28第4章光在各向异性介质中的传输特性

此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空 间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为 七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系； 正 交晶系；单斜晶系；三斜晶系。由于它们的对称性不同， 所 以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同。三斜、单斜
和正交晶系中，主介电系数ε1≠ε2≠ε3,这几类晶体在光学
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
1)各向同性介质或立方晶体
各向同性介质或立方晶体的主介电系数ε1=ε2=ε3=n02。
D D1 D2 D3
01E1 0 2 E1 0 3 E1 0n02 E
在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传播的光波 折射率都等于主折射率n0 ，即光波折射率与传播方向无关。
第介4电章常光数在各 向异0性r介质是中二的阶传张输量特。性(4-14)式的分量形式为
Di 0 ij E j
j
i, j=1, 2, 3
(4-15)
即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性相关。 在一般情况下，D与E
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
又由光的电磁理论，晶体的介电张量
应于每一个光线方向s，只允许有两个特定振动方向的线偏振光 (两个本征模式)传播，这两个光的E矢量相互垂直(因而振动面
相互垂直)，并且，在一般情况下，有不同的光线速度，不同的 波法线方向和不同的折射率。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 3. 光在几类特殊晶体中的传播规律
上面从麦克斯韦方程组出发，直接推出了光波在晶体中传 播的各向异性特性，并未涉及具体晶体的光学性质。下面， 结 合几类特殊晶体的具体光学特性，从晶体光学的基本方程出发， 讨论光波在其中传播的具体规律。
1 v12
1 vr2
1 v22
1 vr2
1 v32
(4-44)
(4-43)式和(4-44)式描述了在晶体中传播的光线方向s与相应的
光线折射率nr、光线速度vr和晶体的光学参量
、 主 速 度 v1 、
v2、v3之间的关系。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
类似前面的讨论可以得出如下结论：在给定的晶体中， 相
和偏振态。类似地，也可以得到确定相应于光线方向为s的两 个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程——光线菲涅耳方程 (射线菲涅耳方程、光线方程) ：
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
s12
nr2 1
s22
nr2 2
s32
nr2 3
0
(4-43)
s12 s22 s32 0
或
1 vr2
T12 T22 T32
T13 T23 T33
q1 q2 q3
(4 - 2)
式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量
T
和矢量q。二阶张
量有九个分量， 每个分量都与一对坐标(按一定顺序)相关。(4
-1)式的分量表示式为
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
p1 T11q1 T12q2 T13q3
p2
T21q1
T22q2
T23q3
p3 T31q1 T32q2 T33q3
(4 - 3)
其一般分量形式为
pi Tijq j i, j 1,2,3 j
(4 - 4)
由上述讨论可以看出，如果 T 是张量，则p矢量的某坐标分量
不仅与q矢量的同一坐标分量有关， 还与其另外两个分量有关。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
关系为
T1'1
T1'2
T1'3
a11
a12
a13
T11
T12
T13
a11
a21
a31
T2'1
T2'2
T2'3
a21
a22
a23 T21
T22
T23 a12
a22
a32
T3'1
T3'2
T3'3
a31 a32 a33 T31 T32 T33 a13 a23 a33
(4-9)
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 3.
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
光的能量传播方向与 光波法线方向不同。
E、D、s、k在一个平面 E垂直于s, D垂直于k
图 4-1 平面光波的电磁结构
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
相速度和光线速度
相速度vp是光波等相位面的传播速度，其表示式为
vp
vpk
c n
k
(4 - 29)
光线速度vr是单色光波能量的传播速度，即：
光学参量主介电系数ε1, ε2, ε3 之间的关系。
k12
v
2 p
v12
k22
v
2 p
v22
k32
v
2 p
v32
0
c
v1,2,3
1,2,3
(32)
描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的相速度vp和三个 描述晶体光学性质的主速度v1, v2, v3 之间的关系。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
(1) 两种特许线偏振光波(本征模式) 为讨论方便起见，取k在x2Ox3平面内，并与x3轴夹角为θ
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
方程有两个解
n' no
n"
none
no2 sin2 ne2 cos2
第一个解n′与光的传播方向无关，与之相应的光波称为 寻常光波，简称o光。第二个解n″与光的传播方向有关，随θ 变化，相应的光波称为异常光波(非寻常光波、非常光波)， 简称e光。对于e光，当θ=π/2时，n″=ne; 当θ=0 时，n″=no。 可见，当k与x3轴方向一致时，光的传播特性如同在各向同性 介质中一样，n′=n″=no。
生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系
O x1x2 x3中，某张量表示式为［Tij］，在新坐标系 O x1' x2' x3'
中，该张量的表示式为［Tij′］, 则当原坐标系O-x1x2x3与新
坐标系 O x1' x2' x3' 的坐标变换矩阵为［aij］时， [Tij' ] 与[Tij ] 的
通常称这两个线偏振光为相应于给定k方向的两个本 征模式，其方向关系如图 4-4 所示。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
图 4-4 与给定的k相应的D、E和s
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
光线菲涅耳方程(光线方程)。 上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线
方向k上，特许的两个线偏振光(本征模式)的折射率(或相速度)
是一个对称张量，
因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是对角张
量， 只有三个非零的对角分量， 为
1
0
0
0 2 0
0
0
3
ε1, ε2, ε3 称为主介电系数
由麦克斯韦关系式 n r 相应地定义三个主折射率n1, n2,n3
在主轴坐标系中，有： Di 0i Ei i 1,2,3
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
由波法线菲捏尔方程可见，对一般晶体，光的折射率
或相速度随光波方向k变化，这种沿不同方向具有不同折
射率或相速度的特性，即是晶体的光学各向异性。 结论：一般情况下，对应于晶体中每一给定的波法
线方向k，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播， 它们的D矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，具有不同 的折射率或相速度。
4.2.1
根据光的电磁理论， 光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯 韦方程组描述。
1. 麦克斯韦方程组
在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中， 若没
有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为
H D t
(4 - 17)
E
0
H t
(4 - 18)
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
物质方程为
B 0 D 0
4.1.1
1.
