福建省厦门市高三数学上学期期末质检模拟试题 理 新人教A版

2012届厦门市高三上期末质量检查数学模拟试题（理）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、准考证号、考试科目分别填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.
3.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
4.本场考试禁止使用计算器.
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知全集R U =，集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
<=<≤-=-412
|},02|1
x x B x x A ｛，则）
（）（A B A C R =⋂ A.),1[)2,(+∞-⋃--∞ B.),1(]2,(+∞-⋃--∞ C.),(+∞-∞ D.),2(+∞- 2．函数32
()ln
2x f x x
=-的零点一定位于区间（ A ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．()3,4 D ．()4,5
4．已知命题P: 3
4
cos sin ,=
+∈∃x x R x 使 ，命题q:21--x x <0的解集是{|12}x x <<，
下列结论：①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧⌝”是假命题；
③命题“p q ⌝∨”是真命题； ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是（ D ）
(A)②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)①②③④
5．如图，函数()y f x =的图象在点(5,(5))P f 处的切线方程是
8y x =-+，则(5)(5)f f '+=（ C ）
(A)
1
2
(B) 1 (C)2 (D)0
6.以双曲线
22
163
x y -=的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ B ）
(A) ()132
2=+-y x
(B)()3322
=+-y x
(C) ()332
2
=+-y
x (D)22(3)9x y -+=
7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于（ A ）
A ．72
B ．66
C ．60
D ．30
8．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是（ C ）
A.βαβα⊥⊥,//,b a
B.βαβα//,,⊥⊥b a
C. βαβα//,,⊥⊂b a
D.βαβα⊥⊂,//,b a
9．若点O 和点F 分别为椭圆x 2
/4 +y 2
/3 =1的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则
的最大值为（ C ）
A.2
B.3
C.6
D.8
10．对于函数()f x ，若存在区间[,]M a b =（其中a b <），使得{|(),},
y y f x x M M =∈=则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”。

给出下列4个函数：①2
()(1);f x x =-②
()|21|;x f x =-③()cos
;2
f x x π
=④().x f x e =其中存在“稳定区间”的函数有
（ D ）
A ．①③
B ．①②③④
C ．②④
D ．①②③
第Ⅱ卷 （共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11、若,x y 满足
30,
10,350,
x y x y x y +-≥-+≥--≤则y
x
的最大值是 2 。

12．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 П/3 。

13．已知1t >，若
()2
121d t
x x t +=⎰，则t = 2 。

14．已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是椭圆 12
2
22=+b
y a x 的右焦点，且两条曲线交点
的连线过点F ，则该椭圆的离心率为 。

1
15、对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0≠a ），定义：设)(x f ''是函数y ＝f (x )
的导数y ＝)(x f '的导数，若方程)(x f ''＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数
都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数
3231
()324
f x x x x =-
+-，则它的对称中心为 （ ）；( 1/2, 1) 三、解答题；本大题共6小题，共80分.
16．（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 是递增．．数列，且满足473815,8.a a a a ⋅=+= （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令111
1
(2),93
n n n b n b a a -=
≥=，求数列{}n b 的前n 项和.n S
解：（1）根据题意：38478,a a a a +==+4715a a ⋅=，知： 47,a a 是方程28150x x -+=的两根，且47a a <
解得473,5a a ==， …………3分 设数列{}n a 的公差为d ，由742
(74),.3
a a d d =+-⋅=
得 ……5分 故等差数列{}n a 的通项公式为：4221
(4)3(4)33
n n a a n d n +=+-⋅=+-⋅=…7分
（2）当2n ≥时，11
1
212199()()3333
n n n
b a a n n -=
=
-+
1
(21)(21)n n =
-+111()22121
n n =--+ …………10分 又1111(1)3
2
3
b ==-
12111111
(1)2335
2121
n n S b b b n n ∴=+++=
-+-++
--+
11
(1)221
n =
-+21n n =
+ …………13分
17.（本小题满分13分）
设函数n m x f ⋅=)(，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(. （Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC
的面积为
2
3
，求C B c b sin sin ++的值.
解：（Ⅰ）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅= 1)6
2sin(212cos 2sin 3++
=++=
π
x x x ……………………………………3分
∴函数f (x )的最小正周期ππ
==2
2T ………………………………………… 4分 令)(,22
36222Z k k x k ∈+≤
+≤+ππ
πππ，解得.326ππππk x k +≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是Z k k k ∈++],32,
6[ππ
ππ ……………………… 6分 （Ⅱ）由f (A ) = 2，得2
1
)62sin(,21)62sin(2=+=++ππA A ，
在△ABC 中，π<<A 0 ππ
π
π
26
6
26
+<
+
<∴A
6
56
2π
π
=
+
∴A ，解得.3π=A …………………………………………………8分
又2
3
23121sin 21=
⨯⨯⨯==
∆c A bc S ABC ，解得c = 2. △ABC 中，由余弦定理得：32
1
21241cos 22
2
2
=⨯
⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴a = 3. …………………………………………………………………………10分
由
2
33sin sin sin ===A
a
C c B b ，
得2sin sin ,sin 2,sin 2=++∴==C
B c
b C
c B b ………………………………………13分
18.（本题满分13分）
已知椭圆1C :2221(02)4x y b b +=<<
,抛物线2C :22(0)x py p =>的焦点在椭圆的顶点上．
（1）求抛物线2C 的方程。

