x + 12
71
2
++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1
++x x
= 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)
4)(1(3
++x x
例2． 已知
z z y x -+ = y z y x +- = x
z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+)
3()2()
1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ
=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1
例3．设 1
2+-mx x x =1，求 12
242+-x m x x 的值。

解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x
1 = ｍ + 1 ∴ 2
2241x x m x +- = ｘ2
+ 21x - ｍ2= (x +
x
1)2
-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=
1
21
-m
例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。

解：
1- ａ=0 ∴ ａ=1
例5：设ｎ为正整数，求证
311⨯ + 5
11
⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21
证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121
+n ）
=21（1- 1
21
+n ）
∵n 为正整数，∴
1
21
+n ＜ 1 ∴1-
121+n ＜ 1 故左边＜ 2
1
[小结归纳]
1、部分分式的通用公式：
)(1k x x + = k 1 （x 1 - k
x +1
）
2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。

[巩固练习]
1、若分式
1
2
22
-+m m 的值是正整数， 则整数m= 。

2、若
1432a a a a ++ = 2431a a a a ++ = 34
21a a a a ++ = 4
321a a a a ++ =ｋ
则k= 。

3、已知a 2-3b 2 = 2ab .(a ＞0，b ＞0),则
b
a b a -+2 = .
4、已知a 、b 、c 是有理数，且
b a ab +=31，
c b bc + = 41，a c ca += 51，则ca
bc ab abc
++= 。

5、若
x
1
- y 1 = 2006，则y xy x y xy x 260192-+++-= 。

6、实数a 、b 满足ab=1，设A =
a +11 +
b +11 ，B=a +1a + b
+1b +1，则A 、B 的关系 为 。

7、当ａ、ｂ、ｃ为何值时，多项式b ax x x x =++-23433能被除数232+-x x 整除
8、计算 20072007
20072007
20077
521
15++ = 。

9、已知)
3)(23(3
22-+--+x x x x x = 1A -X + 2B -X + 3C -X ， 求A 、B 、C 的值。

10、若对于±3以外的一切实数X ，等式
3+x m - 3-x n = 9
82-x x
均成立，则mn = 11、已知b a = c b = a c ，则c
b a c
b a +--+ = 。

第二讲 分式方程及应用
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1、解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；
2、解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；
3、分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。

[例题选讲]
例1． 解方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=---+=-++661091852x
y y x y x y x
分析：令
y x +1 =m, y x -1 =n ,则⎩⎨⎧=+=+66
1091852n m n m
可得：⎪⎩
⎪
⎨⎧==566
n m 易求：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3121y x
例2． 解方程
7
30
468157264---
--=-----x x x x x x x x 解：原方程可化为
6
1
711121--
-=---x x x x 两边分别通分：
)
6)(7(1
)1)(2(1---=---x x x x ，易求：ｘ = 4
例3． 当ｍ为何值时，关于x 的方程
2
1122---+=--x x x x
x x m 的解为正数
解：解方程可得：x=21m -，需⎪⎩⎪
⎨⎧≠-≠〉2
1
0x x x 可得ｍ＜1 且m ≠-3。

例4． 设库池中有待处理的污水a 吨，从城区流入库池的污水按每小时b 吨的固定流量增加，若同时开动2台机
组需30小时处理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组
解：设1台机组每小时处理污水y 吨，要在5小时内处理完污水， 至少同时开动x 台机组，则：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+⨯=+⨯=+xy
b a y b a y
b a 551041030230 可得 ⎩⎨
⎧==y b y a 30 X ≥ 755=+y b a 例5． 求证对任意自然数n ，有222131211n
++++
＜2 证明：当n=1时，1＜2显然成立。

当ｎ＞1时，ｎ（ｎ-1）＜ｎ2 所以21n
＜ n n n n 111)1(1--=- 故：222131211n
++++ ＜)111()3121()211(1n n --++-+-+ n
12-＜2 [点评归纳]
1、当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；
2、假分式构成的分式方程一般先分离整数， 然后等式两边分别通分可解。

3、解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。

[巩固练习]
1、某同学用一架不等臂天平称药品， 第一次将左盘放入50g 砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g 砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（ ）
A 、等于100g
B 、大于100g
C 、小于100g
D 、都有可能
2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时， 再用小抽水机单独抽水1小时即可浇完， 已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的2
11倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时
3、解方程13307223+++++x x x x x = 20
724536112223+++++x x x x x 4、解方程5
2)10)(9(1)32(1)2)(1(1101=+++++++++++x x x x x x x ）（
5、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问混合后的单价。

