高三数学上学期期中第四次月考试题理试题

攸县二中2021届高三第四次月考试题
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
数学〔理科〕11月
考试时量：120分钟；总分：150分
考前须知：
1．请在在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写上在答题卡上
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题仅有一个答案是正确的〕
， 集合{
}
2
20A x x x =->，{}
y lg
x 1)B x ==-（ ， 那么)U C A B ⋂=（〔 〕
A.(,0)(2,)-∞⋃+∞
B. (1,2)
C. (]1,2
D.[]1,2
2.
1-2)5i z =（〔 为虚数单位) ，那么复数 的虚部为〔 〕 A.
B. 1
C.
D. 2
3．以下命题中正确的选项是〔〕
A ．假设p ∨q 为真命题，那么p ∧q 为真命题
B ．“a ＞0，b ＞0〞是“
2≥+b
a
a b 〞的充要条件 C ．命题“x 2﹣3x +2=0，那么x =1或者x =2〞的逆否命题为“假设x ≠1或者x ≠2，那么x 2﹣3x +2≠0〞
D ．命题p ：R x ∈∃，使得x 2+x ﹣1＜0，那么￢p ：R x ∈∀，使得x 2+x ﹣1≥0
4.F 1， F 2是双曲线E ：122
2
2=-b y a
x 的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1
与x 轴垂直，
且sin∠MF 2F 1= ，那么E 的离心率为〔 〕 A.
2
B.
C.
3
D. 2
5.设等差数列{}a n 的前 项和为n S ，且10a >，149S S = ，那么满足 n 0S > 的最大自然数 为〔 〕
A. 12
B. 13
C. 22
D. 23 6.函数
x x f x e cos )1()(12-=+〔其中
为自然对数的底数〕图象的大致形状是
〔 〕
7.抛物线2
2(0)C y px p =>：的焦点为 ，准线为 ，且 过点)3,2(-A ， 在抛物线上，
假设点 (1,2)N ，那么MF MN +的最小值为〔 〕
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.执行如下图的程序框图，那么输出的结果是〔 〕 A.
B.
C. D.
9. 某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，
数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，那么不同排课方法的种数是〔 〕 A. 16 B. 24 C. 8 D. 12 10.函数 1)2(log -+=x y a 〔
〕的图象恒过定点 ，假设点 在直线 01=++ny mx 上，其中
，那么
的最小值为〔 〕
A.35
B.
C.23
D.
6
+=
x y
z 11. 数列{}a n 的前n 项和为n S ，且满足1a =1 ，22a = ，
121()n n n S a a n N *+++=-∈ ，记1
21(1)(1)
n n n a n
a a b
+++--=
，数列{}n b 的前 n 项
和为 n T ，假设对n N *∀∈ ，n k T > 恒成立， 那么k 的取值范围为〔〕
A. [)1
+∞， B. ()1+∞， C. ()0+∞，
D.
[)2∞，
12.四面体 AB CD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上，且2=
=BC AB ，2=AC ，
32=DC ，
那么这个四面体的体积为〔 〕
A. 2
3 B. 533
C.433
D. 233
二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕
13.假设 满足不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x ,
那么 的最大值为________.
a 与
b 的夹角为
，2=a ，3=b ，那么=-b a 3 ________.
15.函数)(x f y =，D x ∈，假设存在常数C ，对D x ∈∀1，∃唯一的D x ∈2，使得
C x f x f =)()(21，那么称常数C 是函数)(x f 在
D 上的“几何平均数〞.
函数x
x f -=2
)(，[]3,1∈x ，那么)(x f 在[]3,1上的“几何平均数〞是．
16. 函数⎩⎨⎧<-≥-=)0()
0(22)(3
4
2x x x x x f ，函数
有三个零点，那么实数 的取值范围为________．
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解答题需要写出必要的解答过程〕
17.〔本小题满分是12分〕
设ABC ∆ 的内角 的对边分别为a,b,c 且 B a A b cos 3sin =
.
〔1〕求角 B 的大小;
〔2〕假设3=b ，A C sin 2sin = , 求边 a 和 c 的值.
18.〔本小题满分是12分〕
某数学教师分别用传统教学和“新课堂〞两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进展教学实验，为了比拟教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进展统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良〞．
分数 [50,59) [60,69) [70,79) [80,89) [90,100] 甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数
1
3
6
5
5
〔1〕由以上统计数据填写上下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关〞?
甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计
〔2〕甲乙两班成绩未达优良的同学一共15位，教师现从中任意抽取3人进展谈话，以便理解学习情况．在这3人中，记乙班成绩不优良的人数为 ，求 的分布列及数学期望． 附：()()()()
d c b a d b c a bc ad n K ++++-=
2
)(2
． 临界值表如下：
)(02k K P ≥
10.0 05.0 025.0
0k
706.2
841.3
024.5
635.6
19.〔本小题满分是12分〕 如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，AD AB 2= ， AD BD 3=
，
且 ABCD PD 底面⊥.
〔1〕证明：PBC PBD 平面平面⊥ ；
〔2〕假设 为
的中点，且 1AP BQ ⋅= ，
求二面角 的大小.
20 . 〔本小题满分是12分〕
椭圆 :12
222
=+
b
y a
x (0>>b a ), 过点)2,0(P ，离心率为
.
〔Ⅰ〕求椭圆 的方程；
〔Ⅱ〕 ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 ， 两
点，
交椭圆 于另一个点 ，求ABD ∆面积获得最大值时直线 的方程.
21. 〔本小题满分是12分〕
函数2
)(ax e x f x -=，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1+=bx y 。