（2）过(1,0)M -
的直线l 与抛物线2C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线2C 的切线1l 、
2l ，当12l l ⊥时，求直线l 的方程。

解：（1）已知椭圆的短半轴为1
，半焦距为c =，
由离心率等于22
c e a ===
∴2
1b =， ∴椭圆的上顶点(0,1)，∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线的方程为24x y = （2）设直线l 的方程为()1y k x =+，()11,E x y ，()22,F x y
214y x =，∴x y 2
1
=' ∴切线1l 、2l 的斜率分别为12x 、22x
当12l l ⊥时，12122
x x
⋅=-即：124x x =-
由()214y k x x y
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩得：2
440x kx k --=
2(4)4(4)0k k ∆=-⨯->解得1k <-或0k > ①
∴1244x x k =-=-即：1k = 满足 ① ∴直线l 的方程为10x y -+=
19. (本小题满分13分)
在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为32的正三角形，点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点．
（Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ；
（Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时，求二面角A 1—AC —B 的大小余弦值； （Ⅲ）若D 为侧棱A 1A 上一点，当DA
D
A 1为何值时，BD ⊥A 1C 1．
A
O
C
D
A 1
B 1
C 1
解法一：（Ⅰ）连结AO ，∵A 1O ⊥面ABC ，AO ⊥BC ．
∴A 1A ⊥BC ．
……………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A 1AO =45°
由底面是边长为
AO =3 ∴A 1O =3，AA 1
过O 作OE ⊥AC 于E ，连结A 1E ，则∠A 1EO 为二面角A 1—AC —B 的平面角
……………………………………6分
∵OE =32
，∴tan ∠A 1EO =13232
A O
OE ==
……………………………………9分
即二面角A 1—AC —B
．
（Ⅲ）过D 作DF ∥A 1O ，交AO 于F ，则DF ⊥平面ABC ． ∴BF 为BD 在面ABC 内的射影，
又∵A 1C 1∥AC ，∴要使BD ⊥A 1C 1，只要BD ⊥AC ，即证BF ⊥AC ， ∴F 为△ABC 的中心，∴
11
A D OF == ……………………8分
解法二：以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OA 1为z 轴建立空间直角坐标系． （Ⅰ）由题意知∠A 1AO =45°，A 1O =3．∴O （0，0，0），C
0，0），A （0，3，0），
A 1（O ，0，3），B
0，0）．
∵1AA =（0，－3，3），BC =（
0，0） ∴1AA ·BC =0×
（－3）×0+3×0=0． ∴AA 1⊥BC ．
………………………4分
（Ⅱ）设面ACA 1的法向量为n 1=（x ，y ，z ），
则111(,,)3,0)30(,,)(0,3,3)330
n AC x y z y n AA x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨=⋅-=-+=⎪⎩ 1
A
O
C
E
D
F A 1 B 1 C 1
令z =1，则x
y =1，∴n 1=
，1，1） ……………6分
而面ABC 的法向量为n 2=（0，0，1） ………………………………8分
cos(n 1，n 2
=
又显然所求二面角的平面角为锐角，
……………………………9分
（Ⅲ）A 1C 1∥AC ，故只需BD ⊥AC 即可，设AD =a ，则D （0，3
）
又B
0，0），则BD =
3
），AC =
3，0）．
要使BD ⊥AC ，须BD ·AC =3－3（3
）=0， 得a
AA 1
A 1D
112A D DA =
=
……………………13分
20．（本小题满分14分）
如图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余地方种花.若BC=a, ABC=θ∠,设ABC ∆的面积为
1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值
2
1
S S 称为“规划合理度”.
（Ⅰ）试用a ,θ表示1S 和2S .
（Ⅱ）当a 为定值，θ变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小.
解：（1） 如图，在Rt ∆ＡＢＣ中 A C =a s i n ,A B θθ，
∴211S a sin cos 2θθ=
＝221
a sin 4
θ ……2分 设正方形的边长为x ，则x
BQ=
,RC=xtan tan θθ
x
+x+xtan =a tan θθ
∴ 11
a
x=+tan +tan θθ
∴ ＝222a sin sin θθ+ ∴2
22222a sin S x sin θθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭………7分 （2）2t sin θ= 而2S ＝22
24422a sin sin sin θθθ++4412S 1t S 4t ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭
………9分 0 < θ <
2π 又0 <２θ <π 当０<t ≤１ ∴()1444f t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
为减函数…11分 ∴当1t =时，12
S
S 取得最小值为94，此时21sin =4πθθ=∴ …………14分
21．（本小题满分14分）
A B
C
P
Q R
S
A B
C
P
Q
R
S
已知函数()ln 1a
f x x x
=
+-（a 是常数）， （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间;
（Ⅱ）当1a =时,方程()f x m =在∈x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡e e ,1上有两解，求m 的取值范围；
()71828
.2≈e （Ⅲ）求证: 1
ln
1n n n >-1(>n ，且)*N n ∈． 解：（Ⅰ） 2
()x a
f x x -'=．
当0a ≤时,在定义域(0,)+∞上,'
()0f x >恒成立,即()f x 单调增区间为 (0,)+∞; 当0a >时,在区间(0,)a 上, '
()0f x <,即()f x 单调减区间为 (0,)a ; 在(,)a +∞上, '
()0f x >,即()f x 单调增区间为 (,)a +∞．。