可积函数未必具有原函数,具有原函数的函数未必可积

可积函数未必具有原函数,具有原函数的函数未必可积可积函数未必具有原函数
例如 Riemann 函数
R (x )=1,x =0,1/p ,
x =p /q ,(q >0,(p ,q )=1),0,x 为⽆理数.
若 R (x ) 有原函数 F (x ) ,即 F ′(x )=R (x )(a ⩽x ⩽b ).
根据 Darboux 定理，R (x ) 在 [a ,b ] 应具有介值性，但从 R (x ) 定义可知它不具有介值性，故 R (x ) 没有原函数。

具有原函数的函数未必可积
例如
F (x )=x 2sin 1x 2,
x ≠0,0,x =0.
则
F ′(x )=2x sin 1x 2−2x cos 1x 2,
x ≠0,0,0.
若记 f (x )=F ′(x ) ，则 f 在 (−∞,+∞) 上具有原函数 F ，但 f 在 (0,1) 上不可积，因为它在 [0,1] 上⽆界.
可积函数未必具有原函数
例如 Riemann 函数
$$ R(x)= \left\{ \begin{array}{rl} 1, & x=0, \\ 1/p, & x=p/q,(q>0,(p,q)=1), \\ 0 ,& x\text{为⽆理数}. \end{array} \right. $$
若 $R(x)$ 有原函数 $F(x)$ ,即 $F '(x)=R(x) \quad(a\leqslant x\leqslant b).$
根据 Darboux 定理，$R(x)$ 在 $[a,b]$ 应具有介值性，但从 $R(x)$ 定义可知它不具有介值性，故 $R(x)$ 没有原函数。

具有原函数的函数未必可积
例如 $$F(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^2\sin\frac{1}{x^2},&x\neq 0,\\ 0,&x=0.\end{array} \right.$$
则$$F '(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2},&x\neq 0,\\ 0,&0.\end{array}\right.$$
若记 $f(x)=F '(x)$ ，则 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有原函数 $F$，但 $f$ 在 $(0,1)$ 上不可积，因为它在 $[0,1]$ 上⽆界.
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