6、自然数m 、n 是两个不同质数，且m+n+mn 的最小值为P ，则22
2p
n m += 7、已知m x x x f ++=2372)(有因式32+x ，则ｍ=
8、求1
12++=x x y 的最大值。

第三讲 一元二次方程的解法
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1、一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。

2、对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。

3、含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。

4、设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。

[例题选讲]
例1． 解方程16
1311112222=+++++++x x x x x x 解：令y x x x =+++1122，则y y 1+ =1613,解得321=y ，2
32=y 即321122=+++x x x 或231
122=+++x x x ，解得2153,,1321±-==x x 例2． 解方程8532++x x - 1532++x x =1 解：∵（8532++x x + 1532++x x ）（8532++x x -1532++x x ）=7
∴ 8532++x x + 1532++x x =7① 又8532++x x -1532++x x =1②
①+②：8532++x x =4
易知：X 2=1 X 2= 3
8 例3：已知m 是方程X 2 -2007X+1=0的一个不为O 的根
求 ｍ2 -2006m+1
20072+m 的值 解：∵ｍ为方程的非零根，∴ｍ2 -2007ｍ+1=0
可得ｍ2 =2007ｍ-1，ｍ+
m 1=2007，ｍ2+1=2007ｍ
原式=2007ｍ-1-2006ｍ+m 20072007=ｍ+m
1-1=2007-1=2006 例4、设ａ、ｂ为实数，那么a 2+ab+b 2-ａ- 2b 的最小值为多少
解：原式：=a 2+（b-1）a+（b 2-2b ） =(a+
21 b ）2 +43(b-1）2-1 当a=o b=1时，最小值为-1
例5：解方程ｍ2（x 2-x+1）-ｍ（x 2-1）=（ｍ2-1）ｘ
解：原方程整理为：ｍ（ｍ-1）ｘ2-（2ｍ2-1）ｘ+ｍ（ｍ+1）=0
[ｍｘ-（m + 1）[（ｍ-1）ｘ-ｍ]=0
ｍx=ｍ+1 或（ｍ-1）ｘ=ｍ
1）当ｍ≠0，ｍ≠1时，x1=
m m 1+，x2=1-m m 2）ｍ=0，ｘ= 0
3）ｍ=1时ｘ=2
例6：方程（2007ｘ）2 -2006×2008X-1=0的较大根为ｍ，
方程2006x 2-2007X+1=0的较小根为ｎ,求ｎ-ｍ的值
解:方程①可化为(20072X+1)(X-1)=0 X=-
220071 X 2=1 ∵ X 2＞X 1 ∴m=1 方程②可化为(2006X-1`)(X-1)=0
X 1 =-20061
X 2=1 ∵X 1 ＜X 2∴ｎ=20061
n - m = 20061-1=-20062005
[点评归纳]
1、有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。

2、含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时
通常可用平方差公式构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。

3、一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用。

[巩固练习]
1、解方程：2x 2+22
x -3X-x 3=
2、解方程：237+--X X +145
+--X X =
3、解方程：x 2-|2X-1|-4=
4、三个二次方程a x 2+bx+c=0，b x 2+ｃｘ+ａ=0，c x 2+ａｘ+ｂ=0
有公共根，求证ａ+ｂ+ｃ=0
5、已知a 、b 、c 均为实数，且满足122+-a a +|ｂ+1|+(ｃ+2)2=0
试求方程a x 2+ｃｘ-ｂ=0的解
6、求证方程（ａ-ｂ）x 2+（ｂ-ｃ）x +ｃ-ａ=0（a ≠b ）有一个根为1。

7、设方程x 2+px+q=的两根为X 1、X 2，且I 1 =x 1 + X 2 I 2=x 21+x 2
2……
I n = x n 1+ x n
2则当n ≥3时，求I n +PI n-1+qI n-2+的值。

8、证明：不论X 为何实数，多项式2x 4 - 4 x 2 - 1的值总大于x 4-2x 2-4的值。

9、已知a 2-4a+b 2-
2b +1665=0，则a 2-4b = 10、已知m 、n 为有理数，方程x 2+mx+n=0有一个根为5-2，求m+n 的值。

