4.3-有向图 Euler路

定义
定义4.3.6 设G=(P,A)是有向图,对G中任意两 是有向图, 定义 , 是有向图 中任意两 的有向路, 点v,v' (v≠v'),如果都有从 到v'的有向路,则 , ≠ ,如果都有从v到 的有向路 是强连通的. 称G是强连通的. 是强连通的 定义4.3.7 设G=(P,A)是有向图,r∈P(G).称r 是有向图, 定义 , 是有向图 ∈ . 的根, 中任一点v ≠ ,都有从v到 为G的根,如果对 中任一点 (v≠r),都有从 到 的根 如果对G中任一点 r的有向路. 的有向路. 的有向路 显然,强连通图的每一点都是根,反之, 显然,强连通图的每一点都是根,反之,每一点 都是根的有向图也必是强连通的. 都是根的有向图也必是强连通的.
漠视图
有向图G的漠视图 有向图 的漠视图G0: 的漠视图 (1)删去 中自身到自身的弧; 删去G中自身到自身的弧 删去 中自身到自身的弧; (2)G中任意两点,若有弧,只保留一条; 中任意两点, 中任意两点 若有弧,只保留一条; (3)删去弧的方向,即得 0. 删去弧的方向, 删去弧的方向 即得G 称有向图G是连通的 如果G的漠视图 是连通的, 的漠视图G 称有向图 是连通的,如果 的漠视图 0是连 通的. 通的. 显然,若有向图G是强连通的 是强连通的, 必有根; 显然,若有向图 是强连通的,则G必有根; 必有根 若有向图G有根 则漠视图G 必连通.反之, 有根, 若有向图 有根,则漠视图 0必连通.反之,不 一定成立.亦即, 连通, 不一定有根; 一定成立.亦即,若G0连通,则G不一定有根; 不一定有根 若有根,则G未必强连通. 若有根, 未必强连通. 未必强连通
定理4.3.1(转化定理) 定理4.3.1(转化定理)
(2)若r不在此回路中,由 若 不在此回路中 不在此回路中, v1 有向树定义知, 有向树定义知,v0或v1恰发 vn-1 一弧,不妨设G 中的边v 一弧,不妨设 0中的边 0v1 … 中从v 的弧, 是G中从 1到v0的弧,则v1 中从 v2 已发弧, 中的边v 已发弧,则G0中的边 1v2必 vk … 中从v 的弧, , 是G中从 2到v1的弧,…, 中从 vk-1 中边v 中从v 则G0中边 n-1vn是G中从 n 中从 的弧, 于是, 到vn-1的弧,又vn=v0, 于是, 中一有向回路, 得G中一有向回路,矛盾. 中一有向回路 矛盾. 故假设不成立,此连通图G 无回路, 故假设不成立,此连通图 0无回路,故G0是树 vn = v0
例:
A e7 e8 e9 F e10 e6 E e5 e3 e4
r
e1 B e2 C
强连通的 不是强连通的,有根B 不是强连通的,有根 有根r 有根
D
定义4.3.8 定义4.3.8
有向图G称为有向树(或有根树),如果 中 有向图 称为有向树(或有根树),如果G中 称为有向树 ),如果 有一点r,并且满足: 有一点 ,并且满足: (1) G中每一点 ≠r)都恰是一条弧 的起点. 中每一点v(v≠ 都恰是一条弧 的起点. 都恰是一条弧e的起点 中每一点 (2) r不是任一条弧的起点. 不是任一条弧的起点. 不是任一条弧的起点 (3) r是根. 是根. 是根 从定义中我们可推出有向树有如下性质: 从定义中我们可推出有向树有如下性质: 1) 每一点 ≠r)到r恰有一条有向路; 每一点v(v≠ 到 恰有一条有向路 恰有一条有向路; 2) 没有有向回路; 没有有向回路; 3) 两点间最多有一条弧. 两点间最多有一条弧.
定义4.3.3 定义4.3.3
是有向图, 设G=(P, A)是有向图,弧序列 1, …,en)称 是有向图 弧序列(e 称 的从v到 其长度为 的有向路, 其长度为n的有向路 为G的从 到v'其长度为 的有向路,如果 的从 1)ei∈A(G), i=1, … ,n ) 2)v=init(e1), v'=fin(en) ) 3)fin(ek)=init(ek+1), 1≤k≤n-1 ) ≤ ≤ 在不引起混乱的情况下, 在不引起混乱的情况下,有时也将有向 写成( 路(e1, … , en)写成(v1, … , vn, vn+1),其中 写成 vi=init(ei) (i=1, … , n),vn+1=fin(en). , .
