专题06 数列求和或者通项公式问题(解析版)

专题06 数列求和或者通项公式问题
专题概述
1．求数列通项公式的常见类型及方法
(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． (2)已知Sn 与an 的关系，利用an ＝⎩⎨⎧
S1，n ＝1，
Sn －Sn －1，n≥2
求an.
(3)累加法：数列递推关系形如an ＋1＝an ＋f(n)，其中数列{f(n)}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．
(4)累乘法：数列递推关系形如an ＋1＝g(n)an ，其中数列{g(n)}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． 2．活用数列求和的四种方法 (1)公式法：
适合求等差数列或等比数列的前n 项和．对等比数列利用公式法求和时，注意q ＝1或q≠1两种情况． (2)错位相减法：
这是推导等比数列的前n 项和公式时常用的方法，主要用于求数列{anbn}的前n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法：
把数列的各项分别裂开后，前后抵消从而计算和的方法，适用于求通项为1
anan ＋1的数列的前n 项和，其中{an}为等差数列，则1anan ＋1＝1d
)1
1(1+-n n a a . (4)分组求和法：
一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等差或等比数列，那么就可分组求和，这种方法叫分组求和法．
典型例题
【例1】（2019秋•长沙期末）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2n n n a S +=，*2122()n b n n a a n N ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前99项和为( )
A ．
9798
B ．
9899
C ．
99100
D ．
100
101
【分析】利用两式作差122n n n a a +=+，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【解答】解：2n n n a S +=，1112n n n a S ++++=， 两式作差得112n n n n n a a S S ++-+-=，
122n n n a a +=+，故121222n b n n n a a +++=-=， 1n b n =+，
所以1111n nb n n =-
+，所以9911111
122399100
S =-+-+⋯+- 99
100
=
，故选：C ． 【例2】（2020•合肥二模）若数列{}n a 的首项为1-，12n n n a a +=-，则数列{}n a 的前10项之和等于 ． 【分析】将12n n n a a +=-中的n 换为1n -，2n ，*n N ∈，两式相除可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，求得2a ，计算可得所求和． 【解答】解：数列{}n a 的首项为1-，12n n n a a +=-， 可得112n n n a a --=-，2n ，*n N ∈， 相除可得
1
1
2n n a a +-=， 可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，
由22a =，可得前10项之和为(124816)(2481632)32131-----+++++=-=． 故答案为：31．
【例3】（2020•中山区校级一模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且2()n n n S a a t =+，*n N ∈，则10S = ．
【分析】本题在当1n =时将11a =代入表达式计算出t 的值，再在2n 时运用公式1n n n a S S -=-代入计算，并化简整理可得到11n n a a --=，即可判别出数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出10S 的值．
【解答】解：由题意，当1n =时，111122()a S a a t ==+， 11a =，211(1)t ∴⨯=⨯+，解得1t =．
当2n 时，由2(1)n n n S a a =+，可得
1112(1)n n n S a a ---=+，
两式相减，可得
111222(1)(1)n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，
整理，得11()(1)0n n n n a a a a --+--=， 10n n a a -+>，
110n n a a -∴--=，即11n n a a --=，
∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，
10109
1011552
S ⨯∴=⨯+
⨯=． 故答案为：55． 【变式训练】
1.（2020•龙岩一模）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若11a =，121n n S a ++=，则
1010
21
S a += ． 【分析】本题先根据1(2)n n n a S S n -=-，进一步计算可发现数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列．然后根据等比数列的通项公式和求和公式可计算出表达式的结果． 【解答】解：依题意，当2n 时，由121n n S a ++=，可得 121n n S a -+=，
两式相减，可得12n n n a a a +=-， 即13(2)n n a a n +=． 21121213a S a =+=+=，
∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列．
13n n a -∴=，*n N ∈． ∴10
109
101321
211333S a -++-==． 故答案为：3．
2．（2020•株洲一模）正项等比数列{}n a 满足：21a =，864a =，则数列2{4}n n a 的前n 项和是 ． 【分析】本题先设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，然后根据等比数列的通项公式及题干可计算出首项1a 和公比q 的值，即可计算出数列{}n a 的通项公式，再计算出数列2{4}n n a 的通项公式，再连续两次运用错
位相减法可计算出数列2{4}n n a 的前n 项和．
【解答】解：由题意，设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则