11、已知ｍ2=ｍ+5，ｎ2=ｎ+5，ｍ≠ｎ，求ｍ5+ ｎ5的值.
12、二次方程a （x+1）（x+2）+b （x+2）（x+3）+c （x+3）（x+1）=
13、解关于x 的方程（ｍ-1）x 2 + 2ｍx+ｍ+3=0
第四讲 根的判别式及根与系数的关系
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１、设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为X 1、 X 2，则ax 2+bx+c = a （X- X 1）（X- X 2）= ax 2-ａ（X 1+ X 2）X+ａX 1X 2
∴ X 1+ X 2= -
a b X 1 X 2=a c 这两个式子即为一元二次方程 根与系数的关系。

要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑ａ≠0 、 △≥0这两个前提条件。

2、一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作△=b 2-4ac ，使用的前提是方程为一元二次方程，即二次项系
数a ≠0，它是解决一元二次方程整数解的工具。

3、使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重要知识与
方法。

[例题选讲]
例1：已知一直角三角形三边分别为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于X 的方程a （X 2-1）-2CX+b （X 2+1）=0的根的情况如何
解：方程整理为：（a+b ）X 2-2CX+b-a=0
△ =4（C 2+ a 2-b 2）
∵ ∠B=90° ∴C 2+ a 2= b 2
∵△=0 ，原方程有两个相等实根
例2：求所有正实数a ，使得方程X 2-aX+4a=0仅有正整数根。

解：设方程的两个正整数根为X ，y （X ≤y ）则 ⎩
⎨⎧==+a xy a y x 4
X ｙ-4（ｘ+ｙ）=0 （ｘ-4）（ｙ-4）=16
⎩⎨⎧=-=-444
4y
x 这时x=y=8 a=ｘ+ｙ=16
⎩⎨⎧=-=-8424y x 这时 ⎩⎨⎧
==12
6y x a=ｘ+ｙ=18
⎩⎨⎧=-=-16414y x 这时⎩
⎨⎧==205
y x
a=ｘ+ｙ=25
例3：已知12＜ｍ＜60，且一元二次方程X 2-2（ｍ+1）ｘ+ｍ2=0，两个整数根，求整数ｍ，并求这两个整数根。

∵X=ｍ+1±12+m 为整数 ∴2ｍ+1必为完全平方数
∵＜12 ｍ＜60，∴25＜2ｍ+1＜121 ∵2ｍ+1为奇数
∴2ｍ+1=49或2ｍ+1=81
则ｍ1=24时，X1=32，X2=18
ｍ
2=40时，X
1
=50，X
2
=32
例4：设a、b、c是互不相等的非零实数，求证三个方程，aX2+2bx+c=0 bX2+2cx+a=0 C X2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。

证明（一）：假设三个方程都有两个相等的实数根。

（1）+（2）+（3）：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
(ａ-ｂ)2+(ｂ-ｃ)2+(ｃ-ａ)2=0
有 ａ=ｂ=ｃ,这与已知条件矛盾
所以三个方程不可能都有两个相等的实数根.
证明（二）:△1+△2+△3=2[(ａ+ｂ)2+(ｂ-ｃ)2+(ｃ-ａ)2]
∵a 、b 、c 为全相等 ∴ △1+△2+△3＞0
∴△1+△2+△3中至少有一个大于0
即至少有一个方程有两个不相等的实数根。

例5：已知βα、是方程X 2-7X+8=0的两根，且α＞β 不解方程，利用根与系数的关系求α
2 + 3β2的值。

分析：由α+B=7 2β=8直接求α
2+3B 2的值无法下手,这时,我们常用对偶式β2+3α2来构造和差求解: ∵α+β=7 2β=8
∴α 2+β2=（α+β）2-2αβ=72-2х8=33
（α-β）2=（α+β）2-4αβ=72-4х8=17
又∵α＞ β ∴α-β= 17
令M=α2+3β2,构造M 的对偶式N=β
2+3α2
∴M+N=( α2 + β2) +3(α2+ B 2)=10043
①
M-N=( α
2 -β2) +3(β2-α2)=- 485 17 ② (①+ ②)÷2得 M= 8
1785403- [点评归纳]
1运用一元二次方程根的判别式时，常与配方法结合使用，这时应考虑非负数的性质。