〔1〕求a 和b 的值；
〔2〕求函数()f x 在[0,1]上的最大值；
〔3〕证明：当x > 0时，01ln )1(≥---+x x x e e x
.
22.〔本小题满分是10分〕
在直角坐标系x oy 中，曲线 1C 的参数方程为cos 1sin x y φφ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 〔 φ为参数〕.在以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线2C 的极坐标方程为θα= ，其中20πα<< .
〔Ⅰ〕求1C 的极坐标方程；
〔Ⅱ〕假设2C 与 1C 交于不同两点A 和B ，且OA OB > ，求
1
1OB
OA - 的最大值.
攸县二中2021届高三第四次月考
数学〔理科〕参考答案
一、单项选择题(每一小题5分，一共60分) 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C D D A C B B C A B A D
11.【答案】A
【解答】由 121-=+++n n n a a S ，得1231n n n S a a ++++=- ，两式作差得 322n n a a ++= 又
1a 1= ，2a 2= ，可求得a 3=4,所以数列{}a n 是等比数列，且12n n a -= ，代入
11121211(1)(1)(21)(21)2121b n
n n n n n n n a
n a a +++++------===- ，所以
223111111111n 21212121212121()()()11
n n n T ++-------=-+-+⋅⋅⋅+-=-<
而n k T > 恒成立，所以k 1≥ ，应选A
【分析】121-=+++n n n a a S ,得到n 1231n n S a a ++++=-两式子一减得到322n n a a ++=,进而求出a n 的通项，将其通项代入b n ,裂项得到11
121
21n
n n b +--=-，求其前n 项和可以采用裂
项相消法，最后便可以计算出k 的范围。

12.【答案】D 【解答】∵2==BC AB ，AC =2，
∴AB 2
+BC 2
=AC 2
， ∴AB ⊥BC ，
∴△ABC 外接圆的直径为AC ,圆心O ′为AC 的中点 ∵球心O 恰好在侧棱DA 上,
∴ABC O O 面⊥' ，又外接球球心O 恰好在棱AD 上，所以O 为AD 中点，所以OO '//BC.
即DC ABC ⊥面 ，32=DC ，
四面体的体积为 231
1
333
=123ABC V S DC ∆⨯=⨯⨯=
.
故答案为：D.
【分析】由数据得到AB⊥BC,那么直角△ABC 外接圆的直径为AC ,圆心O ′为AC 的中点, 得到D C ⊥面A B C ,再由体积公式求体积.
二、填空题(每一小题5分，一共20分〕
13.【答案】2
1
14.【答案】6 15.【答案】
1
4
16.【答案】
16.【解答】由题得 有三个零点， 所以
有三个零点，
所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线局部，
y=a(x-2)表示过定点〔2,0〕的直线，所以直线和粗线有三个交点.
所以MB MA k a k <≤
由题得),1(34-A ,),(54
53-B .
所以942
103
4
-==
---MA
k
,134
2
05354
-==
---MB k
所以a 的取值范围为 .
【分析】此题的打破口是研研究
构造特征，从而将g(x)=0的零
点问题转化为,于是可以通过作图加以研究解决。

