高考数学一轮复习例题解析 15.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 试题
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高中数学一轮复习资料 第十五章 解析几何
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
A 组
1.(2021年高考卷)假设圆x 2
+y 2
=4与圆x 2
+y 2
+2ay -6=0(a >0)的公一共弦的长为23,那么a =________.
解析:两圆方程作差易知弦所在直线方程为:y =1
a
,
如图,由|AC |=3,|OA |=2,有|OC |=1
a
=1,∴a =1.
答案:1
2.(2021年高考全国卷Ⅱ)圆O :x 2
+y 2
=5和点A (1,2),那么过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.
解析:依题意,过A (1,2)作圆x 2
+y 2
=5的切线方程为x +2y =5,在x 轴上的截距为5,在y 轴上的截距为52,切线与坐标轴围成的三角形面积S =12×52×5=254.答案:25
4
3.(2021年高考卷)过原点O 作圆x 2
+y 2-6x -8y +20=0的两条切线,设切点分别为P 、Q ,那么线段PQ 的长为________.
解析:∵圆的HY 方程为(x -3)2
+(y -4)2
=5,可知圆心为(3,4),半径为 5.如图可知,|CO |=5,
∴OP =25-5=25.∴tan∠POC =
PC OP =1
2
.在Rt△POC 中,
OC ·PM =OP ·PC ,∴PM =
25×5
5
=2.∴PQ =2PM = 4.答案:4 4.假设直线3x +4y +m =0与圆x 2
+y 2
-2x +4y +4=0没有公一
共点,那么实数m 的取值范围是________.
解析:将圆x 2+y 2-2x +4y +4=0化为HY 方程,得(x -1)2+(y +2)2
=1,圆心为(1,-
2),半径为1.
假设直线与圆无公一共点,即圆心到直线的间隔 大于半径, 即d =|3×1+4×(-2)+m |32+42
=|m -5|5>1,∴m <0或者m >10. 答案:(-∞,0)∪(10,+∞)
5.(原创题)直线3x -y +2m =0与圆x 2+y 2=n 2相切,其中m ,n ∈N *
,且n -m <5,那么满足条件的有序实数对(m ,n )一共有________个.
解析:由题意可得,圆心到直线的间隔 等于圆的半径,即2
m -1
=n ,所以
2
m -1
-m <5,因为m ,n ∈N *
,所以⎩⎪⎨
⎪⎧
m =1
n =1
,⎩⎪⎨⎪⎧
m =2
n =2
,⎩⎪⎨⎪⎧ m =3
n =4
,⎩⎪⎨⎪⎧
m =4
n =8
,故有序实数
对(m ,n )一共有4个.答案:4个
6.(2021年调研):以点C (t ,2
t
)(t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ,与y 轴交于点
O 、B ,其中O 为原点.
(1)求证:△OAB 的面积为定值;
(2)设直线y =-2x +4与圆C 交于点M ,N ,假设OM =ON ,求圆C 的方程.
解:(1)证明:∵圆C 过原点O ,∴OC 2=t 2+4t 2.设圆C 的方程是(x -t )2+(y -2t )2=t 2
+4t
2,
令x =0,得y 1=0,y 2=4
t
;令y =0,得x 1=0,x 2=2t .
∴S △OAB =12OA ·OB =12×|4
t |×|2t |=4,即△OAB 的面积为定值.
(2)∵OM =ON ,CM =CN ,∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN =-2,∴k O C =1
2,
∴直线OC 的方程是y =12x .∴2t =1
2
t ,解得:t =2或者t =-2.
当t =2时,圆心C 的坐标为(2,1),OC =5,此时圆心C 到直线y =-2x +4的间隔 d =1
5
<5,圆C 与直线y =-2x +4相交于两点.
当t =-2时,圆心C 的坐标为(-2,-1),OC =5,此时圆心C 到直线y =-2x +4的间隔 d =
15
>5,圆C 与直线y =-2x +4不相交,
∴t =-2不符合题意舍去.∴圆C 的方程为(x -2)2
+(y -1)2
=5.
B 组
1.直线ax +by +b -a =0与圆x 2
+y 2
-x -3=0的位置关系是________.
解析:直线方程化为a (x -1)+b (y +1)=0,过定点(1,-1),代入圆的方程,左侧小于0,那么定点在圆内,所以直线与圆总相交.答案:相交
2.(2021年秦州质检)直线y =3-x 与圆x 2
+y 2
=2相交于A 、B 两点,P 是优弧AB 上任意一点,那么∠APB =____________.
