最新-2018届高考数学 三角函数诱导公式课件 精品

一、同角三角函数基本关系式
1.倒数关系
tan·cot=1 sin·csc=1 cos·sec=1
2.商数关系 3.平方关系
tan=
sin cos
cot= csoins
sin2+cos2=1 1+tan2=sec2 1+cot2=csc2
二、诱导公式
1.定义
用自变量 的三角函数表示自变量为 函数的公式叫诱导公式.
AB=3,
求 tanA 的值
解:
∵
2 2
=sinA+cosA=
2 sin(A+45º),
∴sin(A+45º)=
1 2
.
∵0º<A<180º, ∴A=105º,
∴tanA=tan105º=tan(45º+60º)=
1+ 1-
3 3
=-2-
3.
sinA=sin105º=sin(45º+60º)
=sin45ºcos60º+cos45ºsin60º=
k
2
(kZ)的三角
2.口诀
奇变偶不变, 符号看象限.
3.本质
通过不相等的两个角的同名三角函数或两个互为余函数的 三角函数值相等或互为相反数, 反映了三角函数的周期性及各 种对称性.
典型例题
1.已知 cot(-)=2,
求 sin(
3 2
+)的值.
解: ∵cot(-)=2, 又 cot(-)=-cot,
6
-)]=-cos(
6
-)=-a,
sin(
2 3
-)=sin[
2
+(
6
-)]
=cos(
6
-)=a,
∴cos(
5 6
+)+sin(
2 3
-) =-a+a=0.
5.已知 tan(-)=a2, |cos(-)|=-cos, 求 sec(+) 的值;
解: ∵tan(-)=a2, 又 tan(-)=-tan, ∴tan=-a2.
∵|cos(-)|=-cos, 又 |cos(-)|=|cos|,
∴|cos|=-cos. ∴cos<0.
∴sec(+)=-
1
cos
=
1+tan2 =
1+a4 .
6.若
sin 1-cos2
+
1-sin2 cos
=0, 试判断 cos(sin)sin(cos) 的
符号;
解:
由已知
sin |sin|
+
2
(kZ),
即
=2k+2
+.
∴原式=sin
1
cos(2k+
1
2 +)
+tancot(2k+
2
+)+
co1s
sin(2k+
2
+)
=sin
1
-sin
+tan(-tan)+
1
cos
1
cos
=-1-tan2+sec2
=0.
课后练习
1.已知 sin+sin2=1, 求 cos2+cos4 的值. 解: 由 sin+sin2=1 得 sin=1-sin2=cos2.
=
-9-4 7
2.
4.已知
f()=
sin(-)cos(2-)tan(-+ cot(--)sin(--)
3 2
)
. (1)化简 f();
(2)若 是第三象限角, 且 cos(-
(3)若
=-
31 3
,
求 f() 的值;
3 2
)=
1 5
,
求 f() 的值;
解: (1)f()= si-ncoctossincot =-cos;
∴(
32+1 )2=1+2
m 2
.
解得 m=
3 2
.
3.设 sin, cos 是方程 2x2-( 3 +1)x+m=0 的两根, 求:
(1)
sin 1-cot
+
cos 1-tan
及 m 的值;
(2)方程两根 sin, cos 及此时
的值.
解: (2)由(1)知原方程为 2x2-(
3 +1)x+
3 2
3
=-
1 2
.
5.已知
0<<
2
,
tan
2
+cot
2
=
5 2
,
求sin(-
3
)的值.
解:
∵tan
2
+cot
2
=
2
sin
,
∴由已知可得
sin=
4 5
.
∵0<<
2
,
∴cos=
1-sin2
=
3 5
.
∴sin(-
3
)=sincos
3
-cossin
3
=
4 5
×
1 2
-
3 5
×
3 2
=
1 10
(4-3
3 ).
6.已知 为锐角,
且 tan=
1 2
,
求
sin2cos-sin sin2cos2
的值.
解:
∵tan=
1 2
,
∴cos2=
1
1+tan2
=
4 5
.
又∵ 为锐角, ∴cos=
2 5
.
∴原式=
2sincos2-sin 2sincoscos2
=
sincos2 2sincoscos2
=
1
2cos
=
5 4
.
7.已知 tan(-)=2,
(2)∵cos(-
3 2
)=-sin,
∴由已知可得 sin=-
1 5
.
∵ 是第三象限角, ∴cos<0.
∴cos=-
1-sin2
=-
2 5
6
.
∴f()=-cos=
2 5
6.
(3)∵
=-
331 =-62+
5 3
,
∴f(-
331)=-cos(-
31 3
)
=-cos(-62+
5 3
)
=-cos
5 3
=-cos
求:
(1)
sin2-2sincos-cos2 4cos2-3sin2+1
;
(2)2sin(3+)cos(
25 +)+sin(
3 2
-)sin(-).
解: (1)∵tan(-)=2, 又 tan(-)=-tan, ∴tan=-2.
∴原式=
sin2-2sincos-cos2 5cos2-2sin2
=
tan2-2tan-1 5-2tan2
解法1 依题意 P(a, -b), Q(b, a), 设 r= a2+b2 , 则:
sin=-
b r
,
sec=
r b
,
tan=-
b a
,
cot=
b a
,
sec=
r a
,
csc=
r a
.