4、运用根与系数的关系求整数解时，因式分解法及分离整数法是求不定方程整数解的常用方法。

5、利用对偶式构造和差法是代数式求值时重要的变形技巧，应灵活运用。

[巩固练习]
1、方程X 2+PX+q=0的两个根都是正整数，且P+q=1996，试问方程较大根与较小根之比为多少
2、已知一元二次方程a X2+bx+c=0（ac≠0）有两个异号实根ｍ和ｎ，且ｍ＜|ｍ|，那么二次方程C X2+（ｍ-ｎ）ax-a=0的根的情况是（）
A、没有实根
B、两根同正
C、两根同负
D、两根异号
3、关于X的二次方程2 X2-5X-a=0的两根之比，X
1 ：X
2
=2:3
则X1 -X
2
=
4、若方程X2-4（ｍ-1）X+3ｍ2-２ｍ＋4K＝0，对于任意有理数ｍ都有有理根，求实数K的值。

5、求方程ｘ＋ｙ＝X2－ｘｙ＋ｙ2+１的实数解。

6、若对于任何实数a，关于X的方程，X2-2ax-a+2b=0都有实根则实数b的取值范围是（）
7、若ｍ是不为0的整数，当二次方程ｍX2-（ｍ-1）X+1=0有有理根时，则ｍ=（）
８、方程| X2-5X|=ａ有且只有相异二实根，求a的取值范围
9、关于X 的方程ａX 2+2（ａ-3）ｘ+（ａ-2）至少有一个整数解且a 是整数，求a 的值。

10、已知X 1、X 2是关于X 的方程4 X 2-（3ｍ-5）ｘ-6ｍ2＝0的两个实根，且|21x x |= 2
3试求ｍ的值. 11、设方程4X 2-2X-3=0的两个根为ｍ、ｎ，求4ｍ2＋２ｎ的值.
12、若ａ、ｂ、ｃ都是实数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，abc=1则
ａ、ｂ、ｃ中必有一个大于23
.
13、设a 2+2a-1=0 b 4-2b 2-1=0 且ab 2 ≠1则（a b ab 122
++）2007
=
14、已知ａ、ｂ为整数，且ａ＞ｂ，方程3 X 2+3（ａ+ｂ）X+4ａｂ=0的两根α、β满足关系式α
（
α+1）+β（β+1）=（α+1）（β+1），试求所有的整数对（a 、b ）
15、关于X 的方程，X 2+（a-6）X+ａ=0 的两根均为整数，求a.
16、已知X 1、 X 2是方程4aX 2-4ax+ａ+4=0的两个实根
（1）是否能适当选取a 的值，使是（X 1-2X 2）（X 2-2X 1）的值为
4
5 （2）求使122x x +221x x =的值为整数的整数a 的值． 17、求证：对于任意一矩形A ，总存在矩形B ，使得矩形A 和矩形B 的周长之比和面积之比都等于常数K （其中K ≥1）
第五讲：一元二次方程的应用
[知识点击]
1、一元二次方程的应用问题，诸如：数字问题、面积问题、增长率问题、方案设计问题等，综合运用一元二次方
程的有关知识，是各类考试与竞赛的重要考点，须认真领会。

2、形如AX 2+Bxy+cy 2+DX+Ey+F 的各项式叫做关于X 、y 的二元二次多项式，常见的分解方法有双十字相乘法、待
定前数法、公式法等。

公式法是先将原式整理成关于X （或y ）的二次三项式，再运用求根公式。

3、非一次不定方程主要掌握两种情况：二次三项式左边分解成两个因式的乘积，右边分解因数求整数解；分式不
定方程，采用整数离析法求整数解。

4、可化为一元二次方程的分式方程要注意方程的特点进行有效的变形，像X+
x 1=ａ+a
1
这类特殊类型的方程，显然ａ 1时，X 1=ａ与X 2=
a
1
就是它的两个根。

