最新精编2019年高中数学单元测试试题《解析几何及综合问题》专题考核题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．(2006四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于
（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π
2．（2010福建理2）以抛物线2
4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．2
2
x +y +2x=0 B ．22
x +y +x=0
C ．22
x +y -x=0
D ．22
x +y -2x=0
3．以抛物线2
4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．2
2
x +y +2x=0 B ．22
x +y +x=0
C ．
22x +y -x=0
D ．2
2
x +y -2x=0(2010福建理）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
4．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .
5．已知椭圆2
21:12
x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面
积为
124
+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.
6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝1
2，右焦点为F (c,0)，方程ax 2
－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内
解析：由e ＝12＝c
a ，得a ＝2c ，
b ＝3
c .
所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－1
2
.
于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝
3
4＋1＝7
4
<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．
7．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 2
4
＝
1的交点个数为________．
解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．
8．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．
解析：抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝5
5＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 9．椭圆
2
1)0,0(12
22
2=
>>=+
e b a b
y a
x 的离心率，右焦点F （c,0），方程
02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是
▲ .
10．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（1996全国理，16）
三、解答题
11．定义变换T ：cos sin ,
sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩
可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这
一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.
（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x
轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3
arctan 4
θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标； （2）当3
arctan
4
θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换
T ：cos sin ,sin cos ,
x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨
'⋅-⋅=⎩（2k π
θ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.
12．设椭圆的方程为2222n y m x +＝1（m ，n >0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜
2
π
＝的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点，
(Ⅰ）用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ； (Ⅱ）若m 、n 为定值，当θ在（0，
4
π］上变化时，求S 的最小值u ；
(Ⅲ）如果μ>mn ，求
n
m
的取值范围. （1995上海，24） 93.（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y =x tan θ，可得方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=1tan 22
22n y m x x y θ又由对称性，得四边形ABCD 为矩形，同时0＜θ＜
2
π，所以四边形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝
θ
θ
22222tan tan 4m n n m +．
（Ⅱ）S ＝
θθ
tan tan 422
2
2m n
n m +．
（1）当m >n ，即m
n
＜1时，因为θtan 2n ＋m 2tan θ≥2nm ，当且仅当tan 2θ＝22
m n 时等号
成立，所以mn mn
n m m n n m S 224tan tan 42222
2
2=≤+=
θθ
．
由于0＜θ≤
4
π，0＜tan θ≤1，
故tan θ＝
m
n
得u ＝2mn ． （2）当m <n ，即
m n
>1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤4
π， 由于)tan tan ()tan tan (1
212
2222
θθθθn m n m +-+
2
12
21212tan tan tan tan )tan (tan θθθθθθn m --=．
因为0＜tan θ
1＜tan θ2≤1，m
2
tan θ1tan θ
2－n 2＜m 2－n 2＜0，所以（m 2
tan θ2＋
22tan θn ）－（m 2
tan θ1＋1
2
tan θn ）＜0，于是在（0，4π］上，S ＝θθ
tan tan 422
22m n n m +是θ的增函数，故取θ
＝4π，即tan θ＝1得u ＝2
22
24n
m n m +． 所以u ＝⎪⎩
⎪
⎨⎧<<+<<)0(
4)0( 22222n m n m n m m n mn
（Ⅲ）（1）当
n
m
>1时，u =2mn >mn 恒成立. （2）当
n m <1时，2
24n m mn mn u += >1，即有（n m ）2－4（n m
）+1<0， 所以3232+<<
-
n m ，又由n
m
<1， 得132<<
-n
m . 综上，当u >mn 时，
n
m
的取值范围为（2－3，1）∪（1，＋∞）． 评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.
13．已知圆O :2
2
2x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,
离心率为
2
的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)
(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线
PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,
请说明理由． (5分)
14．设,A B 分别为椭圆22
221(,0)x y a b a b
+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，
且4x =为它的右准线（1）求椭圆的方程；（2）设P 为右准线上不同于点（4，0）的任
意一点， 若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内
15．如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且·=0，||2||BC AC =， (1）求椭圆的方程；
(2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什
么位置关系？证明你的结论.
16．设椭圆)22(18:
2
2
2
>=+a y a
x M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;
（II ）设A,B 是圆与()12:2
2
=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，
求PA PB ⋅的最大值.
（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:2
2
=-+y x N 的任一条直径，求
证00P E P F ⋅为定值。

x
17．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>左右两焦点为12,F F ，P 是右支上一点，
2121,PF F F OH PF ⊥⊥于H ， 111,,92OH OF λλ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
.
(1)当1
3
λ=
时，求双曲线的渐近线方程； (2）求双曲线的离心率e 的取值范围；
(3）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆的截y 轴的线段长为8，求该圆的方程. 17－1
18． 如图，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴AB 长为4
，离心率e =，O 为坐
标原点，过B 的直线l 与
x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H
为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．
19．已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3. (Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线； (Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（2002北京，21）
20．已知椭圆()22
220y x C a b a b
：+＝1＞＞
A 的直线l 与椭圆C 相交
于A 、B 两点，且(13)B --，. （1）求椭圆C 和直线l 的方程；
（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若 曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．
21．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2
:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .
(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2
AF
AM AN =⋅,求圆C 的半径.
22．已知抛物线:C 2
2(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F ．M 的圆心在x 轴的正半轴
上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为
3
π
的直线n ,交l 于点A ,交M 于另一点B ,且2AO OB ==．
（Ⅰ）求M 和抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；
（Ⅲ）过l 上的动点Q 向
M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该
定点的坐标．
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

(2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）
分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。

24．已知椭圆C ：x 24＋y 2
＝1，过点(m ,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；
（2）将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．
25．设A 为椭圆2
2
1259
x y +=上任一点，B 为圆
(x -最小值．
第17题
26．已知椭圆2
2
14
y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶
点，离心率为P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（本小题满分14分）
27．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2
＋y 2
=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；
（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）
28．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：122
2
=-y x ．
（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆12
2
=+y x 相切，求证：
OQ OP ⊥；
（3）设椭圆2C ：142
2
=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）
29．如图，圆O 与离心率为23
的椭圆T ：12222=+b
y a x (0>>b a )相切于点M )1,0(。

⑴求椭圆T 与圆O 的方程；
⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交
于点A 、C 与点B 、D(均不重合)。

②
P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为
1d 、2d ，求2221d d +的最大值；
②若⋅=⋅43，求1l 与2l 的方程。

(本小题满分16分)
30．已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22
221(0)x y a b a b +=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． (Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；
(Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．。