2023北京育英中学初二(下)期末数学试题及答案

2023北京育英中学初二（下）期末
数学（五四学制）
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于
0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）
A．14×10﹣6B．1.4×10﹣5C．1.4×10﹣4D．0.14×10﹣4
3．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝0C．x＝2D．x＝3
4．已知一个等腰三角形的两边长分别为5cm，7cm，则该三角形的周长是（ ）
A．17cm B．19cm C．17cm或19cm D．16cm
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a3）2＝a5
C．（2ab2）3＝6a3b6D．3a2÷4a2＝a
6．下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
7．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
8．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点
M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线B．AD＝BD
C．D．
10．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140°B．100°C．50°D．40°
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．使分式有意义的x的取值范围是 ．
12．因式分解：x2y﹣4y＝ ．
13．计算：（3a2+2a）÷a＝ ．
14．已知x2﹣6x+a是完全平方式，则a的值为 ．
15．多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x一次项，则m＝ ．
16．计算﹣的结果是 ．
17．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），连接AB，点P在第二象限，以点P，A，B为顶点的等腰直角三角形有 个，任意写出其中一个点P坐标为 ．
三、解答题（本题共46分，第19题4分，20-26题各5分，27题7分）
19．（4分）计算：．
20．（5分）已知：如图，点A、D、C在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE，∠B＝∠EDC．求证：BC＝DE．
21．（5分）已知x2+x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+（x+1）（2x﹣1）的值．
22．（5分）化简求值：，其中a＝2．
23．（5分）解方程：＝1+．
24．（5分）关于x的分式方程＝2的解是负数，求满足条件的整数m的最大值．
25．（5分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务，求原计划每天植树的棵数．26．（5分）图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ；
（2）运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x、y为实数，且xy＝﹣5，x﹣y＝6，试求x+y值；
（3）如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝32，求图中阴影部分面积S3．
27．（7分）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C 不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的
坐标： ；
②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：　（用含n的代数式表示）．
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.000014用科学记数法表示为1.4×10﹣5．
故选：B．
3．【答案】A
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴2x+4＝0且x﹣3≠0，
解得：x＝﹣2．
故选：A．
4．【答案】C
【分析】分两种情况：当腰长为5cm，底边长为7cm时；当腰长为7cm，底边长为5cm时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当腰长为5cm，底边长为7cm时，等腰三角形的周长＝5+5+7＝17（cm），
当腰长为7cm，底边长为5cm时，等腰三角形的周长＝5+7+7＝19（cm），
综上所述：该三角形的周长是17cm或19cm，
故选：C．
5．【答案】A
【分析】直接利用整式的除法运算法则、同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项错误；
D、3a2÷4a2＝，故此选项错误；
故选：A．
6．【答案】B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误；
故选：B．
7．【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
8．【答案】C
【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，
（n﹣2）×180°＝1080°，
∴n＝8，
所以该多边形的边数是八边形．
故选：C．
9．【答案】D
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；由于∠ABD＝∠CBD＝30°，所以∠ABD＝∠A，则根据等腰三角形的判定方法可对B选项进行判断；根据含30度角的直角三角形三边的关系可对C选项进行判
断；由于CD＝＝BD＝AD，则根据三角形面积公式得到＝，则可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得BP平分∠ABC，所以A选项不符合题意；
∵∠C＝90°，∠A＝30°．
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵∠ABD＝∠A，
∴DA＝DB，所以B选项不符合题意；
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，所以C选项不符合题意；
∴CD＝AD，
∴＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
10．【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故选：B．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．【答案】x≠﹣1．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2+2a）÷a
＝3a2÷a+2a÷a
＝3a+2．
故答案为：3a+2．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方式的结构是：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种，据此即可求解．
【解答】解：a＝（）2＝9．
故答案是：9．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（﹣3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m 的方程，解出即可．
【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）
＝2mx﹣3mx2+16﹣24x
＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，
∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，
∴2m﹣24＝0，
解得：m＝12，
故答案为：12．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
故答案为：
17．【答案】30°．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
18．【答案】3；（﹣7，4）或（﹣3，7）或（﹣3.5，3.5）（三个点任选一个即可）．
【分析】根据点P在第二象限，以点P，A，B为顶点的等腰直角三角形，因此有以下三种情况：
①当以点A为直角顶点，AB为腰时，过点P作PC⊥x轴于C，可证△AOB和△PCA全等得OB＝CA＝
3，PC＝OA＝4，进而得OC＝7，据此可得的点P的坐标；
②当以点B为直角顶点，AB为腰时，过点P作PD⊥y轴于点D，同理可证△AOB和△BDP全等得OB＝
PD＝3，BD＝OA＝4，进而得OD＝7，据此可得的点P的坐标；