解析:弦心距长为
62,半径为2,所以弦AB 所对的圆心角为π
3
,又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半,所以∠APB =π6.答案:π
6
3.向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),a 与b 的夹角为60°,直线x cos α+y sin α=0与圆(x +cos β)2+(y +sin β)2
=12
的位置关系是________.
解析:cos60°=cos α·cos β+sin α·sin β=cos(α-β),
d =
|cos α·cos β+sin α·sin β|cos 2α+sin 2
α
=|cos(α-β)|=32>2
2=r .答案:相离 4.过点A (11,2)作圆x 2
+y 2
+2x -4y -164=0的弦,其中弦长为整数的一共有__条.
解析:方程化为(x +1)2
+(y -2)2
=132
,圆心为(-1,2),到点A (11,2)的间隔 为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求直线条数为2+2×(25-10)=32(条).答案:32 5.假设集合A ={(x ,y )|y =1+4-x 2
},B ={(x ,y )|y =k (x -2)+4}.当集合A ∩B 有4个子集时,实数k 的取值范围是________________.
解析:A ∩B 有4个子集,即A ∩B 有2个元素,∴半圆x 2
+(y -1)2
=4(y ≥1)与过P (2,4)点,斜率为k 的直线有两个
交点,如图:
A (-2,1),k PA =34,过P 与半圆相切时,k =512,∴512<k ≤34
.
答案:512<k ≤3
4
6.(2021年高考全国卷Ⅱ)AC 、BD 为圆O :x 2
+y 2
=4的两条互相垂直的弦,垂足为M (1,2),那么四边形ABCD 的面积的最大值为________.
解析:设圆心O 到AC 、BD 的间隔 分别为d 1、d 2,那么d 12
+d 22
=OM 2
=3. 四边形ABCD 的面积S =12
|AB |·|CD |=2(4-d 12)(4-d 22)≤8-(d 12+d 22
)=5.
7.(2021年调研)圆C :x 2
+y 2
+bx +ay -3=0(a 、b 为正实数)上任意一点关于直线l :x +y +2=0的对称点都在圆C 上,那么1a +3
b
的最小值为________.
解析:由题意,知圆心在直线上,所以-b 2+(-a
2
)+2=0,
∴a 4+b 4=1,那么(1a +3b )(a 4+b 4)=1+b 4a +3a
4b
≥1+2 b 4a ·3a 4b =1+32
. 8.设圆O :x 2+y 2
=169,直线l :x +3y -8=0,点
A ∈l ,使得
圆O 上存在点B ,且∠OAB =30°(O 为坐标原点),那么点A 的
横坐标的取值范围是________.
解析:依题意点A ∈l ,设A (x 0,8-x 0
3).过点
A 作圆O 的
切线,切点为M ,
那么∠OAM ≥∠OAB =30°.从而sin∠OAM ≥sin30°=12,即|OM ||OA |≥sin30°=1
2,就是
|OA |2≤4(|OM |2)=649,x 02+(8-x 03)2≤649,5x 02
-8x 0≤0,解得x 0∈[0,85
].
答案:[0,8
5
]
9.(2021年高考卷)设直线系M :x cos θ+(y -2)sin θ=1(0≤θ≤2π),对于以下四个命题:
A .存在一个圆与所有直线相交
B .存在一个圆与所有直线不相交
C .存在一个圆与所有直线相切
D .M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号). 解析:x cos θ+y sin θ-2sin θ-1=0.那么点(0,2)到
其直线的间隔 为
d =
|0·cos θ+2sin θ-2sin θ-1|
cos 2θ+sin 2
θ
=1. ∴说明此直线是圆心为(0,2),半径为1的
圆的切线.
圆心为(0,2),半径大于等于1的圆与所有直线相交,A 对; 圆心为(0,2),半径小于1的圆与所有直线不相交,B 对; 圆心为(0,2),半径等于1的圆与所有直线都相切,C 对;
因为M 中的直线与以(0,2)为圆心,半径为1的圆相切,所以M 中的直线所能围成的正三角形面积不都相等.如图△ABC 与△ADE 均为等边三角形而面积不等.答案:A 、B 、C 10.圆C 1:x 2
+y 2
+2x +2y -8=0与圆C 2:x 2
+y 2
-2x +10y -24=0相交于A 、B 两点,
(1)求公一共弦AB 所在的直线方程;
(2)求圆心在直线y =-x 上,且经过A 、B 两点的圆的方程.