张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联的量。例
如，矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为
pHale Waihona Puke T q(4 - 1)第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
式中，T 是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系O-x1x2x3中，上
式可表示为矩阵形式
p1 p2 p3
T11 T21 T31
一个二阶张量［Tij］，如果有Tij=Tji，称为对称张量，它
只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在 着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分 量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主轴变换时， 二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张量
T11
T12
T13
T21 T22 T23
上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主介电系数
ε1=ε2≠ε3,这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在 光学上是各向同性的， ε1=ε2=ε3。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 表 4 - 1 各晶系的介电张量矩阵
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播
直于H的同一平面内。并且，在一般情况下， D和E不在同一方 向上。
② 由能流密度的定义
S=E×H 可见，H垂直于s(能流方向上的单位矢量)，故E、D、s、k同在 一个平面上，并且在一般情况下，s和k的方向不同，其间夹角
与E和D之间的夹角相同(图 4-1)。
一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向 通常与光波法线方向不同。
B 0H D E
(4 - 19) (4-20)
(4-21) (4-22)
为简单起见，我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。 对于任意复杂的光波，因为光场可以通过傅里叶变换分解为许 多不同频率的单色平面光波的叠加， 所以也不失其普遍性。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 2. 光波在晶体中传播特性的一般描述
由电磁场理论已知，介电常数ε是表征介质电学特性的 参量。
在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如下关系：
D 0r E
在此，介电常数ε=ε0εr是标量，电位移矢量D与电场矢量E的 方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量线性相关。
对于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为
D 0r E
vp vr s k vr cos (4 - 30)
结论：单色平面光波的相速度是其 光线速度在波阵面法线方向的投影。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
一般情况相速度和 光线速度分离，其 大小和方向均不同。
图 4-2 vp与vr的关系 (AB表示波阵面)
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 2)
实际上，一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量 可以看作是一个一阶张量。从分量的标记方法看， 标量无 下标， 矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量 有三个下标。 因此， 下标的数目等于张量的阶数。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 2.
如上所述，由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发
T31 T32 T33
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 经上述主轴变换后，
T1'1 T1,T2'2 T2 ,T3'3 T3,T1'2 T2'1 T1'3 T3'1 T2'3 T3'2 0,
可表示为
T1
0
0
0 T2 0
0 0 T3
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 4.1.2
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
4.1 晶体的光学各向异性 4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播 4.3 平面光波在晶体界面上的反射和折射 4.4 晶体光学元件 4.5 晶体的偏光干涉 例题
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
4.1 晶体的光学各向异性
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性 图 4-5 各向同性介质中D, E, k, s的关系
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
2)单轴晶体 单轴晶体的主介电系数为
1 2 no2 , 3 ne2 no2
(4 - 48)
其中，ne>no的晶体，称为正单轴晶体；ne < no 时，称为负单轴 晶体。
折射率的定义（相折射率）：
c n
vp
形式上定义“光线折射率”(或射线折射率、 能流折射率)nr:
nr
c vr
c vp
cos
n cos
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
波法线菲捏尔方程： k12 k22 k32 0
1 n2
1
1
1 n2
1
2
1 n2
1
3
(31)
描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的折射率n和晶体
1) 设晶体中传播的单色平面光波为
E、D、H
(
E0、D0、H
0
i
)e
(t
n c
k
r
)
式中，n r ;c 1/ 00 是真空中的光速; k是波法线方向
的单位矢量；c/n =v是介质中单色平面光波的相速度。
第 4 章 光在各向异性介质中的传输特性
① D垂直于H和k，H垂直于E、D、k， 因此，E、D、k在垂