无理方程通过配方、换元、分解转化为有理方程来解。

[例题选讲]
例1：m 为何值时，二次三项式x 2+2x-2+m(x 2-2x+1)是完全平方式 解：原式=（ｍ＋１）X 2＋２（１－ｍ）ｘ＋（ｍ—２） 令 △=0，即4(1-ｍ)2-4(ｍ＋１)（ｍ－２）＝０
解得ｍ=3
例2：分解因式X 2＋xy-2y 2-ｘ＋７y-6 解：∵X 2＋xy-2y 2=（ｘ－ｙ）（ｘ＋2y ）
∴设原式=（ｘ－ｙ＋ｍ）（ｘ＋2y ＋ｎ）
＝X 2＋xy-2y 2=（ｍ＋ｎ）ｘ＋（２ｍ－ｎ）ｙ＋ｍｎ
比较对应项系数⎪⎩
⎪
⎨⎧-==--=+6
721
mn n m m m ⎩⎨⎧-==32m m
∴原式＝（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋２ｙ－３）
例3：在矩形地ABCD 中央修建一矩形EFGH 花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度
解：设道路宽X ，AB=ａ，AD=ｂ，（ａ＞ｂ），则
（ａ-2X ）（ｂ-2X ）=
2
1
ａｂ，8x 2 -4（ａ＋ｂ）ｘ＋ab=0 解得ｘ＝4
1
［（ａ＋ｂ）±22b a +］
若ｘ＝41［（ａ＋ｂ）＋22b a +］，则ｘ＞41（ｂ＋ｂ＋2ｂ）＞2
b
这不可能，舍去这个根。

则ｘ＝4
1
［（ａ＋ｂ）－22b a +］
量法是：用绳量出AB+BC （即ａ＋ｂ之长），从中减法BD （即22b a +）；将剩下的绳长对折两次即得到道路宽度X 。

例4：ｍ为何值时，关于X 的分式方程
11+-x x +m
x m
x -++2=0只有一个根 解：原方程整理为2x 2-（1-ｍ）ｘ＝０
（１）当△=(1-ｍ)2=0时,ｍ=1,方程有两个等根ｘ＝０经验符合题意 （２）当ｍ≠1时,X 1=0 X 2=
2
1
-m 有一个为增根 代入公分母(X+1)(X-ｍ)中可得ｍ=0 式ｍ=-1
所以ｍ=-1或ｍ=0或ｍ=1时，原方程只有一个实根。

例5：解方程4x =
4
712x
-
解：令ｙ=4x 则ｙ=
y
-712
· y 2-7ｙ+12=0 y 1= 3 y 2=4
代入y=4x得： x1= 81 x2=256
例6：xy表示一个十位数字为X，个位数字为y的两位整数，且x1 y满足条件X2- y2=5X，则此两位整数是多少
解：由X2- y2=5X得y2=x（ｘ-5）
∵ｘ、ｙ均为整数，∴５9
≤x
≤
经验证，只有当ｘ=５时，ｙ=0，两位数为50
ｘ=9时，ｙ=6，两位数为96
例7：方程X2+PX+ｑ=0的两根均为正整数，且ｐ+ｑ=28，求方程的两根。

解：设X2+PX+ｑ=0的两根为x1,x2.则ｘ1 +ｘ2 =-P ｘ1 +ｘ2 =q
代入ｐ＋ｑ=28中（ｘ1 -1）（ｘ2 -1）=29
由⎩⎨⎧=-=-2911121x x 得
⎩⎨
⎧==3022
1x x 由⎩⎨⎧=-=-2129121x x 得⎩⎨⎧==230
21x x 所以原方程两根为2、30 例8：求方程2xy －2x 2＋3x-5y+11=0的整数解。

解：原方程可化为ｙ＝5
211
322---x x x
∴ｙ＝ｘ＋１－
526-x （１）∵ｙ为整数 ∴5
26
-x 必为整数 又∵2x-5为奇数, ∴2x-5为6的奇数约数,即2x-5=±1、±3代入（1）：ｙ＝４，９，－２，３∴
⎩
⎨
⎧-==3,2,9,44,3,2,1y x
例9：某商店将进货值每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品售价每提1元，则日销售量就减少5个，若将这种商品售价直降低1元，则日销量就增加10个，为了获得最大的利润，作为商店经理应把此商品售价定为每个多少元
解：设此商品每个售价为X元，每日利润为y元。

(1)当X ≥18时，ｙ＝［60-5（ｘ-18）］（ｘ-10）=-5(ｘ-20)2+`500
即商品售价每个20元时,每日最大利润为500元.
(2)当X≤ 18时，ｙ＝［60+10（18-ｘ）］（ｘ-10）=-10(ｘ-17)2+490
即商品售价每个17元时,每日最在利润为490元。