③当点P为直角顶点，AB为底边时，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，先证四边形PEOF为
矩形，再证△APE和△BPF全等得PE＝PF，AE＝BF，进而可得四边形PEOF为正方形，然后设BF＝k，则AE＝k，则OE＝4﹣k，OF＝3+k，再根据OE＝OF求出k即可得出点P的坐标．
【解答】解：∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
又∵点P在第二象限，以点P，A，B为顶点的等腰直角三角形，
∴有以下三种情况：
①当以点A为直角顶点，AB为腰时，
即：∠BAP＝90°，AB＝AP＝5，
过点P作PC⊥x轴于C，则∠PCA＝90°，
∵∠BAP＝90°，
∴∠BAO+∠CAP＝90°，
又∵∠AOB＝∠PCA＝90°，
∴∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠OBA＝∠CAP，
在△AOB和△PCA中，
∠OBA＝∠CAP，∠AOB＝∠PCA＝90°，AB＝AP＝5，
∴△AOB≌△PCA（AAS），
∴OB＝CA＝3，PC＝OA＝4，
∴OC＝OA+CA＝7，
此时点P的坐标为（﹣7，4）；
②当以点B为直角顶点，AB为腰时，
即：∠ABP＝90°，AB＝PB＝5，
过点P作PD⊥y轴于点D，
同理可证：△AOB≌△BDP（AAS），
∴OB＝PD＝3，BD＝OA＝4，
∴OD＝OB+BD＝7，
此时点P的坐标为（﹣3，7）；
③当点P为直角顶点，AB为底边时，
即：∠APB＝90°，AP＝BP，
过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∴∠PFB＝∠PEA＝90°，
又∵∠AOB＝90°
∴四边形PEOF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPB+∠BPF＝90°，
又∵∠ABP＝90°，
∴∠APE+∠EPB＝90°，
∴∠APE＝∠BPF，
在△APE和△BPF中，
∠APE＝∠BPF，∠PFB＝∠PEA＝90°，AP＝BP，
∴△APE≌△BPF（AAS），
∴PE＝PF，AE＝BF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝OF，
设BF＝k，则AE＝k，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣k，OF＝OB+BF＝3+k，
∴4﹣k＝3+k，
解得：k＝0.5，
∴OF＝3+k＝3.5，OE＝4﹣k＝3.5，
此时点P的坐标为（﹣3.5，3.5）．
综上所述：以点P，A，B为顶点的等腰直角三角形有3个，点P坐标为（﹣7，4）或（﹣3，7）或（﹣
3.5，3.5）．
故答案为：3；（﹣7，4）或（﹣3，7）或（﹣3.5，3.5）．
三、解答题（本题共46分，第19题4分，20-26题各5分，27题7分）
19．【答案】．
【分析】根据乘方运算、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义．
【解答】解：原式＝+﹣1
＝﹣1
＝﹣．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】由条件证得△ABC≌CDE，由全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：∵AB∥EC，
∴∠A＝∠ECA，
在△ABC和△CDE中
∴△ABC≌CDE（AAS），
∴BC＝DE．
21．【答案】3．
【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．
【解答】解：原式＝x2+2x+1+2x2﹣x+2x﹣1
＝3x2+3x．
∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1．
∴原式＝3（x2+x）＝3．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝2时，原式＝．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x﹣3）＝x2﹣9+6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】先求出分式方程＝2的解，再根据解是负数得到关于m的不等式，解不等式可求满足条件的整数m的最大值．
【解答】解：解分式方程＝2得x＝m+2，
∵关于x的分式方程＝2的解是负数，
∴m+2＜0且m+2≠﹣1，
解得m＜﹣2且m≠﹣3
∴满足条件的整数m的最大值是﹣4．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，由题意列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，
依题意，得：﹣＝4，
解得：x＝200，
经检验．x＝200是原方程的解，
答：原计划每天植树200棵．
26．【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
（2）x+y＝±4
（3）S3＝17
【分析】通过完全平方公式很快得出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．（2）运用（1）的结果导出（x+y）2的值，再求x+y．（3）用字母代替线段长度，把问题转到完全平方公式中来，解决问题．【解答】解：（1）运用完全平方公式展开得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
＝4×（﹣5）+62；
＝16．
所以，x+y＝±4
（3）S3＝AC×CB（令AC＝x，BC＝y）
所以S3＝xy
又因为S1+S2＝32即x2+y2＝32；AB＝10即x+y＝10
所以，xy＝＝＝34
所以S3＝＝×34＝17
答：图中阴影部分面积是17．
27．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①过点E作EF⊥OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF＝FC＝，OF＝，即
可求OD＝1，即可求点D坐标；
②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；
（2）分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求CF＝
DF的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．
【解答】解：（1）①如图，过点E作EF⊥OC，垂足为F，
∵EC＝ED，EF⊥OC
∴DF＝FC，
∵点C的坐标为（2，0），
∴AO＝CO＝2，
∵点E是AO的中点，
∴OE＝1，
∵∠AOC＝60°，EF⊥OC，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2OF＝1
∴OF＝，
∵OC＝2，
∴CF＝＝DF，
∴DO＝1
∴点D坐标（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），∴OC＝2．
∴AO＝OC＝2．
∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE＝2，∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，
如图，若点E与坐标原点O重合，
∵EC＝ED，EC＝2，
∴ED＝2．
∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，
∴D点坐标为（﹣2，0）
如图，若点E在边OA的延长线上，且AE＝2，
∵AC＝AE＝2，
∴∠E＝∠ACE．
∵△AOC为等边三角形，
∴∠OAC＝∠ACO＝60°．
∴∠E＝∠ACE＝30°．
∴∠OCE＝90°．
∵EC＝ED，
∴点D与点C重合．
这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，综上所述：D（﹣2，0）
（2）∵B（n，0），C（n+1，0），
∴BC＝1，
∴AB＝AC＝1
∵2≤AE＜3，
∴点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，
如图点E在AB的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝，
∵AH⊥BC，EF⊥BD
∴AH∥EF
∴
若AE＝2，AB＝1
∴BE＝1，
∴＝1
∴BH＝BF＝
∴CF＝＝DF
∴D的横坐标为：n﹣﹣＝n﹣2，
若AE＝3，AB＝1
∴BE＝2，
∴＝
∴BF＝2BH＝1
∴CF＝DF＝2
∴D的横坐标为：n﹣1﹣2＝n﹣3，
∴点D的横坐标t的取值范围：n﹣3＜t≤n﹣2，
如图点E在BA的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD，
同理可求：点D的横坐标t的取值范围：n+2≤t＜n+3，
综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3．故答案为：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3．。