(常考题)人教版高中数学选修二第一单元《数列》检测题(有答案解析)(4)

一、选择题
1．已知数列{}n a ，{}n b 中满足()1231n n a a n ++=≥，110a =，1n n b a =-，若{}n b 前
n 项之和为n S ，则满足不等式1
6170
n S -<
的最小整数n 是（ ）. A ．8
B ．9
C ．11
D ．10
2．若数列{}n a 满足12a =，23a =，1
2
n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），则2018a 等于（ ） A ．
12
B ．2
C ．3
D ．
23
3．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）
①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若
150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（ ）． A ．29
B ．28
C ．27
D ．26
6．设数列{}n a 满足122,6,a a ==且2122n n n a a a ++-+=，若[]
x 表示不超过x 的最大整数，则1
2102410241024
1024a a a ⎡⎤
+++
=⎢⎥⎣⎦
（ ） A ．1022 B ．1023 C ．1024 D ．1025
7．已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）
A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9
a a =则95S
S =（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．
1
2
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则
6
6
(S a = )
A ．
6332
B ．
3116
C ．
123
64
D ．
127
128
10．函数()3sin 2cos 23f x x x =--的正数零点从小到大构成数列{}n a ，则3a =（ ） A ．
1312
π
B ．
54
π C ．
1712
π
D ．
76
π 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130S >，140S <，则n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．13
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12
n n n a S n N n
++=∈，则n a =（ ） A ．()1
12
n n -+
B ．2n n ⋅
C ．31n -
D ．123n n -⋅
二、填空题
13．已知递增数列{}n a 共有2020项，且各项和均不为零，20202a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和
2020S =______．
14．数列{}n a 的前n 项和n S 满足22n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______. 15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________. 16．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________.
17．已知数列{}n a 的前n 项和2
231n S n n =-+，则n a =__________．
18．已知正项等比数列
满足：,若存在两项使得,则
的最小值为 ．
19．下表给出一个“直角三角形数阵”：
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记
第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____.
20．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且675S S S >>，给出以下结论：①0d <；②110S >；③120S >；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >其中正确的有______.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
21．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在表的同一列.
请从①1，②1，③1的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在.并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ，若不等式4n
n S a λ+≥对任意的*n ∈N 都成立，求实数λ的最小值.
22．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1212a a +=，34108a a +=， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 23．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数1x ，2x 都有
()()()12121f x x f x f x +=++，且()11f =.
（1）若对任意正整数n ，有1
12n n a f ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，求{}n a 的通项公式； （2）若31n b n =+，求数列{}n n a b 前n 项和n S . 24．已知数列{}n a 中，11a =，()*13
n
n n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足的()
312
n
n n n n
b a =-⋅
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式
()112
n
n n n
T λ--<+
对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知(
)*
214,21n n S a S n N +==+∈．数列{}n
b 是首项
为1a ，公差不为零的等差数列，且127,,b b b 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n
n n
b c a =
，数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n T m <恒成立，求m 的取值范围． 26．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n a 满足
()*1(1)1N n n na n a n +-+=∈，且11a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ
的值使数列
为等差数列； （3）数列{}n b 满足141
n n b S =
-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，
()1k m k <<，使得23k m T T =？若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由123n n a a ++=可求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b ，表示出n S ， 令16170n S -<，即可得到满足不等式16170
n S -<的最小整数n . 【详解】
解：由题意可知：123n n a a ++=， 即11322n n a a +=-
+， 即()11
112
n n a a +-=--， 又
110a =，
119a ∴-=，
即数列{}1n a -是以首项为9，公比为1
2
-
的等比数列， 1
1192n n a -⎛⎫
∴-=⨯- ⎪
⎝⎭
，
即1
1192n n a -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭
，
1
1192n n n b a -⎛⎫
∴=-=⨯- ⎪
⎝⎭
，
12111219661212n n
n n S b b b ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++⋅⋅⋅+=⨯=-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭
， 则111632170
n n S --=⨯
<， 即1
112510
n -⎛⎫<
⎪⎝⎭
， 又9
112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，
∴满足不等式1
6170
n S -<
的最小整数19n -=， 即10n =. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列{}n a 的通项公式.
