西城0910学年度第一学期期末初三数学试卷及答案

北京市西城区2009——2020学年第一学期期末测试
初三数学试卷
一、选择题（此题共32分，每题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．假设两圆的半径别离是4cm 和5cm ，圆心距为9cm ，那么这两圆的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离
2．若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=有一个根为0，那么a 的值等于（ ）． A ．1-B ．0 C ．1
D ．1或1-
3．抛物线()()13y x x =+-的对称轴是直线（ ）． A ．1x =-B ．1x =C ．3x =-D ．3x =
4．如图，在平面直角坐标系中，以点()46P ，为位似中心，把ABC △
缩小取得DEF △，假设变换后，点A 、B 的对应点别离为点D 、E ，
那么点C 的对应点F 的坐标应为（ ）． A ．()42，B ．()44， C ．()45，
D ．()54， 5．某汽车销售公司2007年盈利1500万元， 2020年盈利2160万元，且从2007年到2020年，每一年盈利的年增加率相同．设每一年盈利的年增加率为x ，依照题意，下面所列方程正确的选项是（ ）．
A ．()2
150012160x +=B ．2150015002160x x +=
C ．215002160x =
D ．()()2
15001150012160x x +++=
6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 为AB 边的中点，将Rt ABC △绕点
M
E D
C
B
A
M 旋转，使点A 与点C 重合取得CED △，连结MD ．假设25B ∠=︒，则BM D ∠
等于（ ）．
A ．50︒
B ．80︒
C ．90︒
D ．100︒
7．如图，AB 是O ⊙的直径，以AB 为一边作等边ABC △，AC BC 、边别离
交O ⊙于点E 、F ，连结AF ，若2AB =，那么图中阴影部份的面积为（ ）．
A
．4π3B
．2π3 C
．
π3 D
．π3 8．若a b c >>，且a b c ++=0，那么二次函数2y ax bx c =++的图象可能是以下图象中的（ ）． A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（此题共16分，每题4分）
9．如图，在ABC △中，DE BC ∥别离交AB 、AC 于点D 、E ．若1DE =，
3BC =，那么ADE △与ABC △面积的比为．
10．如图，AB 为O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，E 为AD 上一点，假设70BOC ∠=︒，
则BED ∠的度数为°．
11．如图，在平面直角坐标系中，O ⊙的圆心在座标原点，半径为2，点A
的坐标为(2，．直线AB 为O ⊙的切线，B 为切点，那么B 点的坐标 为．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数()220m
y ax a a
=+
≠的图象经 过正方形ABOC 的三个极点A 、B 、C ，那么m 的值为． 三、解答题（此题共30分，每题5分） 13．计算：22sin45sin60cos30tan 60︒+︒-︒+︒. 14．已知关于x 的方程23304
m
x x ++
=. ⑴若是此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； ⑵在⑴中，若m 为符合条件的最大整数，求现在方程的根．
B
A
15．已知二次函数243y x x =++.
