2.2.3- 2.2.4 直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质 课件(人教A必修2)

∵a∥α，∴a∥b， 过a作平面ε交平面β于c. ∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c. 又b⊄β且c⊂β，∴b∥β. 又平面α过b交β于l，∴b∥l. ∵a∥b，∴a∥l.
[例2] 如图，已知α∥β，点P是平面 α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB， PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长． [自主解答] (1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线PB和PD确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，∴AC∥BD.
图形语言
符号语言
a∥α
a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
α∥β α∩γ＝a
β∩γ＝b
⇒a∥b
1．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的 交线相互之间有什么关系？ 提示：过a与α相交的平面有无数多个，由线面平 行的性质定理可知，这些交线都与a平行，故它们 之间互相平行．
2．若直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，b∥平面γ， γ∩α＝c，则a与c是否平行？为什么？
提示：平行，因为 aaα∥ ⊂∩αββ＝b⇒a∥b
b∥γ b⊂α
⇒c∥b
γ∩α＝c
⇒a∥c.
3．如果两个平面平行，那么位于其中一个平面内的 直线与另一平面是什么位置关系？ 提示：平行
4．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的 直线也互相平行，这句话对吗？为什么？ 提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两 个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．
法二： 连接AF并延长交BC于点M，连接B′M. ∵AD∥BC， ∴△AFD∽△ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFB， ∴MAFF＝DBFF.
直线与平面、平面与平面平行的性质
定理 表示
文字语言
线面平行的性质定理 面面平行的性质定理
一条直线与一个平面 如果两个平行平面同
平行，则 过这条 时 和 第 三 个 平
直线的任一平面与 面 相交 ，那么它
此平面的交线
与该直线平行
们的交线 平行
定理 表示
线面平行的性质定理 面面平行的性质定理
本例中，若D是CB的延长线上一点，且BC1∥平面AB1D.如 图所示，求证：BD＝BC. 证明：∵BC1∥平面AB1D， BC1⊂平面BB1C1C， 且平面AB1D∩平面BB1C1C＝B1D， ∴BC1∥B1D.
又BD∥B1C1(棱柱的性质)， ∴四边形BDB1C1为平行四边形． ∴BD＝B1C1＝BC. 得证．
∴PPAB＝PPDC，即ABP－APA＝PPDC. ∴5－4 4＝P3D，∴PD＝34. ∴CD＝PC＋PD＝3＋34＝145(cm)．
1．面面平行性质定理的作用: (1)证明直线与直线平行： 证明线面平行、面面平行、四边形是平行四边形、线 段相等(或求线段长度)等问题时都可以通过面面平行的性 质定理推出线线平行，最终借助线线平行实现求解． (2)证明线面平行： 要证明线面平行，首先考虑应用线面平行的判定定理， 其次考虑应用面面平行的性质转化为线面关系或线线关系 使问题得到解决．
(2)由(1)得AC∥BD， ∴APAB＝CPCD. ∴45＝C3D.∴CD＝145. ∴PD＝PC＋CD＝247(cm)．
本例中都在α与β之间，在第(2)问条件下求CD的长． 解：如图，∵PB∩PC＝P， ∴PB，PC确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，α∥β. ∴AC∥BD， ∴△PAC∽△PBD，
2．面面平行的性质定理的几个常见推论: (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行 于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比 例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平 面互相平行．
1．线线平行与线面平行常用的转化为:
2．线面平行的性质定理的作用在于：把线线平行的 判定转化为线面平行的判定．因此，我们要证明(或判定) 两条直线平行时，直接方法难以成功，此时，不妨考虑转 化为证明(或判定)线面平行的问题．
1．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行， 那么这条直线和它们的交线平行． 证明：已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 证明：如图，过a作平面γ交α于b.
由FH∥AD，可得BBDF＝BBHA， 又BF＝B′E，BD＝AB′，
∴BB′′EA＝BBHA， ∴EH∥B′B， 又EH⊄平面BB′C′C，B′B⊂平面BB′C′C. ∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H. ∴平面FHE∥平面BB′C′C， 又∵EF⊂平面FHE. ∴EF∥平面BB′C′C.
[例1] 如图，在三棱柱ABC－
A1B1C1中，过AA1作一平面交平面 BCC1B1于EE1. 求证：AA1∥EE1.
[证明] 在三棱柱ABC－A1B1C1中AA1∥BB1， ∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AA1∥平面BCC1B1. ∵AA1⊂平面AEE1A1， 平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1， ∴AA1∥EE1.
2．如图所示，两条异面直线BA，DC 与两平行平面α，β分别交于B， A和D，C，M，N分别是AB，CD的中 点．求证MN∥平面α. 证明：过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P， 连接MP，PN，BE，ED. ∵AE∥CD， ∴AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE， 平面AEDC∩β＝AC， ∵α∥β，∴AC∥DE. 又P，N分别为AE，CD的中点， ∴PN∥DE.PN⊄α，DE⊂α，
∴PN∥α. 又M，P分别为AB，AE的中点， ∴MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α， ∴MP∥α.又PN∩MP＝P， ∴平面MPN∥α. 又MN⊂平面MPN， ∴MN∥α.
如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上， 点F在BD上，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.
[证明] 法一： 作FH∥AD交AB于H，连接HE. ∵AD∥BC，∴FH∥BC， 又FH⊄平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C. ∴FH∥平面BB′C′C.