定理4.3.1(转化定理) 定理4.3.1(转化定理)
因为从v, 各恰有一条到 的简单路, 各恰有一条到r的简单路 因为从 ,v'各恰有一条到 的简单路,分别设 , , , , , , , 为(v,v1,v2,…,r),(v',v1',v2',…,r), , 若v≠ v1',v1≠v',则由于 ≠v',所以可设 vi,vj' ≠ , ,则由于v≠ , 是这两条路中从左向右看第一对相同的点, 是这两条路中从左向右看第一对相同的点,亦即 vi= vj',但是 ,v1,…,vi,vj-1',…,v1',v'互不相同, 互不相同, ,但是v, , , , , 互不相同 所以(v, 是从v到自身 所以 ,v1,…,vi,vj-1',…,v1',v',v)是从 到自身 , , , , , 是从 的简单路, 的简单路,当i=j=1时,此路为 ,v1,v',v),长 时 此路为(v, , , 度为3,即此路是回路,矛盾. 度为 ,即此路是回路,矛盾.
定义4..如果 , 是有向图 如果P(H) P(G), , A(H)A(G),则称 为G的有向子图(简 的有向子图( ,则称H为 的有向子图 称子图) 的母图. 称子图).G是H的母图.如果 是G的子 是 的母图 如果H是 的子 并且P(H)=P(G),则称 是G的支撑 图,并且 ,则称H是 的支撑 子图. 子图.
§4.3有向图 Euler路 4.3有向图 Euler路
§4.3.1 有向图与有向树
定义4.3.1 G=(P, A)称为有向图,如果 是点集 称为有向图, 定义 称为有向图 如果P是点集 是从一点引到一点( 合 , A是从一点引到一点 不要求一定是另一点 )的弧 是从一点引到一点 的弧 集合. 为有限集时, 称为有限有向图 称为有限有向图. 集合.当P为有限集时,G称为有限有向图. 为有限集时 是一条从点v到点 的弧, 的起点, 若e是一条从点 到点 的弧,则称 为e的起点, 是一条从点 到点v'的弧 则称v为 的起点 记为v=init(e);v'为e的终点 记为v'=fin(e). 的终点, 记为v=init(e);v'为e的终点,记为v'=fin(e). 把起点和终点都是点v的弧称为反身弧 的弧称为反身弧, 把起点和终点都是点 的弧称为反身弧,有向 图中两点(可以是相同的)间的弧可以有无穷条. 图中两点(可以是相同的)间的弧可以有无穷条. 显然,有限有向图中的集合A未必是有限集 未必是有限集. 显然,有限有向图中的集合 未必是有限集.即, 有限有向图中的弧可以有无穷多条. 有限有向图中的弧可以有无穷多条.
定理4.3.1(转化定理) 定理4.3.1(转化定理)
(1) 若r在此路中,不妨假 在此路中, 在此路中 中对应G ,则在G中对应 设v0=r,则在 中对应 0的 vn-1 的弧一定是从v 边v0v1的弧一定是从 1到v0 … 又因G中除根外恰发一 的,又因 中除根外恰发一 所以G 中边v 必是G 弧,所以 0中边 1v2必是 vk 中从v 的弧, , 中从 2到v1的弧,…,G0中 必是G中 边vk-1 vk必是 中vk到vk-1的 弧,…,G0中边 n-1vn必是 , 中边v G中vn到vn-1的弧,而vn= 的弧, 中 v0=r,矛盾. ,矛盾. vn = v0=r v1 v2 … vk-1
定理4.3.1(转化定理) 定理4.3.1(转化定理)
2)再证第二个命题. 再证第二个命题. 再证第二个命题 任选树中一点r作为根 规定: 作为根, 任选树中一点 作为根,规定:将G0中任意一 改成从v到 的弧当且仅当 且从 的弧当且仅当v≠ 且从v到 的 边vv'改成从 到v'的弧当且仅当 ≠r且从 到r的 改成从 简单路通过v'.即这条简单路形如: 简单路通过 .即这条简单路形如:(v,v',…,r) . (1)首先证明上述规定的无矛盾性:对树 0中 首先证明上述规定的无矛盾性: 首先证明上述规定的无矛盾性 对树G 任意一边vv', 任意一边 ,若v'=r,则按规定,将边 改成 ,则按规定,将边vv'改成 的弧; 从v到r的弧;若v'≠r,则往证:按规定,其方向 到 的弧 ≠ ,则往证:按规定, 或者从v到 ,或者从v'到 ,二者必居其一. 或者从 到v',或者从 到v,二者必居其一.