2．C
解析：C 【分析】
先由题设求得数列{}n a 的前几项，然后得到数列{}n a 的周期，进而求得结果. 【详解】
因为12a =，23a =，1
2
n n n a a a --=
（3n ≥且*N n ∈）， 所以23
13
2a a a ==，3423
1232
a a a ===， 453112332
a a a ===，
564123132a a a ===，6752
321
3
a a a ===，7862
32
3
a a a ===，，
所以数列{}n a 是周期为6的周期数列， 所以20183366223a a a ⨯+===， 故选：C. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项； （2）根据规律判断出数列的周期；
（3）根据所求的数列的周期，求得20182a a =，进而求得结果.
3．B
解析：B 【分析】
①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使1
0n n a a +≥⎧⎨
≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式
1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.
【详解】 ①若100S =，则
()()
110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0
的等差数列，所以50a >，60a <，那么
()()
()()18281212458402
a a S S a a a a a a ++=++
=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()
115158151502
a a S a +=
=>，
()()
11689161616022
a a a a S ++=
==，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502
a a S a +=
=>，()
()116168916802a a S a a +=
=+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B 【点睛】
方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质
求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2
n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n
的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.
4．B
解析：B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得21
43n n a =-
，求得1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得22
1114n n
a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1为首项的等差数列，
所以21
14(1)43n
n n a =+-=-，
因为0n a >
，所以n a =，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
22
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n b =
=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
5．A
解析：A 【分析】
由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】 解：由题意知：
1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，
即：211a a -=，322a a -=，
，11n n n a a -=--，
把上述所有式子左右叠加一起得：(1)
12
n n n a -=
+， 88(81)
1292
a ⨯-∴=
+=. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11
b b k m m k =-=
-，， 可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭
是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于1
12(),n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，
m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；
（7）1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等
式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.
6．B
解析：B 【分析】
由2122n n n a a a ++-+=变形得()2112n n n n a a a a +++---=，令1n n n b a a +=-，可得n b 为
等差数列，求得{}n b 通项进而求得{}n a 通项， 结合裂项公式求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和，再由最大
整数定义即可求解 【详解】
由()12121222n n n n n n n a a a a a a a +++++--=-+⇒=-，设1n n n b a a +=-，则
12n n
b b ，{}n b 为等差数列，1214b a a =-=，公差为2d =，故22=+n b n ，
112n n n b n a a --==-，
()1221n n a a n ---=-，
，2122a a -=⨯，叠加得()()121n a a n n -=+-，化简得
2
n a n n =+，故()111111
n a n n n n ==-++，所以 1
2102410241024
1024111
1111024110241223
102410251025a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+++
=⨯-+-++
-=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 1024102410231025⎡
⎤=-=⎢⎥⎣⎦
故选：B 【点睛】
方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项和，裂项公式求前n 项和，新定义的理解，综合性强，常用以下方法： （1）形如()1n n a a f n --=的数列，常采用叠加法求解；
（2）常见裂项公式有：()11111n n n n =-++，()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
，()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
7．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，
且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
8．A
解析：A 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得结果. 【详解】
在等差数列{a n }中，由
5359a a =，得()
()99551153921995559
52
a a S a a a S a +==⨯=⨯=+ 故选：A 【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．
9．A
解析：A 【分析】
利用数列递推关系：1n =时，1121a a =-，解得1a ；2n 时，1n n n a S S -=-．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
21n n S a =-，1n ∴=时，1121a a =-，解得11a =；2n 时，
1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，
化为：12n n a a -=．
∴数列{}n a 是等比数列，公比为2．
5
6232a ∴==，6621
6321
S -==-．
则
666332
S a =． 故选：A ． 【点睛】
本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
10．B
解析：B 【分析】
先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭4
x k π
π=+或512x k π
π=
+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】 解：
∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫
=-=-- ⎪⎝
⎭
∴ 令()0f x =得：226
3
x k π
π
π-=
+或2226
3
x k π
π
π-
=
+，k Z ∈， ∴4
x k π
π=
+或512
x k π
π=
+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4
124
a a a π
ππ==
=
故选：B. 【点睛】
本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.
