2021-2022学年四川省绵阳市荄花镇中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年四川省绵阳市荄花镇中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A∩=( )
A． B． C ． D．
参考答案：
C
略
2. 若cos（+x）=，则sin2x=（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
B
【考点】二倍角的余弦；诱导公式的作用．
【分析】利用余弦的二倍角公式cos2（+x）=2﹣1即可．
【解答】解：∵cos（+x）=，
∴cos2（+x）=2﹣1
=2×﹣1
=．
故选B．
3. 如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且
，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【知识点】空间几何体的表面积与体积
解：由题知：是直角三角形，又，所以。

因为，所以PB=2PA。

作于M，则。

令AM=t，则
所以即为四棱锥的高，
又底面为直角梯形，
所以
故答案为：A
4. 在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是（）
A．32 B．39 C．46 D．78
参考答案：
B
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列前n项和公式及通项公式得S13=，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a11=6，
∴其前13项的和：
S13==．
故选：B．
5. 函数f （x ）=﹣（cosx ）1g|x|的部分图象是（ ）
C
D
A 略
6. 设x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）
A ．1024
B ．256
C ．8
D ．4
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z==2
2x ﹣y
，令u=2x ﹣y ，
作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=2x ﹣u
由图象可知当直线y=2x ﹣u 过点A 时，直线y=2x ﹣u 的截距最小，此时u 最大，
由，解得，即A （5，2）．
代入目标函数u=2x ﹣y ， 得u=2×5﹣2=8，
∴目标函数z==22x ﹣y ，的最大值是28=256．
故选：B ．
7. 函数的图像是
参考答案： C
特值法，取，得，所以排除A,B;取，，排除
D,选C.
8. 已知动直线l 与圆O ：x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，且满足|AB|=2，点C 为直线l 上一点，且满足
，若M 是线段AB 的中点，则
的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．2
D ．﹣3
参考答案：
A
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】由题意设动直线l为y=（x+2），表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出
【解答】解：动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，
则△OAB为等边三角形，
于是可设动直线l为y=（x+2），
根据题意可得B（﹣2，0），A（﹣1，），
∵M是线段AB的中点，
∴M（﹣，）
设C（x，y），
∵，
∴（﹣2﹣x，﹣y）=（﹣1﹣x，﹣y），
∴，
解得，
∴C（﹣，），
∴=（﹣，）?（﹣，）=+=3，故选：A．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，关键构造直线，考查了向量的坐标运算和向量的数量积，属于中档题
9. 复数的值是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
10. 复数2+i的共轭复数是（）
A．2－i B．－2－i C．i－2 D．i+2
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数
的图像大致为
参考答案： A 略
12. 已知α，β∈（0，
），且tan （α﹣β）=
，tanβ=
，则α
的值是
．
参考答案：
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用两角和的正切公式求得tanα=tan[（α
﹣
β）+β]的值，可得α的值．
【解答】解：∵α，β∈（0，
），且tan （α﹣β）=，tanβ=，
∴tanα=tan[（α﹣β）+β]= =
=1，
∴α=
，
故答案为：．
13. 在
中，角
所对的边分别为
，
若
，
，则角
的值为 ．
参考答案：
略
14. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ，最长棱的棱长为 ．
参考答案：
8，
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的体积与最长的棱长即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是侧面PAB⊥底面ABC 的三棱锥，如图所示； 过点P 作PO⊥AB，垂足为O ， 则PO=4，
三棱锥P ﹣ABC 的体积为××6×2×4=8； 三棱锥P ﹣ABC 的各条棱长为AB=6，BC=2，AC==2
， PA=
=2
，PB=
=4
，PC=
=6；
所以最长的棱是AC=2
．
故答案为：8，
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
15. 理：若、是一元二次方程的两根，则
=
.
参考答案：
；
16. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时（电台每隔一小时报一次时），求他等待的时间不多于10分钟的概率．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，两值一比即可求出所求． 【解答】解：设A={等待的时间不多于10分钟}… 事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内， 因此由几何概型的求概率的公式可得
…
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为…
17. 函数的定义域为，若且
时总有
，则称
为单函
数．例如，函数是单函数.下列命题中是真命题有______（写出所有真命
题的编号） ①函数是单函数；
②指数函数
是单函数；
③若为单函数,且，则；
④在定义域是单调函数的函数一定是单函数． 参考答案：
②③④ 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