⑴用配方式将2
43y x x =++化成()2
y a x h k =-+的形式；
⑵在平面直角坐标系中，画出那个二次函数的图象； ⑶写出当x 为何值时，0y >．
16．已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，D 、E 别离为AB
且3
5
AD AE =
，连结DE ，若3AC =，5AB =，猜想DE 与关系？并证明你的结论．
17．已知：如图，AB 是O ⊙的弦，45OAB ∠=︒，C 是优弧AB 上一点，
BD OA ∥，交CA 延长线于点D ，连结BC ．
⑴求证：BD 是O ⊙的切线；
⑵若AC =75CAB ∠=︒，求O ⊙的半径． 18．列方程解应用题
为了鼓舞居民节约用电，某地区规定：若是每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按元交费；若是每户居民一个月的用电量超出a 度时，那么该户居民的电费将利用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电元交费，超出a 度部份那么按每度电
150
a
元交费．下表是该地域一户居民10月份、11月份的用电情形．依照表中的数据，求在该地域规定的电费计费方式中，a 度用电量为多少？
四、解答题（此题共20分，第19题6分，第20题4分，第21题4分，第22题6分） 19．已知：抛物线1C ：2y ax bx c =++通过点()10A -，、()30B ，、()03C -，．
⑴求抛物线1C 的解析式；
⑵将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 通过坐标原点，并写出2C 的解析式； ⑶把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180︒，写出所得抛物线3C 极点D 的坐标．
20．如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同窗在地
面上选择了在一条直线上的三点A （A 为楼底）、D 、E ，她在D 处 测得广告牌顶端C 的仰角为60°，在E 两处测得商场大楼楼顶B 的仰 角为45°，5DE =米．已知，广告牌的高度 2.35BC =米，求这座商场 大楼的高度AB （3取 1.73，2取，小红的身高不计，结果保留 整数）． 21．阅读以下材料：
对于李教师所提出的问题，请给出你以为正确的解答（写出BD 的取值范围，并在
备用图中画出对应的图形，不写作法，保留作图痕迹）．
22．已知：如图，ABC △是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60︒取得线 段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连结DC 、AE ． ⑴求证：ADE DFC △≌△；
⑵过点E 作EH DC ∥交DB 于点G ，交BC 于点H ，连结AH ． 求AHE ∠的度数； ⑶若2
3
BG =
，2CH =，求BC 的长． 五、解答题（此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①.
李老师提出一个问题：“已知：如图1，()0AB m m =>，BAC α∠=（α为锐角），在射线AC 上取一点D ，使构成的ABD △唯一确定，试确定线段BD 的取值范围.”
小明同学说出了自己的解题思路：以点B 为圆心，以m 为半径画圆（如图2所示），D 为B ⊙与射线AC 的交点（不与点A 重合），连结BD ．所以，当BD m =时，构成的ABD △是唯一确定的．
李老师说：“小明同学画出的三角形是正确的，但是他的解答不够全面．”
F
E
D
C
B A
⑴假设方程①有一个正实根c ，且20ac b +<，求b 的取值范围；
⑵当1a =时，方程①与关于x 的方程2
440x bx c ++=②有一个相同的非零实根，求2288b c
b c
-+的值.
24．已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，过C 点的切线与AB 的延长线交于点D ，CE AB ∥ 交O ⊙于点E ，连结AC 、BC 、AE ． ⑴求证：①DCB CAB ∠=∠；
②CD CE CB CA ⋅=⋅；
⑵作CG AB ⊥于点G ，若1
tan CAB k
∠=()1k >， 求
EC
GB
的值（用含k 的式子表示）． 25．已知：抛物线()21y x m x m =-++与x 轴交于点()10A x ，、()20B x ，（A 在B 的左侧），与y 轴交
于点C ．
⑴若1m >，ABC △的面积为6，求抛物线的解析式；
⑵点D 在x 轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE x ∥轴与抛物线交于另一点E ，作DF x ⊥轴于F ，作EG x ⊥轴于点G ，求矩形DEGF 周长的最大值；
⑶若0m <，以AB 为一边在x 轴上方做菱形ABMN （NAB ∠为锐角），P 是AB 边的中点，Q 是对角线AM 大时，求
上一点，若4
cos 5
NAB ∠=，6QB PQ +=，当菱形ABMN 的面积最点A 的坐标．
北京市西城区2009——2010学年度第一学期期末
初三数学试卷答案及评分参考
一、选择题（此题共32分，每题4分）
二、填空题（此题共16分，每题4分）
三、解答题（此题共30分，每题5分）
13.解：22sin 45sin60cos30tan 60+-+°°°°.
=222⨯
+. ··················································· 4分
3. ····································································· 5分
14．（1）解：3
134
a b c m ===，，.
2234341934
m
b a
c m ∆=-=-⨯⨯
=-. ···································· 1分 ∵该方程有两个不相等的实数根，
∴930m ->. ···························································· 2分 解得3m <.