是有向图, ∈ 设G=(P, A)是有向图,v∈P(G),从点 到自 是有向图 ,从点v到自 身的简单有向路(长度可以为 长度可以为1或 称为有向 身的简单有向路 长度可以为 或2)称为有向 回路. 回路.
例:
e7 e8
A e1
e9 F B ),(e ),(e (e2),( 3, e4, e2), 3, e5, e10 e6, e10, e2),( 3, e5, e6, e7, ),(e e2 e6 e1)是从 到B的4个有向 是从C到 的 个有向 C E e4 路.这4条有向路只有 条有向路只有 e5 第一条, 第一条,第四条是简单 e3 D 的; ),(e ),(e ),(e 条有向回路; (e3, e4),( 3, e5, e6, e10),( 8),( 9)是4条有向回路; 条有向回路 有向图G中 到其它任意点都没有有向路. 有向图 中,从B到其它任意点都没有有向路. 到其它任意点都没有有向路
定理4.3.1(转化定理) 定理4.3.1(转化定理)
若v=v1'且v1=v',则(v,v',v2, …,r), (v,v2',…,r) 且 , , 是两条从v到 的简单路 由于v 的简单路, , 是两条从 到r的简单路,由于 2' ≠v',所以这是 两条不同的从v到 的简单路 矛盾. 的简单路. 两条不同的从 到r的简单路.矛盾. 故由上面证明知,必有v=v1',或者 1=v',二 故由上面证明知,必有 ,或者v , 者恰居其一. ',则按规定, vv'改成从 者恰居其一.若v=v1',则按规定,边vv'改成从 v'到v的弧;若v1=v',则按规定,边vv'改成从 的弧; 改成从v 到 的弧 ,则按规定, 改成从 的弧. 到v'的弧.故按上述规定,树G0中任一边都能改 的弧 故按上述规定, 成一个有确定方向的弧, 成一个有确定方向的弧,即,将G0改成一个有 向图G. 向图 .
例:
V2
V1
V1 V3 V3 V2
有向图中点v的输出次数(出度) 有向图中点v的输出次数(出度)是集合 {e|init(e)=v}的元数;点v的输入次数(入度) e|init(e)=v}的元数 的元数; 的输入次数(入度) 是集合{ fin(e)=v}的元数 的元数; 是集合{e | fin(e)=v}的元数;点v的度等于 点v的输入次数加输出次数. 的输入次数加输出次数. 今后, 为简便计, 有时也将有向图G 今后 , 为简便计 , 有时也将有向图 G 中的 写成v 点v,弧e,写成v∈G,e∈G.
例:
A e7 e8 e9 F e10 e6 E e5 e3 e4
r
e1 B e2 C
不是有向树 有根r, 有根 ,是有向树 有根B 有根 ,但不是有向树
D
定理4.3.1(转化定理) 定理4.3.1(转化定理)
对有向树G,若无视各弧之方向,则得一树G 对有向树 ,若无视各弧之方向,则得一树 0; 反之, 是树, 可选取任一点做根, 反之 , 若 G0 是树 , 可选取任一点做根 , 并适当 指定各边之方向,则得一有向树G. 指定各边之方向,则得一有向树 . 证明: 首先证第一个命题. 证明:1) 首先证第一个命题. 因有向树有根,所以G 是连通的,以下证G 因有向树有根,所以 0是连通的,以下证 0无 回路. 回路. 用反证法.假设G 中有回路, 用反证法.假设 0中有回路,设(v0, …, vn) 是 G0中一回路,其中 0= vn,n≥3. 中一回路,其中v ≥ .
定义4.3.4 定义4.3.4
有向图的有向路(e 称为简单的, 有向图的有向路 1,…,en)称为简单的,如 称为简单的 果 1)init(e1), … , init(en)互不相同, 互不相同, ) 互不相同 2)fin(e1), … , fin(en)互不相同. 互不相同. ) 互不相同
定义4.3.5 定义4.3.5