668264a a q q ===，解得2q =， 2112
a a q ∴==． 1
21222
n n n a --∴=
=，*n N ∈． 令24n n b n a =，则222422n n n b n n -==． 设数列2{4}n n a 的前n 项和为n T ，则
2122232121222322n n n T b b b n =++⋯+=+++⋯+， 222322121222(1)22n n n T n n +=++⋯+-+， 两式相减，可得
21222223222112(21)2(32)2[(1)]22n n n T n n n +-=+-+-+⋯+--- 12321123252(21)22n n n n +=+++⋯+--，① ①2⨯，可得
2312221232(23)2(21)22n n n n T n n n ++-=++⋯+-+--，② ①-②，可得
12321122122222222(21)22n n n n n T n n n +++=+++⋯+---+ 1222128(122)[2(21)]2n n n n n -+=+++⋯++---
1
211228(21)212
n n n n -+-=++-+-
21(23)26n n n +=-+-．
故答案为：21(23)26n n n +-+-．
专题强化
1．（2020•河南一模）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020
B ．2019
C ．2018
D ．2017
【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，运用等差数列的性质，可得数列{}n a 的公差0d <，且10a >，20a >，
⋯，20190a >，20200a <，⋯，求得
12112
11111
()2n n n n n n n n b a a a d a a a a +++++==-，计算可得n T ，分析比较，即可得到所求最大值时n 的值．
【解答】解：等差数列{}n a 的公差设为d ，若201820202019S S S <<，
则2020201920200S S a -=<，2019201820190S S a -=>，20202018202020190S S a a -=+>，
即201920200a a >->，201920200a d a d ->-+>，即201820190a a >->，可得2018201920202021a a a a >， 可得公差0d <，即数列{}n a 递减，且10a >，20a >，⋯，20190a >，20200a <，⋯， 12112
11111()2n n n n n n n n b a a a d a a a a +++++==-， 则12232334112
1111111()2n n n n n T d a a a a a a a a a a a a +++=-+-+⋯+- 1212
111()2n n d a a a a ++=
-， 由0d <，要使n T 取最大值，可得1212
11()n n a a a a ++-取得最小值， 显然
12
1
0n n a a ++>，而2334201820192020202120212022a a a a a a a a a a >>⋯>><<⋯，
可得2019n =时，1212
11()n n a a a a ++-取得最小值， 故选：B ．
2．（2020春•山西月考）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
84n n
n S a a =+，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前999项的和为( ) A ．
499
999
B ．
999
2000
C ．
999
1000
D ．
499
500
【分析】本题先利用公式11,1
,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩进行计算可发现数列{}n a 是首项为4，公差为4的等差数列，
即可计算出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S 的表达式，再计算出数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，然后运用裂项相
消法计算出前999项的和的值．
【解答】解：由题意，当1n =时，211184a a a =+， 即21140a a -=，
解得10a =（舍去），或14a =，
当2n 时，2211188()4(4)n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，
化简整理，得11()(4)0n n n n a a a a --+--=． 10n n a a -+>，14n n a a -∴-=，
∴数列{}n a 是首项为4，公差为4的等差数列，
44(1)4n a n n ∴=+-=，*n N ∈．
(1)
442(1)2
n n n S n n n -=+
=+， ∴11111()2(1)21n S n n n n ==-++， ∴
12999
111
S S S ++⋯+
11111111(1)()()2222329991000=-+-+⋯+- 111111(1)22239991000=-+-+⋯+- 11(1)21000=- 999
2000
=． 故选：B ．
3．（2020春•鹤壁月考）数列{}n a 的通项公式cos 2
n n a n π
=，其前n 项和为n S ，则2020(S = ) A ．1010
B ．2020
C ．505
D ．0
【分析】求得()cos
2
n f n π
=，可得最小正周期为4，计算数列{}n a 的前四项的和，即可得到所求和． 【解答】解：由()cos
2
n f n π
=，可得242
T ππ==， 再由cos
2
n n a n π
=，可得{}:0n a ，2-，0，4，0，6-，0，8，0，10-，0，12，⋯， 可得{}n a 中每隔四项求和均为2， 则2020505450521010S S ⨯==⨯=． 故选：A ．
4．（2020•厦门模拟）已知数列{}n a 满足11a =，1211(2)n n a a a a n -=++⋯++，则7(a = ) A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
【分析】本题先将递推式转化为11n n a S -=+，然后根据公式1(2)n n n a S S n -=-，再进行进一步计算可发现
数列{}n a 是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，则即可计算出7a 的值． 【解答】解：依题意，当2n 时，由121111n n n a a a a S --=++⋯++=+，①可得 11n n a S +=+，②