，，，在y 轴右侧的
第一个最高点的横坐标为．
(1) 求ω；
(2) 若将函数
的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数
的最大值及单调递减区间.
参考答案：
解：(1)f(x)＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋＝sin(2ωx ＋)＋.
令2ωx ＋＝，将x ＝代入可得：ω＝1. ………………5分 (2)由(1)得f(x)＝sin(2x ＋)＋.
经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x －)＋.
当x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，函数取得最大值. 令2kπ＋≤x －≤2kπ＋π，
即x ∈[4k π＋，4k π＋π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间. …………12分
19. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，，，求证：.
参考答案：
（1）；（2）见解析
【分析】
（1）原不等式等价于，化为或，从而可得结果；（2）先化简
，可得，再利用作差法证明，进而可得结论. 【详解】（1）由，得，
即或，解得或，
综上所述，不等式的解集为或.
（2），
因为，，所以，，
所以
，
所以，
则，
即.
【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
20. 椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．
参考答案：
考点：椭圆的应用．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）由已知，a2+b2=5，由此能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，，再由根与系数的关系求解．
解答：解：（Ⅰ）由已知，a2+b2=5，
又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，
联立，，消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0，
△=（32k）2﹣240（1+4k2）=64k2﹣240，
令△＞0，解得．
设E，F两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
（ⅰ）当∠EOF为直角时，
则，
因为∠EOF为直角，所以，即x1x2+y1y2=0，
所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，
所以，解得．
（ⅱ）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，
此时，k OE?k=﹣1，所以，即x12=4y1﹣y12①，
又；②，
将①代入②，消去x1得3y12+4y1﹣4=0，
解得或y1=﹣2（舍去），
将代入①，得，
所以，
经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和．
点评：本题是椭圆问题的综合题，解题时要认真审题，仔细解答．
21. （15分）（2015?浙江模拟）已知函数 f（x）=x2+4|x﹣a|（x∈R）．
（Ⅰ）存在实数x1、x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）=f（x2）成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k成立，求实数k的最小值．参考答案：【考点】：绝对值不等式的解法．
【专题】：不等式的解法及应用．
【分析】：（Ⅰ）化简函数的解析式，由题意可得函数f（x）在[﹣1，1]上不单调，利用二次函数的性质求得a的范围．
（Ⅱ）分类讨论求得函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值M（a）和最小值为m（a），求得M（a）﹣m （a），结合题意可得k≥M（a）﹣m（a），从而得到k的范围．
解：（Ⅰ）函数 f（x）=x2+4|x﹣a|=，由题意可得函数f（x）在[﹣1，1]上不单调，
当a≥1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，不满足条件．
当a≤时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，不满足条件．
∴﹣1＜a＜1，此时，函数f（x）在[﹣1，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，
（Ⅱ）∵对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k成立，
设函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），最小值为m（a），
当a≥1时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，M（a）=f（﹣1）=4a+5，m（a）=f（1）=4a﹣3．当a≤时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，M（a）=f（1）=5﹣4a，m（a）=f（﹣1）=﹣4a﹣3．
∴﹣1＜a＜1，函数f（x）在[﹣1，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，m（a）=f（a）=a2，M （a）=max{f（1），f（﹣1）}={5﹣4a，5+4a}．
即当0＜a＜1时，M（a）=5+4a，当﹣1＜a＜0时，M（a）=5﹣4a．
综上可得，M（a）﹣m（a）=，由对任意的x1、x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，
可得k≥M（a）﹣m（a），
故当a≥1 或a≤﹣1时，k≥8；
当0≤a＜1时，k≥﹣a2+4a+5=9﹣（a﹣2）2，由9﹣（a﹣2）2∈[5，8），可得k≥8；
当﹣1＜a≤0时，k≥﹣a2﹣4a+5=9﹣（a+2）2，由9﹣（a+2）2∈[5，8），可得k≥8．
综合可得，k≥8．
【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，二次函数的性质，函数的恒成立问题，分段函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于难题．
22. 已知椭圆过抛物线的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值.
参考答案：
解: （1），又，.又，椭圆的标准方程为.
（2）设直线与抛物线相切于点，则，即，
联立直线与椭圆，消去，整理得.
由，得.
设，则：.
则
原点到直线的距离. 故面积，当且仅当，即取等号，
故面积的最大值为1.。