综上所述，该商品应定价为每个20元，使每日利润最大。

[点评归纳]
1、应用一元二次方程解决实际问题时，应注意ａ≠0及判别式△的取值情况。

2、利用一元二次方程建立数学模型时，配方法常用来求最值，求根公式法虽然运算量较大，但在求整数解、
有理根时常用，仍不失为一种行之有效的好方法。

3、待定系数法、换元法、因式分解法、整数离析法等方法渗透在一元二次方程的应用问题中，要区分它们的
适用范围与条件，灵活运用。

[巩固练习]
1、分解因式2X2-5xy-3y2+ｘ＋11y-6
2、在长为a的线段AB上有一点C，且AC是AB和BC的比例中项，求AC的长。

当K为何值时，二次三项式
X2-25-K（X+5）是关于X的完全平方式。

4、甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时相遇。

一天乙地的船因故晚发了40分，结果两船在11时15分相遇，乙知甲地开出的船在静水中的速度为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度V 千米/时的平方，求V.
5、若正数X 的整数部分的平方等于X 与它小数部分的积，则X-
x
1
= 6、关X 的方程（X+
x a ）2-5X-x a 5=-6有两个根相等,求a.若方程2-x x +x
x 2
-+ )2(2-+x x a x =0只有一个实数根，求a
的值及原方程的根。

（ａ=-
27时，X=2
1
；ａ=-4时，ｘ=1 ａ=-8时，ｘ=-1 7、关于X 的方程X 2+KX+4-K=0有2个整数根，求K 的值. 8、求方程X 2+xy+ y 2-3x-3y+3=0的整数解。

10、求ｍ为何整数时，二次三项式ｍ2＋2ｍ-1的值可以分解为两个连续整数之积。

11.求方程x 1＋y 1＝2
1
的正整数解．
第六讲 与圆有关的位置关系
[知识点击]
1、垂径定理是圆的轴对称性的产物，在证明线段相等，弧相等，角相等几方面及圆中的有关计算问题，应用极为
广泛，类似于直角三角形中的勾股定理般重要，应熟练掌握。

2、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系分别由点与圆心的距离，圆心与直线的距离，圆心距与圆的半径之间的
数量关系确定。

3、三角形的“四心”：重心——三条中线的交点，各条中线被重心分面2:1两部分；外心——三边中垂线的交点，
外接圆的圆心，垂心——三条高的交点；内心——内角平分线的交点，内切圆的圆心。

4、四点共圆：若四边形ABCD 的一组对角互补，则A 、B 、C 、D 四点共圆。

5、相交弦定理，切割线定理与相似的三角形结合使用是解决和圆有关的比例线段的重要途径。

[例题选讲]
例1：△ABC 中，∠A=72°，⊙O 截△ABC 的三条边所得的三条弦都相等，求∠BOC
解：过O 作三条相等弦的弦心距OD 、DE 、OF ，则
⎭
⎬⎫
==OB OB OE OD ⇒ Rt △BDO ≌Rt △BEO ⇒ ∠OBD=∠
OBE=X
同理∠OCE=∠OCF=ｙ 2X+2y+∠A=180° ｘ+ｙ=54°∠BOC ＝180°-(ｘ+ｙ)=126°
例2、四边形AB （1）内接于⊙O ，AC ⊥BD ，垂是为E ， BAD ：BCD=3:1 DF 交AC 于
点G ，且AF ·AB=AG
D
E
F
·AE ，BE=2，ED=3
（１）求证△AFG ≌△DFB （２）求四边形ABCD 的面积。

解（1）
AF ·AB=AG ·AE
⇒△AFG ≌△DFB （ASA ）
（2）⎭
⎬⎫
∠=∠∠=∠BDC 12
1⎪⎭
⎪⎬
⎫
=⊥∠=∠⇒DE DE CG
DR BDC 2⎭⎬⎫==⇒∆≅∆⇒a CE EG CE DCE PGE 设
⇒ａ（ａ+5）=2X3⇒ ａ=1 ⇒ｓ=
2)215(5+X =2
35
例3、等腰△ABC 中，AB=AC ，BC=4，内切圆半径为1，求腰长
解：设AB 、AC 、BC 分别切O0于F 、E 、D
G
连OF 、AD 令AF=X
∵AB=AC ∴BF=BD=
2
1
BC=2 Rt △AOF 中，AO=12+x
Rt △ABD 中，AB 2= AD 2+ BD 2 即(ｘ+2)2=12+x +1)2+22
解得 ｘ=34, AB=AC=34+2=3
10
例4：⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1A=35 O 2A=5 COS ∠AO 1O 2=
5
5
2 求Sin ∠BAO 2的值。