三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分)
17.【解答】〔1〕解:bsinA= acosB,由正弦定理可得
.................2分
即得
>0..................................................................... ................................................4分
,....................................................................
............5分
........................................................................ ..................................................................6分..
〔2〕解:sinC=2sinA,由正弦定理得
c=2a,.......................................................................... .....8分
由余弦定理 ,
,
解得
.......................................................................... .....10分
....................................................................... .........12分
【分析】〔1〕利用正弦定理边化角，得B角的正切，求得B.
〔2〕利用正弦定理角化边，再用余弦定理解得a和c.
18.【解答】〔1〕解：根据题意得2×2列联表如下：
甲班乙班总计
成绩优良9 16 25
成绩不优良11 4 15
总计20 20 40
(2)
分
根据2×2列联表中的数据，得的观测值为
，......................................... ..............4分
在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关〞.............6分10.由题可知的可能取值为
0,1,2,3． (7)
；；
；
3
4
3
15
4
455 (3)C
C
P X===．
的分布列为：
X 0 1 2 3
P 33
9144
91
66
455
4
455
.........................................
.....10分
所以
...................................... .........12分
【分析】〔1〕将列联表填写上完好，结合K2的计算公式，计算结果，即可得出答案。

〔2〕分别计算出X=0，1，2，3的概率，列出分布列，计算期望，即可得出答案。

17.【解答】〔1〕证明：∵ ，
∴ ，
，
∴ .....................................................
...1分
又∵ 底面，
∴
..................................................
......2分
∵ ，
∴ 平面
.............................................3分
平面 ， (4)
分 ∴平面 平面
(5)
分
〔2〕解：由〔1〕知，DA,DB,DP 两两垂直 ，分别以 ， ， 为 轴， 轴，轴
建立空间直角坐标系
，
如下图，设AD=1得AB=2, ，令
，
那么 ， ， ， ， ， (6)
分
∴3
1
222(1,0,),(,,)t AP t BQ =-=--
.
∴2
1
21t AP BQ +⋅== ，∴
.....................................................................7分 故
3
3
111
1222222(,,),(,,)
DQ BQ =-=-- ， .................................................8分 设平面
的法向量为n (,,)x y z = ，
那么3
1122231
122
200
n DQ x y z n BQ x y z ⎧⋅=-+
+=⎪⎨
⋅=--
+=⎪⎩，
令
，得0,1y z ==，即
(10,1n =，） ..........................................................9分 易知平面
的一个法向量为
(0,0,1)m = ，........................................10分
12
cos ,2
21m n <>==⨯
那么 .............................................................11分 ∴二面角
的大小为
. ............................................................12分 【分析】〔1〕根据勾股定理得出BC⊥BD，结合PD⊥BC 可得BC⊥平面PBD ，利用平面与平面垂直的断定得出平面PBD⊥平面PBC ；
〔2〕建立坐标系，求出平面QBD 和平面BCD 的法向量，用空间向量求平面间的夹角，得出二面角的大小．
〔注：由于命题出现失误，此题第2问存在问题，应该没有固定结果，为使评价近似合理，建议阅卷作如下HY 记分：学生采用“设AD=1〞方法所得出参考答案中结果的记满分是，学生采用设其他详细数据算出余弦值或者角度的记满分是，假如学生考虑周密认为只能设AD 为字母参数而算不出结果也得满分是。