∴原式=-
b r
r b
+(-
b a
)
b a
+
r a
r a
=-1-
b2 a2
+
a2+b2 a2
=0.
解法2 依题意
-=2k+
sin+cos= sin-cos=
32,
4 3
,
得
sin= cos=
2 +4 6
,
2 -4 6
.
∴tan=
sin cos
=
-9-4 7
2.
3.已知 sin+cos=
2 3
(0<<),
求 tan 的值.
解法2
将已知等式两边平方得
sincos=-
7 18
<0,
∵0<<, ∴sin>0.
∴由 sincos<0 知 cos<0.
解: ∵cot=m(m0),
∴角 的终边不在坐标轴上.
若 是第一或第二象限角, 则
csc=
1+cot2 =
1+m2
.
∴sin=
1 csc
=
1 1+m2
.
∴cos=sincot=
m 1+m2 1+m2
.
若 是第三或第四象限角, 则
csc=-
1+cot2 =-
1+m2
.
∴sin=
1
csc
=-
∴cos=sincot=-
当 是第四象限角时, 同理可得 cos(sin)sin(cos)>0.
故 cos(sin)sin(cos) 的符号为“ + ”号.
7.已知 的值.
sin=
1-a 1+a
,
cos=
3a-1 1+a
,
若 是第二象限角,
求实数 a
解: ∵ 是第二象限角,
∴0<sin<1, -1<cos<0.
∴
0<
1-a 1+a
|cos| cos
=0,
∴sin 与 cos 异号.
∴ 是第二或第四象限角.
当 是第二象限角时, -1<cos<0, 0<sin<1.
∵-
2
<-1,
1<
2
,
∴-
2
<cos<0,
0<sin<2
.
∴sin(cos)<0, cos(sin)>0.
∴cos(sin)sin(cos)<0.
故 cos(sin)sin(cos) 的符号为“ - ”号.
∴cos2+cos4=sin+sin2=1.
2.已知
cos=
2m m2+1
(m≤-1),
求 sin,
cot.
解: 由已知 cos<0,
∴角 的终边在第二或第三象限或为 x 轴的非正半轴.
当角 的终边在第二象限或为 x 轴的非正半轴时,
sin=
1-cos2
=
m2-1 m2+1
,
tan=
sin cos
m 1+m2 1+m2
.
1 1+m2
.
3.已知 sin+cos=
2 3
(0<<),
求 tan 的值.
解法1
将已知等式两边平方得
sincos=-
7 18
<0,
∵0<<, ∴sin>0. ∴由 sincos<0 知 cos<0.
∴sin-cos=
(sin-cos)2 =
1-2sincos
=
4 3
.
解方程组
=0.
解得 x1=
3 2
,
x2=
1 2
.
∴
sin= cos=
3 2
,
1 2
,
或
sin=
1 2
,
cos=
3 2
,
∴
=2k+ 3
或
=2k+
6
(kZ).
4.已知
cos(
6
-)=a(|a|≤1),
求
cos(
5 6
+)+sin(
2 3
-)
的值;
解:
∵cos(
6
-)=a(|a|≤1),
∴cos(
5 6
+)=cos[-(
=-
7 3
.
(2)由(1)知 tan=-2,
∴原式=2(-sin)(-sin)+(-cos)sin
=2sin2-sincos
=cos2(2tan2-tan)
=
2tan2-tan 1+tan2
=2.
8.角 的终边上的点 P 与 A(a, b) 关于 x 轴对称(a0, b0), 角 的终边上的点 Q 与 A 点关于直线 y=x 对称, 求 sinsec+tan ∙cot+seccsc 的值.
2+ 4
6.
∴
△ABC
的面积
S△ABC
=
1 2
ACABsinA =
1 2
23
2+ 4

=
3 4
(
2+
6 ).
补充例题
1.已知
cotx=m,
x(2k-,
2k)
(kZ),
求
cosx
的值-.
m 1+m2 1+m2
2.(1)已知 tan= 2 , 求 2sin2-sincos+cos2 的值; 5- 2
(2)已知 tan=2, 求 sincos 的值;
<1,
-1< 31a+-a1<0,
解得 0<a<
1 3
.
又 sin2+cos2=1,
∴( 11+-aa)2+( 31a+-a1)2=1.
整理得
9a2-10a+1=0.
解得
a=
1 9
或
a=1(舍去).
故实数
a
的值为
1 9
.
8.在 △ABC 中, sinA+cosA= 和 △ABC 的面积.
2 2
,
AC=2,
取值范围; (2)设 0≤≤, 若 f() 的最大值、最小值分别是 a、b,
g() 的最大值、最小值分别是 c、d, 试比较 a, b, c, d 的大小.
(1)2k+
2
<
<2k+
32(kZ);
(2)b<d<a<c.
∴cot=-2.
∴ 是第二或第四象限角,
且
tan=-
1 2
.
∴cos2=
1
1+tan2
=
4 5
.
∴cos=
-
2 5
5 , 是第二象限角,
2 5
5 , 是第四象限角.
又
sin(
3 2
+)=-cos,
∴sin(
3 2
+)=
2 5
5 , 是第二象限角,
-
2 5
5 , 是第四象限角.
2.已知 cot=m(m0), 求 cos.
的值.
解: (1)由已知 sin+cos=
3 +1 2
,
sincos=
m 2
.
∴
sin 1-cot
+ 1-ctoasn
=