5
5
2=6 解：AB ⊥O 1O 2 O 1C= O 1A COS ∠A O 1O 2=53×
AC=2122C O A O -=3 6=⇒AB
延长AO 2交 ⊙O 2于D ，AD=10，AB=68=⇒BD
Sin ∠BAO 2=
108=5
4 例5：PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，PC 满足AB ·PB-AC ·PC=AB ·PC-AC ·PB
且AP ⊥PC ，∠PAB=2∠BPC 求∠ACB
解：AB ·PB-AC ·PC=AB ·PC-AC ·PB
.2α=∠APB ． 90=∠BPC -2α,
⇒A 、B 、C 三点共⊙P 令=∠PAB α,则 B
D
∠PAB=180°-4α 又 PA=PB ∠APB=2α ∠PAB=
2
2180α
-︒ =90°-α ⇒180°-4α=90°-α⇒α=30°
例6、AB 为⊙O 直径，PB 切⊙O 于点B 、PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，线段AE 、BD 的长是一元二次方程X 2-KX+32=0（K 为常数）的两个根。

（１）求证PA ·BD=PB ·AE （２）求证⊙O 的直径为常数K （３）求tan ∠FPA
证：（1）易证△PAE ∽△PBD 从而PA ·BD=PB ·AE
（2）易证∠BED=∠BDE 则BD=BE 又AE+BD=K 则AE+BE=AB=K
（3）∠A=60° AB ⊥PB 则BP=3 k
BE AE =BP AP =
3
2 则AE=
3
2BE
AE+BE=K
3
2BE+BE=K 则BE=
3
23+K
tan ∠FPA= tan ∠EPB=
BP BE =K
K
33
23+ =2-3 [点评归纳]
1、弦心距和半径是圆中常用的辅助线，因为应用垂径定理和直角三角形的知识在解决弦的有关问题时常常用到。

2、三角函数值在圆中的计算常常用到，这时我们通常需要构造直角三角形或用直角三角形中与之相等的角替换，
使已知的三角函数值可用或可求。

D
3、有公共端点的几条线段相等时，常构造圆使问题迎刃而解。

[巩固练习]
1、以线段AB 为直径的一个半圆，圆心为O ，C 是
半圆周上一点，且OC 2=AC ·BC ，
则∠CAB=
2、⊙O 的半径OA=6cm ，点C 是弦AB 上一点，OC ⊥OA 且
OC=BC 当AB 的长.
3、平面上不共线的四点，可以确 个圆。

4、已知ABC =
2
1
∠ABC ABC= 5、三角形一边为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，这个三角形面积为
6、⊙O半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上两点，
A C的度数为96°，
B D的度数为36°，动点P在AB
上运动，则CP+PD的最小值为
7、A、B、C为⊙O上的三点，若∠ABO=50°，则∠BCA= 第7题第8题
8、△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=43，则⊙O的直径为
9、AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，弦CE交AB于D，
求证：AB2=2CD·CE
10、AB为半圆的直径，AD⊥AB，点C为半圆上一点，
CD⊥AD，若CD=2，AD=3，求AB的长。

11、AB切⊙O于D，AO延长线交⊙O于C，BC 切⊙O于C，若AD：AB=1:2 则AO:OC=
12、半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，
且其余三连BC、CD、DA部分⊙O相切，若
BC=2，DA=3，则AB=
13、⊙O⊥OB，⊙O与BO相切于E，与AB内切于
F，与以OA为直径的半圆外切于点G，若OA=a，
求⊙D的半径。

14、已知ａ、ｂ为两个不等圆的半径（ａ＞ｂ），C是两圆的圆心距，若两圆内含，则关于ｘ的方程X2-2ａX+ｂ2=C（ｂ+ａ）的根的情况为
15、⊙O中，半径ｒ=5cm，AB、CD是两条平行弦，且AB=8cm，CD=6cm求AC的长。

16、设A
1B
1
、A
2
B
2
、A
3
B
3
是⊙O中处于圆心同侧的三条平行弦，且A
1
B
1
与A
2
B
2
的距离等于A
2
B
2
与A
3
B
3
的距离，三条弦
的长度分别为20、16、8，求这个圆的半径。