∴m 的取值范围是3m <. ················································ 3分
（2）解：∵3m <，
∴符合条件的最大整数是 2m =. ········································· 4分 现在方程为 23
302
x x ++
=， 解得
x
=.
∴方程的根为
1x =
2x . ······························· 5分 15．解：（1）243y x x =++
2(2)1x =+-. ·························································2分
（2）列表：
图象见图1. ·································· 4分 （3）3x <-或1x >-. ························ 5分 16．DE 与AB 的位置关系是相互垂直. ············ 1分
图1
证明：∵3AC =，5AB =，3
5
AD AE =
， ∴
AC AB
AD AE
=
． ·························· 2分 ∵A A ∠=∠， ··························· 3分 ∴ADE ACB △∽△．···················· 4分 ∵90C ∠=°， ∴90ADE C ∠=∠=°．
∴DE AB ⊥． ····························································· 5分
17．（1）证明：连结OB ，如图3.
∵OA OB =，45OAB ∠=°，
∴145OAB ∠=∠=°. ················ 1分 ∵AO DB ∥， ∴245OAB ∠=∠=°. ∴1290∠+∠=°.
∴BD OB ⊥于B . ····················································· 2分 ∴又点B 在O 上.
∴CD 是O 的切线. ················································· 3分
（2）解：作OE AC ⊥于点E .
∵OE AC ⊥
，AC =
∴1
2
AE AC =
=····················································4分 ∵75BAC ∠=°，45OAB ∠=°， ∴330BAC OAB ∠=∠-∠=°. ∴在Rt OAE △
中，4cos30AE OA =
==°. ·····························5分
解法二：如图4，
图2
A B
C
D
E
图4
F
A
B
C
D
O
延长AO 与O 交于点F ，连结FC . ∴90ACF ∠=°. 在Rt ACF △
中，8cos30AC AF =
==°. ··········· 4分
∴1
42
AO AF =
=. ················································· 5分 18．解：因为 800.432⨯=，1000.44042⨯=<，
因此 80100a <≤. ························································ 1分 由题意得 0.4(100)
42150
a
a a +-=.
····································· 3分 去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯. 整理，得 216063000a a -+=.
解得 190a =，270a =. ·················································· 4分 因为 80a ≥，
因此 270a =不合题意，舍去. 因此 90a =．
答：在该地域规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度. ··························· 5分 四、解答题（此题共20分，第19题6分，第20题4分，第21题4分，第22题6分） 19．解：（1）∵2y ax bx c =++通过点()10A -，、()30B ，、()03C -， ．
∴0,
930,3.a b c a b c c -+=⎧⎪
++=⎨⎪=-⎩
···················· 2分 解得 1,2,3.a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
∴ 所求抛物线1C 的解析式为：223y x x =--． ································· 3分
（2）抛物线1C 向左平移3个单位长度，可使取得的抛物线2C 通过坐标原点 ··········· 4分
所求抛物线2C 的解析式为：2(4)4y x x x x =+=+． ·····················5分 （3）D 点的坐标为()34-，. ················································6分
20．解：设AB 为x 米.
依题意，在Rt ABE △中，45BEA ∠=°， ∴AE AB x ==.
∴5AD AE DE x =-=-， 2.35AC BC AB x =+=+. ···· 2分 在Rt ADC △中，60CDA ∠=°， ∴tan 3AC AD CDA AD =⋅∠=.
∴()2.3535x x +=-. ······················································· 3分 ∴
(
)
31 2.3553x -=+.
解得 53 2.35
31
x +=-.
∴ 15x ≈.
答：商场大楼的高度AB 约为15米. ······· 4分 21．解：sin BD m α=或BD m ≥．（各1分）
见图7、图8；（各1分）
22．（1）证明：如图9，
∵ 线段DB 顺时针旋转60°得线段DE ， ∴60EDB ∠=°，DE DB =. ∵ABC △是等边三角形， ∴60B ACB ∠=∠=°. ∴EDB B ∠=∠ .