②-①，可得11n n n n n a a S S a +--=-=， 整理，得12n n a a +=．
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．
11122n n n a --∴==，*n N ∈． 717264a -∴==． 故选：D ．
5．（2020•厦门模拟）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则2020(S = ) A ．201921-
B ．202021-
C ．20191
2()2
-
D ．20201
2()2
-
【分析】由21n n S a =-，可得数列{1}n S +是首项为2，公比为2的等比数列，从而可求得答案． 【解答】解：1212()1n n n n S a S S -=-=--， 整理得：112(1)(2)n n S S n -+=+， 又1121a a =-，解得：11a =，
∴数列{1}n S +是首项为2，公比为2的等比数列，
12n n S ∴+=， 21n n S ∴=-， 2020202021S ∴=-． 故选：B ．
6．（2020•鼓楼区校级模拟）已知数列{}n a ，{}n b ，*n N ∈都是公差为1的等差数列，且113a b +=，1a ，*1b N ∈，设*()n n a c b n N =∈，则数列{}n c 的前7项和等于( ) A ．17
B ．26
C ．35
D ．44
【分析】由题意可得11a =，12b =或12a =，11b =，应用等差数列的通项公式可得n a ，n b ，进而得到n c ，再由等差数列的求和公式可得所求和． 【解答】解：113a b +=，1a ，*1b N ∈，
可得11a =，12b =或12a =，11b =，
数列{}n a ，{}n b ，*n N ∈都是公差为1的等差数列，
可得11n a n n =+-=，211n b n n =+-=+；或1n a n =+，n b n =， 则1n n a n c b b n ===+，
数列{}n c 的前7项和等于1
7(28)352
⨯⨯+=，
故选：C ．
7．（2020•武昌区模拟）已知数列{}n a 中，11a =，231
22
n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和为
( ) A ．
31
n
n + B ．
331
n
n + C ．
1
32
n n -- D ．
33
32
n n -+- 【分析】本题先根据公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩可计算出数列{}n a 的通项公式；然后计算出数列{}n b 的通项公
式，然后运用裂项相消法求出前n 项和n T ，即可得出正确选项． 【解答】解：由题意，当2n 时，
2213131
[(1)(1)]322222
n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，
当1n =时，11a =也符合上式． 32n a n ∴=-，*n N ∈．
则111111()(32)(31)33231
n n n b a a n n n n +=
==--+-+． 设数列{}n b 的前n 项和n T ，则 12n n T b b b =++⋯+
11111111(1)()()3434733231n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)34473231n n =-+-+⋯+--+ 11(1)331n =-+ 31
n
n =
+． 故选：A ．
8．（2020•吕梁一模）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，1123(2)n n n a a a n +-=+，数列{}n a 的前99项和99(S =
)
A ．503(91)8-
B ．50918-
C ．99312-
D ．493(91)8
-
【分析】本题根据递推式进行转化可得到数列1{}n n a a ++是以3为首项，公比为3的等比数列，然后将1n n a a ++看成一个整体在求和时代入计算，再利用等比数列求和公式可得99S 的值． 【解答】解：由题意，递推式1123n n n a a a +-=+两边同时加上n a ，可得 111233()n n n n n n n a a a a a a a +--+=++=+． 123a a +=，
∴数列1{}n n a a ++是以3为首项，公比为3的等比数列， ∴13n n n a a ++=．
由题意，设13n n n n c a a =++=，则 991299S a a a =++⋯+
123459899()()()a a a a a a a =+++++⋯++ 12498a c c c =+++⋯+
24981333=+++⋯+
2100
233113-=+
- 5091
8
-=． 故选：B ．
9．（2020•金水区校级模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前2020
项和为( ) A ．
2020
2021
B ．
2018
2020
C ．
2018
2019
D ．
2021
2020
【分析】本题先根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于1a 和d 的方程组，解出1a 和d 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式，也即求出数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，根据通项公式的特点采用裂项相消法求出
前2020项和．
【解答】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则
112
76
7282
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩． ∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，*n N ∈． ∴
111
(1)
n n a a n n +=
+． 设数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，
则12231
111
n n n T a a a a a a +=++⋯+
111
1223(1)n n =
++⋯+
⨯⨯+ 11111
12231n n =-+-+⋯+-
+ 1
11
n =-
+ 1
n
n =
+． 20202020
2021
T ∴=
． 故选：A ．
10．（2019秋•吉安期末）已知等差数列{}n a 满足1816a a +=-，103a =，设数列{||}n a 的前n 项和为n T ，则16(T = )
A ．32
