2021版 一次函数压轴题专题突破13：一次函数与新定义(含解析)

一次函数压轴题之新定义
1．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么
称点Q为点P的“伴随点”．
例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．
（1）点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标为．
（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求
函数y＝kx+3的解析式．
（3）在（2）的条件下，点C在函数y＝kx+3的图象上，点D是点C关于原点的对称点，点D的“伴随点为D'．若点C在第一象限，且CD＝DD'，直接写出此时“伴随点”D′的坐标，
2．定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y＝的函数称为一次函数y＝ax+b （a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0）．（1）已知函数y＝2x+1．
①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝．
②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为．
（2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是．
3．在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：
若r≤PO≤r，则称P为⊙O的“近外点”．
（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D （1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；
（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O 的“近外点”，直接写出b的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．
（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y＝x+3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
5．对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．
（1）如图2，已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q；
①若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为；
②若点Q的坐标为（﹣2，﹣1），则点P的坐标为；
（2）如图3，已知点C的坐标为（﹣1，0），点D在直线y＝2x﹣2上，若点D关于点C的“垂链点”E在坐标轴上，试求出点D的坐标；
（3）如图4，在平面直角坐标系xOy，已知点A（2，0），点C是y轴上的动点，点A关于点C的“垂链点”是点B，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是．
6．在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．
图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），
（1）如果b＝3，那么R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是；（2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求直线AB的表达式；
（3）如图2，在矩形OEFG中，F（3，2）．点M的坐标为（m，3），如果在矩形OEFG上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．
1．【解答】解：（1）x＝2＞0，则y＝1，故点A′为（2，1）；（2）当m≥0时，点B′（m，m+1），即m+1＝2，解得：m＝1，
故点B（1，2），将点B的坐标代入函数y＝kx+3并解得：k＝﹣1，故函数的表达式为：y＝﹣x+3…①；
当m＜0时，则点B（﹣3，﹣2），
同理可得：函数的表达式为：y＝x+3；
（3）①当点C在直线y＝﹣x+3上时，
设点C（a，b），（a＞0，b＞0），则点D（﹣a，﹣b），
则点D′（﹣a，b），CD＝DD'，
则CD′＝DD'，即CD是一、三象限角平分线，
则直线CD的表达式为：y＝x…②，
联立①②并解得：x＝y＝，
故点D′（﹣，）；
②当点C在直线y＝x+3上时，
同理可得：a＝﹣（不符合题意，点C在第二象限，舍去）
综上，点D′（﹣，）．
2．【解答】解：（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3，
故答案为3；
②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC上，当y＝2时，2x+1＝2，解得：x＝，
当y＝2时，﹣2x+1＝2，解得：x＝﹣，
故答案为（，2）或（﹣，2）；
（2）函数可以表示为：y＝|k|x﹣3，
如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，
当x＝3时，y＝|k|x﹣3＝3|k|﹣3＝0，k＝±1，
k＞0，取k＝1
当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，
同理k＝3，
故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，即：1＜k＜3．
3．【解答】解：（1）∵⊙O的半径为2，
∴r＝3，
∵A（4，0），
∴OA＝4＞3，
∴点A不是⊙O的“近外点”，
B （﹣，0），
∴OB＝，而2＜＜3，
∴B是⊙O的“近外点”，
C（0，3），
∴OC＝3，
∴点C是⊙O的“近外点”，
D （1，﹣1），
∴OD＝＝＜2，
∴点D不是⊙O的“近外点”，
故答案为：B，C；
（2）∵E（3，4），
∴OE＝＝5，
∵点E是⊙O的“近外点”，
∴，
∴≤r≤5；
（3）如图，
∵直线MN的解析式为y＝x+b，
∴OM＞ON，
①点N在y轴坐标轴时，
当点M是⊙O的“近外点”，此时，点M（﹣2，0），
将M（﹣2，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝2，即：b的最小值为2，
过点O作OG⊥M'N'于G，
当点G是⊙O的“近外点”时，此时OG＝3，
在Rt△ON'G中，∠ON'G＝45°，
∴ON'＝＝3，
b的最大值为3，
∴2≤b≤3，
②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出﹣3≤b≤﹣2．综上所述，b的取值范围是：2≤b≤3或﹣3≤b≤﹣2．
4．【解答】解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|＝≠2，
∴|0﹣y|＝2，
解得，y＝2或y＝﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为
（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD，
∵C是直线y＝x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0，x0+3），
∴﹣x0＝x0+2，
此时，x0＝﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|＝，
此时C（﹣，）；
5．【解答】解：（1）①若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；
②若点Q的坐标为（﹣2，﹣1），
同理可得：点P的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（2）①当点E（E′）落在x轴上时，如图1
则点D（D′）关于点C的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，
x＝﹣1时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，
故点D（﹣1，﹣4）；
②当点E落在y轴时，如图1：
设点D（m，2m﹣2），
点D的“垂链点E在y轴上，
过点D作DH⊥x轴于点H，
则△CHD≌△EOC（AAS），
则DH＝OC＝1，即：2m﹣2＝﹣1，解得：m＝，
故点D（，﹣1），
综上，点D（﹣1，﹣4）或（，﹣1）；
（3）如图作BH⊥OH于H．
设点C的坐标为（0，m），
由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝2，
则点B（m，2+m），
则：BO+BA＝+，
BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，
相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，
作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），
易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，
M′N＝2，
答案为：2．
6．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．
故答案为R，S．
（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．
∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴△ABH为等腰直角三角形．
∵A（1，4），
∴BH＝AH＝4．
∴b＝﹣3或5．
∴B点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）．
∴设直线AB 的表达式为y＝kx+b．
∴由题意得或
解得或
∴直线AB 的表达式为y＝x+3或y＝﹣x+5．
（3）如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴△NMG为等腰直角三角形，
∴EG＝GM＝3，
∴M（6，3）．
如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴△NMG为等腰直角三角形，
∴OG＝GM＝3，
∴M（﹣3，3）．
∴m的取值范围是：﹣3≤m≤6．。