∴EF BC ∥. ····························· 1分 ∴DB FC =，60ADF AFD ∠=∠=°.
图94
321G H
A
B
C
D
E
F
∴DE DB FC ==，120ADE DFC ∠=∠=°，ADF △是等边三角形. ∴AD DF =.
∴ADE DFC △≌△. ···················································· 2分
（2）由ADE DFC △≌△，
得AE DC =，12∠=∠. ∵ED BC ∥，EH DC ∥， ∴ 四边形EHCD 是平行四边形. ∴EH DC =，34∠=∠.
∴AE EH =. ································································ 3分 ∴132460AEH ACB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°. ∴AEH △是等边三角形.
∴60AHE ∠=°. ······························································ 4分 （3）设BH x =，那么2AC BC BH HC x ==+=+，
由（2）四边形EHCD 是平行四边形， ∴ED HC =.
∴2DE DB HC FC ====. ∵EH DC ∥，
∴BGH BDC △∽△. ························································· 5分 ∴BG BH
BD BC
=
.即 2
322x x =+. 解得 1x =.
∴3BC =. ·································································· 6分
五、解答题（此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ c 为方程的一个正实根（0c >），
∴ 220ac bc c ++=. ····················································· 1分 ∵0c >,
∴ 210ac b ++=，即21ac b =--. ······································· 2分 ∵ 20ac b +<， ∴ 2(21)0b b --+<. 解得 2
3
b >-
． ························································· 3分 又0ac >（由0a >，0c >）． ∴ 210b -->．
解得 12
b <-．
∴ 21
32b -<<-． ······················································· 4分
（2）当1a =时，现在方程①为 220x bx c ++=.
设方程①与方程②的相同实根为m ， ∴ 220m bm c ++=③ ∴ 2440m bm c ++=④ ④-③得 2320m bm +=. 整理，得 (32)0m m b +=. ∵0m ≠， ∴320m b +=. 解得 23
b
m =-
. ·························································· 5分 把23
b
m =-代入方程③得
2
222033b b b c ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. ∴2809
b c -+=，即289b c =.
当2
89b c =时，2284
85
b c b c -=+. ·············································· 7分
24．（1）证明：①如图10，
图101
F
A
B
C
D
E O
解法一：作直径CF ，连结BF .
∴90CBF ∠=°， ························ 1分 则901CAB F ∠=∠=-∠° ∵CD 切O 于C ，
∴OC CD ⊥， ···························· 2分 则901BCD ∠=-∠°.
∴BCD CAB ∠=∠. ··················································· 3分 解法二：如图11， 连结OC . ∵AB 是直径，
∴90ACB ∠=°. ·························· 1分 则290OCB ∠=-∠°. ∵CD 切O 于C ，
∴OC CD ⊥. ························································· 2分 则90BCD OCB ∠=-∠°. ∴2BCD ∠=∠. ∵OA OC =， ∴2CAB ∠=∠.
∴BCD CAB ∠=∠. ··················································· 3分 ② ∵EC AB ∥，3BCD ∠=∠，
∴43BCD ∠=∠=∠. ··················································· 4分 ∵180CBD ABC ∠+∠=°， ∵180AEC ABC ∠+∠=°，
∴CBD AEC ∠=∠. ···················································· 5分
图11
3
G
4
2H A
B
C D
E O
∴ACE DCB △∽△． ∴
CA CD
CE CB
=
． ∴CD CE CB CA ⋅=⋅． ················································· 6分
（2）连结EB ，交CG 于点H ，
∵CG AB ⊥于点G ，90ACB ∠=°. ∴3BCG ∠=∠. ∵34∠=∠. ∴AE BC = ∴3EBG ∠=∠ . ∴BCG EBG ∠=∠ . ∵()1
tan 1CAB k k
∠=
>， ∴在Rt HGB △中，1
tan GH HBG GB k
∠==. 在Rt BCG △中，1
tan BG BCG CG k
∠=
=. 设HG a =，那么BG ka =，2CG k a =.()
21CH CG HG k a =-=-. ∵EC AB ∥， ∴ECH BGH △∽△．
∴22(1)1EC CH k a k GB HG a
-===-． ·············································· 8分 解法二： 如图10-2，作直径FC ，连结FB 、EF ，那么90CEF ∠=°.