解:(1)⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
+y 2
+2x +2y -8=0
x 2+y 2
-2x +10y -24=0
⇒x -2y +4=0.
(2)由(1)得x =2y -4,代入x 2
+y 2
+2x +2y -8=0中得:y 2
-2y =0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x =-4
y =0
或者⎩⎪⎨
⎪⎧
x =0
y =2
,即A (-4,0),B (0,2),
又圆心在直线y =-x 上,设圆心为M (x ,-x ),那么|MA |=|MB |,解得M (-3,3),∴⊙M :(x +3)2
+(y -3)2
=10.
11.(2021年调研)圆C 的方程为x 2
+y 2
=1,直线l 1过定点A (3,0),且与圆C 相切.
(1)求直线l 1的方程;
(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点,M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2,直线PM 交直线l 2于点P ′,直线QM 交直线l 2于点Q ′.求证:以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点,并求出定点坐标.
解:(1)∵直线l 1过点A (3,0),且与圆C :x 2
+y 2
=1相切,设直线l 1的方程为y =k (x -3),即kx -y -3k =0,
那么圆心O (0,0)到直线l 1的间隔 为d =
|3k |
k 2+1
=1,解得k =±2
4,
∴直线l 1的方程为y =±
2
4
(x -3). (2)对于圆C :x 2
+y 2
=1,令y =0,那么x =±1,即P (-1,0),Q (1,0).又直线l 2过点A 且与x 轴垂直,∴直线l 2方程为x =3.
设M (s ,t ),那么直线PM 的方程为y =
t
s +1
(x +1).
解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
x =3,y =t
s +1
(x +1),得P ′(3,
4t s +1).同理可得Q ′(3,2t
s -1
). ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为 (x -3)(x -3)+(y -
4t s +1)(y -2t s -1
)=0,又s 2+t 2
=1, ∴整理得(x 2+y 2
-6x +1)+
6s -2
t
y =0,
假设圆C ′经过定点,只需令y =0,从而有x 2
-6x +1=0,解得x =3±22, ∴圆C ′总经过定点,定点坐标为(3±22,0). 12.(2021年高考卷)
如图在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x +3)2
+(y -1)2
=4和圆C 2:(x -4)2+(y -5)
2
=4.
(1)假设直线l 过点A (4,0),且被圆C 1截得的弦长为23,求直线l 的方程;
(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.
解:(1)由于直线x =4与圆C 1不相交,所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y =k (x -4),圆C 1的圆心到长为23,直线l 的间隔 为d ,因为直线l 被圆C 1截得的弦所以d =22
-(3)2
=1.由点到直线的间隔 公式
得
d =
|1-k (-3-4)|1+k 2
,从而k (24k +7)=0,即k =0或者k =-7
24,所以直线l 的方程为y =0或者7x +24y -28=0.
(2)设点P (a ,b )满足条件,不妨设直线l 1的方程为y -b =k (x -a ),k ≠0,那么直线l 2
的方程为y -b =-1
k
(x -a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直
线l 2被圆C 2截得的弦长相等,所以圆C 1的圆心到直线l 1的间隔 和圆C 2的圆心到直线l 2的间隔 相等,即
|1-k (-3-a )-b |1+k
2
=|5+1
k (4-a )-b |
1+1k
2
, 整理得|1+3k +ak -b |=|5k +4-a -bk |,从而1+3k +ak -b =5k +4-a -bk 或者1+3k +ak -b =-5k -4+a +bk ,
即(a +b -2)·k =b -a +3或者(a -b +8)k =a +b -5,因为k 的取值有无穷多个,所以
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a +
b -2=0,
b -a +3=0,或者⎩
⎪⎨
⎪⎧
a -
b +8=0,
a +
b -5=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧
a =52,
b =-1
2,
或者⎩⎪⎨⎪⎧
a =-3
2,b =13
2.
这样点P 只可能是点P 1(52,-12)或者点P 2(-32,13
2).
经检验点P 1和P 2满足题目条件.
四季寄语情感寄语
在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷. 落红不是无情物,化作春泥更护花. 愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.
请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.
此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人. 一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季
雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!
又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!
在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩
在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你
不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好 挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落
我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳
虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗 对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日
从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.
我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地 燕子声声里,相思又一年 朋友,愿你心中,没有秋寒.
一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室
只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界 愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊 没有你在身边,我的生活永远是冬天! 让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!。