高中数学 212空间点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教版A必修2

【变式 2】 如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，E，F，G 分别是 棱 AB，AC，AD 上的点，且满足AAEB＝AACF＝AAGD. 求证：△EFG∽△BCD.
证明 在△ABC 中，∵AAEB＝AACF， ∴EF∥BC 且BECF＝AAEB. 同理，EG∥BD 且EBGD＝AAEB. 又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同， ∴∠FEG＝∠CBD， ∵BECF＝EBGD，∴△EFG∽△BCD.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/282021/8/282021/8/282021/8/288/28/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月28日星期六2021/8/282021/8/282021/8/28 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/282021/8/282021/8/288/28/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/282021/8/28August 28, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/282021/8/282021/8/282021/8/28
∴△EFG 为等腰三角形． 又 AB，CD 成 30°角， ∴∠EGF＝30°或 150°. ∵∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角， ∴EF 与 AB 成 75°角或 15°角．
∴HF2＝HI2＋IF2＝54， ∴HF2＝EF2＋HE2，(10 分) ∴∠HEF＝90°， ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.(12 分)
图(3) 法三 如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连 接 B1Q，则 B1Q∥EF.(4 分) 于是∠DB1Q 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角．(8 分) 通过计算，不难得到：B1D2＋B1Q2＝DQ2，从而异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.(12 分)
题型一 空间中直线位置关系的判断 【例 1】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，判断下列直线的 位置关系：
(1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
题型二 公理 4 及等角定理的应用 【例 2】 已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分 别是棱 CD、AD 的中点．
(1)求证：四边形 MNA1C1 是梯形； (2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1. [思路探索] 通过公理 4 转化为证明平面内两直线平行且不等； (2)可用等角定理证明．
解 (1)如图，连接 AC，在△ACD 中， ∵M，N 分别是 CD、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线， ∴MN∥AC，MN＝12AC. 由正方体的性质得： AC∥A1C1，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且 MN＝12A1C1， 即 MN≠A1C1， ∴四边形 MNA1C1 是梯形．
[思路探索] 本题考查对空间中直线位置关系的理解．首先看两 直线是否有交点从而判断是否相交，然后判断没有交点的两直 线是否共面，如果不共面，则两直线异面．
解析 直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以(3)应该填“相 交”；直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中，且没有交点， 则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；点 A1、B、B1 在一个 平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直线 B1C 异面；同理，直线 AB 与直线 B1C 异面，所以(2)(4)应该填“异 面”． 答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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5．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′ ∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐角 (或直角)叫做异面 直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角 θ 的取值范围：(0°，90°]． (3)当 θ＝90°时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.
自学导引
1．空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
位置 关系
共面直线相平交行直直线线：：同同一一平平面面内内，，有没且有只公有共一点个；公共点 ； 异面直线：不同 在任何一个平面内 ，没有公共点.
想一想：若 a⊂α，b⊂β，那么 a 与 b 一定是异面直线吗？ 提示 不一定，两直线是异面直线，则不同在任何一个平面 内．当 a⊂α，b⊂β 时，可能存在平面 γ，使 a⊂γ 且 b⊂γ，即 a 与 b 共面．
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/282021/8/28Saturday, August 28, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/282021/8/282021/8/288/28/2021 1:14:47 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/282021/8/282021/8/28Aug-2128-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/282021/8/282021/8/28Saturday, August 28, 2021
【变式 3】 如图，在空间四边形 ABCD 中，AB＝CD，AB 与 CD 成 30°角，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求 EF 和 AB 所成 的角．
解 在题图中，取 BD 的中点 G，连接 EG，FG， ∵E，F 分别为 BC，AD 的中点， ∴EG 綉12CD，GF 綉12AB.
∴EG 与 GF 所成的角即为 AB 与 CD 所成的角． ∵AB＝CD，
【题后反思】 构造异面直线所成的角的方法有： (1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的 平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补 角)． (2)当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难 时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交 于该点； (3)当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上是 要通过证明来计算．
题型三 求异面直线所成的角 【例 3】 如图，在正方体 AC1 中，E，F 分别是 A1B1，B1C1 的 中点，求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小．
审题指导
[规范解答] 法一 如图(1)，连接 A1C1，B1D1， 并设它们相交于点 O，取 DD1 的中点 G，连接 OG，则 OG∥B1D，EF∥A1C1.(4 分) ∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角． ∴GA1＝GC1，O 为 A1C1 的中点(8 分) ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.(12 分)
规律方法 判断直线平行、相交可用平面几何中的定义来处理， 判定异面直线往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断．
【变式 1】 已知 a，b，c 是三条直线，如果 a 与 b 是异面直线， b 与 c 是异面直线，那么 a 与 c 有怎样的位置关系？并画图说 明． 解 直线 a 与直线 c 的位置关系可以是平行、相交、异面．如 图(1)(2)(3)．
3．求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直 线所成的角． (2)证明：证明作出的角就是要求的角． (3)计算：求角度，常利用解三角形． (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所 成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所 成的角．
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【课标要求】 1．会判断空间两直线的位置关系． 2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理 4 解决一些简单的相关问题． 【核心扫描】 1．理解空间中两直线的位置关系，公理 4，等角定理及异面直 线所成的角，并掌握依据定义、定理对空间图形进行推理论证、 计算的方法．(重点) 2．异面直线及其所成的角的求解，空间图形问题转化为平面图 形问题的思想方法．(难点)
2．异面直线 (1)定义： 不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线． (2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．
3．平行公理(公理 4) 文字表述：平行于同一条直线的两条直线 互相平行．这一性质 叫做空间平行线的传递性． 符号表述： ab∥∥bc⇒ a∥c . 4．等角定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行 ，那么这两个角相等或 互补．
想一想：在异面直线所成角的定义中，角的大小与点 O 的位置 有关系吗？ 提示 根据等角定理可知，a′与 b′所成角的大小与点 O 的位 置无关．但是为了简便，点 O 常取在两条异面直线中的一条上， 特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．
名师点睛 1．关于异面直线 (1)对异面直线概念理解须注意的问题 ①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平 面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握 异面直线的不共面性． ②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异 面直线． 也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线， 也可以是相交直线．
图(1)
法二 如图(2)，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE，则 HE
∥DB1，且 HE＝12DB1.
于是∠HEF 为异面直线 DB1
与 EF 所成的角或补角．(4 分)
连接 HF，设 AA1＝1，
则 EF＝ 22，HE＝ 23，(6 分)
图(2)
取 A1D1 的中点 I，连接 IF，IH，则 HI⊥IF，
(2)异面直线的判定方法 ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． ②反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线． ③判定异面直线的常用结论：过平面外一点和平面内一点的直 线与平面内不经过该点的直线是异面直线．
2．求两异面直线所成的角需注意的问题 (1)a 与 b 所成角的大小与点 O 无关，为了简便，点 O 常取在两 条异面直线中的一条上．例如取在直线 b 上，然后过点 O 作直 线 a′∥a，a′与 b 所成的角即为异面直线 a 与 线的线段的端点或中点． (2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角， 实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建 立了联系，促进了数学学科间知识的渗透． (3)两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
(2)由(1)可知 MN∥A1C1， 又因为 ND∥A1D1， ∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补． 而∠DNM 与∠D1A1C1 均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1.
规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两 条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用公理 4： 找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． (2)等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助 于图形判断是相等、还是互补、还是两种情形都有可能．