∵CG AB ⊥于点G ，
在Rt ACG △中，1
tan CG CAB AG k
∠== 设CG a =，那么AG ka =，1BG a k =，1CF AB AG BF k a k ⎛
⎫==+=+ ⎪⎝⎭.
∵EC AB ∥，90CEF ∠=°， ∴直径AB EF ⊥.
∴2EF CG a ==.
G
O
E
D
C
B
A
F
图10-2
1
EC k a
k
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
.
∴
2
1
1
11
k
EC k
BG k
k
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
==
-
.
解法三：如图11-2，作EP AB
⊥于点P，
在Rt ACG
△中，1
tan
CG
CAB
AG k
∠==
设CG a=，那么AG ka
=，1
BG a
k
=，
可证AEP BCG
△≌△，那么有1
AP BG a
k
==.
1
EC AG AP k a
k
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
.
∴
2
1
1
11
k
EC k
BG k
k
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
==
-
.
25．解：∵ 抛物线与x轴交于点()
1
A x，、()
2
B x，，
∴
1
x、
2
x是关于x的方程2(1)0
x m x m
-++=的解.
解方程，得1
x=或x m
=. ························································ 1分（1）∵A在B的左侧，1
m>，
∴
1
1
x=，
2
x m
=. ····························································· 2分∴1
AB m
=-.
抛物线与y轴交于()
C m
，点.
∴OC m
=.
ABC
△的面积
1
2
S AB OC
=⋅=
1
(1)6
2
m m
-=.
解得
1
4
m=，
2
3
m=-（不合题意，舍去）.
∴抛物线解析式为254
y x x
=-+. ················ 3分
（2）∵ 点D在（1）中的抛物线上，
∴ 设()
254
D t t t
-+
，
5
1
2
t
⎛⎫
<<
⎪
⎝⎭
.
5
4
3
2
1
图12
2
∴()0F t ，，254DF t t =-+-.
又抛物线对称轴是直线5
2
x =
，DE 与抛物线对称轴交点记为R （如图12）， ∴5
2
DR t =
-，52DE t =-. 设矩形DEGF 的周长为L ，那么()2L DF DE =+. ∴()
225452L t t t =-+-+-
2
313
222t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
. ······················································ 4分
∵ 5
12
t <<
， ∴ 当且仅当3
2
t =时，L 有最大值. 当32t =
时，L =最大132
. ∴矩形周长的最大值为
13
2
. ··················································· 5分 （3）∵A 在B 的左侧，0m <，
∴1x m =，21x =. ∴1AB m =-.
如图13，作NH AB ⊥于H ，连结QN . 在Rt AHN △中，cos AH NAB AN ∠=
4
5
=. 设()40AH k k =>，那么5AN k =，3NH k =. ∴115222AP AB AN k =
==，53
422
PH AH AP k k k =-=-=，PN
=
=
. ∵菱形ABMN 是轴对称图形， ∴QN QB =.
∴6PQ QN PQ QB +=+=.
∵PQ QN PN +≥（当且仅当P 、Q 、N 三点共线时，等号成立）. ∴6
≥
， 解得
k ······························································ 6分
图13
M
∵ 21548ABMN S AB NH k =⋅=菱形≤.
∴ 当菱形面积取得最大值48时，k =. 现在51AB k m ==-=
解得1m =-
∴A 点的坐标为()
10-.
··················································· 7分。