命题组给大家带来费事还敬请谅解〕
18. 【解答】解：〔1〕由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+===22222
2
c
b a a
c b .........................................2分
解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===2222c b a ........................................4分
所以椭圆方程为.........................5分
方法二：由2
1
2
2
=
=
=a c e
得c a 2=....................................1分
c
c a b =-=∴22.............................................................
........................2分
由椭圆经过点P 〔0，2〕〕得2==c b ...................................3分 所以
22a =.......................................................................
...............4分 所以椭圆方程为22
84
1y x +
=..................................................5分
〔2〕由题知直线 的斜率存在，不妨设为 ，那么 ：
. ........................6分 假设
时，直线 的方程为 ， 的方程为
，易求得
，
，此时
. (7)
分 假设 时，那么直线 ： . 圆心
到直线 的间隔 为
. 直线 被圆
截得的弦长为
. ......................................
8分
.由 ，
得 ，
故
. (9)
分
所以
.
......................................10分 当
时上式等号成
立. .....................................11分 因为 ，
所以
面积获得最大值时直线 的方程应该是.....................................12分
【分析】〔1〕结合椭圆的根本性质列方程，即可得出答案。

〔2〕分k =0和k 不为0两种情况讨论，结合直线l 1的方程和圆方程，用k 表示|AB |的长，结合直线l 2和椭圆方程，利用所截的弦长为
,表示线段PD ，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。

21 【解答】解：〔1〕'()2x
f x e ax =-，.................................1分 由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+，...........2分 解得，1,2a b e ==-． ................................3分
（2）法1：由〔1〕知，2
)(x e x f x
-=，f ()2x
x e x '=-.........4分 因为当0≥x 时1+≥x e x ，所以当[]1,0∈x 时，
01212)('≥-=-+≥-=x x x x e x f x ，
故()f x 在[]0,1上单调递增，.................................5分
所以max ()(1)1f x f e ==-．................................6分
法2：由〔1〕知，2
(),'()2,''()2x
x
x
f x e x f x e x f x e =-∴=-=-，.........4分
'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，
所以，'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->
所以)(x f 在[]1,0上单调递增，...........................5分 所以，1)1()(max -===e f x f ． ...........................6分
（3）因为(0)1f =，又由〔2〕知，()f x 过点(1,1)e -， 且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，
故可猜想：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方．........7分 下证：当0x >时，()(2)1f x e x ≥-+．
设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，那么'()2(2),''()2x x g x e x e g x e =---=-， 由〔2〕知，'()g x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，
又'(0)30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<，
所以存在()00,1x ∈，使得0)(0'
=x g
所以当()()00,1,x x ∈+∞时，'()0g x >；当0(,1)x x ∈，'()0g x <，
故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增．
又2
(0)(1)0,()(2)10x
g g g x e x e x ==∴=----≥〔当且仅当1x =时取等号〕
故
(2)1
,0x e e x x x x
+--≥>.............................10分
因为当0≥x 时1+≥x e x ，故当0>x 时ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，
当且仅当1x =时取等号， 所以当0>x 时
(2)1
ln 1x e e x x x x +--≥≥+．
即
(2)1
ln 1x e e x x x
+--≥+，所以(2)1ln x e e x x x x +--≥+，
即(1)ln 10x
e e x x x +---≥成立〔当1x =时等号成立〕． ……12分
22【答案】解：〔Ⅰ〕消去参数φ 得到1C 的普通方程为
22(x (1)1y -+-=..........................2分
再将cos x ρθ=，y sin ρθ= 代入 1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为
22sin )30ρθθρ++=—（．............................................
.........................4分
〔Ⅱ〕将=θα 代入22sin )30ρθθρ++=—（ ， 得
22sin )30ρααρ++=—（.............................................
........................6分
令2=2sin )120αα∆+->（ ，得126sin(2)1π
α<+≤ ，
20πα<< ，解得
30πα<< .................................................................
.....7分
设 1212(,)()A
B ραραρρ>（，）和，那么
122sin ρραα+=+，12=3ρρ
那么
12ρρ—............................................8分
所以122
112
1
11
1
OB
OA
ρρρρρρ--
=
-=
=
......................9分
又 126sin(2)1πα<+≤，所以当 6sin(2)=1π
α+
即6=πα 时
11OB OA —的最大值为
23
．...............................................10分
【解析】〔1〕将参数方程化成普通方程，再利用cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
代入，化简，即可得出答案;
〔2〕把题目所求的式子转化成三角函数的形式，再求三角表达式的最大值，即可
得出答案。