B ．28
C ．128
D ．0
【分析】设公差为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再讨论数列的项的符号，由等差数列的求和公式可得所求和．
【解答】解：设公差为d ，由1816a a +=-，103a =， 可得12716a d +=-，193a d +=，解得115a =-，2d =， 故152(1)217n a n n =-+-=-，
易知当8n 时，0n a <，当9n 时，0n a >，且81a =-，91a =，
则161289101611
()()8(151)8(115)12822
T a a a a a a =-++⋯++++⋯+=-⨯⨯--+⨯⨯+=．
故选：C ．
11．（2019秋•洛阳期末）已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当3n 时，242410n n a a -=，设数列{}n lga 的前
n 项和为n S ，1
{
}n
S 的前n 项和为n T ，则2020T 等于( )
A ．
2020
2021
B ．
2019
2020
C ．
2019
1010
D ．
4040
2021
【分析】由等比数列的性质可得2424()n n a a a -=，可得等比数列的通项公式，由对数的运算性质可得数列{}n lga 的通项公式，由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，可得所求和． 【解答】解：等比数列{}n a 的各项都为正数， 当3n 时，22424()10n n n a a a -==， 即有10n n a =，
由于{}n a 为等比数列，可得110a =，公比10q =， 则10n n a =，*n N ∈，
可得10n n lga lg n ==，前n 项和为1
(1)2
n S n n =+，
12112()(1)1
n S n n n n ==-++， 则20201111114040
2(1)2(1)2232020202120212021
T =-+-+⋯+-=⨯-=
． 故选：D ．
12．（2019秋•龙岩期末）数列{}n a 满足1a Z ∈，123n n a a n ++=+，且其前n 项和为n S ．若13m S a =，则正整数(m = ) A ．99
B ．103
C ．107
D ．198
【分析】由123n n a a n ++=+，得1(1)1(1)n n a n a n +-+-=---，得{1}n a n --为等比数列，求出13S 与m a ，然后分m 为奇数与偶数求解．
【解答】解：由123n n a a n ++=+，得1(1)1(1)n n a n a n +-+-=---， {1}n a n ∴--为等比数列，
∴111(1)(2)n n a n a ---=--，
∴11(1)(2)1n n a a n -=--++，11(1)(2)1m m a a m -=--++，
131********()()2(2412)36102S a a a a a a a ∴=+++⋯++=+⨯++⋯++⨯=+，
①m 为奇数时，1121102a m a -++=+，103m =； ②m 为偶数时，11(2)1102a m a --++=+，1299m a =+， 1a Z ∈，1299m a =+只能为奇数，m ∴为偶数时，无解．
综上所述，103m =，
故选：B ．
13．（2019秋•潍坊期末）已知数列{}n a 满足13n n n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前9项和9(S = ) A ．160
B ．241
C ．243
D ．484
【分析】由题意可得23a =，数列{}n a 的奇数项和偶数项均为公差为3的等比数列，运用等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：13n n n a a +=，且11a =，可得23a =，
2n 时，113n n n a a --=，相除可得
1
1
3n n a a +-=， 则数列{}n a 的奇数项和偶数项均为公差为3的等比数列，
可得5
913(1392781)(392781)12024113
S -=++++++++=+=-，
故选：B ．
14．（2020•永州二模）数列{}n a 满足111(1)n n n a a n ++=-+-，且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当n S 取最大值时n 为( ) A ．11
B ．12
C ．11或13
D ．12或13
【分析】设1a t =，由数列的递推式计算数列的前几项可得数列{}n a 的奇数项为首项为t ，公差为1的等差数列；偶数项为首项为9t -，公差为3-的等差数列，再由数列的求和公式计算可得所求． 【解答】解：设1a t =，由111(1)n n n a a n ++=-+-，
可得29a t =-，31a t =+，46a t =-，52a t =+，63a t =-，73a t =+，8a t =-，⋯， 601a <<可得031t <-<，可得23t <<，
则数列{}n a 的奇数项为首项为t ，公差为1的等差数列；偶数项为首项为9t -，公差为3-的等差数列， 且每隔两项的和为9，7，5，3，1，1-，⋯，为递减，
可得1095753125S ==++++=，11112530S a t =+=+，1225124S =-=，131********S a t t =+=++=+，1424321S =-=，⋯，
则当n S 取最大值时11n =或13． 故选：C ．
15．（2019秋•洛阳期末）已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则(
)
A ．201920202a =
B ．202020202a =
C ．1011202023S =-
D ．101020203(21)S =-
【分析】由数列递推式可得数列{}n a 的奇数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式及前n 项和求解． 【解答】解：由11a =，12n n n a a +=，得22a =， 且1122n n n a a +++=， 两式作比可得：
2
2n n
a a +=． ∴数列{}n a 的奇数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列． 则当n 为奇数时，1
112
2
22
n n n a +--==；
当n 为偶数时，12
2
22
2n n n a -==．
∴1010
20202
a =，20200
1
2
1009
123
2
2020(2222
)(2222
)S =+++⋯+++++⋯+
10091010
10102(12)1223(21)12
-=++=--．
故选：D ．。