11．B
解析：B 【解析】
分析：首先利用求和公式，根据题中条件130S >，140S <，确定出780,0a a ><，从而
根据对于首项大于零，公差小于零时，其前n 项和最大时对应的条件就是1
00n n a a +≥⎧⎨≤⎩，从而
求得结果.
详解：根据130S >，140S <，可以确定11371147820,0a a a a a a a +=>+=+<，所以可以得到780,0a a ><，所以则n S 取最大值时n 的值为7，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的前n 项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确
其前n 项和取最大值的条件1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从
而求得结果.
12．A
解析：A 【分析】
先由已知数列递推公式可得1221n n a a n n +=⋅++，得到1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 【详解】
解：∵()*12
n n n a S n N n
++=∈，∴
12n n n a S n +=+，① 当2n ≥时，11
1
n n n a S n --=+，② ①－②有
11
21n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221
n n a a n n +=⋅++()2n ≥， 另外，n =1时211132
61a S a =+==
，故21232
a a =⋅，也符合上式， 故1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是以112a =为首项，以2为公比的等比数列，
∴
121n n
a n -=+，故()112n n a n -=+⋅. 故选：A. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.
二、填空题
13．2021【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和求和的应用求出结果【详解】解：因为递增数列共有2020项且各项均不为0所以所以若则与是数列中的项矛盾所以所以即对上式累加得所以故答案为：2021【点睛
解析：2021 【分析】
直接利用数列的递推关系式的应用和求和的应用求出结果． 【详解】
解：因为递增数列{}n a 共有2020项，且各项均不为0，20202a =， 所以12201920202a a a a <<⋯<<=，所以
2020201920202018202010a a a a a a <-<-<<-，
若10a <，则202012a a ->，与20201a a -是数列{}n a 中的项矛盾， 所以10a >，
所以202020191202020182202012019,,
,a a a a a a a a a -=-=-=，即
20191201821201920202a a a a a a a +=+=
=+==，
对上式累加，得202022019222S =⨯+⨯，所以20202021S =．
故答案为：2021． 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
14．【分析】本题首先可根据得出然后令求出的值最后根据等比数列的定义即可得出结果【详解】因为所以则即当时解得故数列是首项为公比为的等比数列故答案为：【点睛】思路点睛：已知求的一般步骤：（1）当时由求的值； 解析：2n
【分析】
本题首先可根据22n n S a =-得出()122n n a a n -=≥，然后令1n =，求出1a 的值，最后根据等比数列的定义即可得出结果. 【详解】
因为22n n S a =-，所以()11222n n S a n --=-≥，
则()112222n n n n n a S S a a --=-=---，即()122n n a a n -=≥， 当1n =时，11122S a a ==-，解得12a =，
故数列{}n a 是首项为2、公比为2的等比数列，2n
n a =，
故答案为：2n . 【点睛】
思路点睛：已知n S 求n a 的一般步骤： （1）当1n =时，由11a S =，求1a 的值；
（2）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；
（3）检验1a 的值是否满足（2）中n a 的表达式，若不满足则分段表示n a ， （4）写出n a 的完整的表达式.
15．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题 解析：1-
【分析】
由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】
由题意知21n n a S =+， 当2n ≥时，1121n n a S --=+， 两式相减，得12n n n a a a --=， 即1n n a a -=-， 当1n =时，11a =-，
所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，
则()()4
5111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】
本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.
16．【分析】先证明出当三点共线（该直线不过原点）且时可得出然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当三点共线（该直线不过原点）时则与共线则存在使得即可得因为且三点共线（该直线不过原点）则由等差数列求 解析：50
【分析】
先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，
1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值.
【详解】
当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线， 则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()
OB OA OC OA λ-=-，可得
()1OB OA OC λλ=-+，
OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，
因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则
11001a a +=，
由等差数列求和公式可得()11001001001001
5022
a a S +⨯===.
故答案为：50. 【点睛】
本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.
17．【解析】分析：当时求得；当时类比写出由求出再将代入检验即可求出答案详解：当时当时由得两式相减将代入上式通项公式为故答案为点睛：本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法其求解过程分为三步：（
解析：0,1
45,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
【解析】
分析：当1n =时，求得11a S =；当2n ≥时，类比写出1n S -，由1n n n a S S -=-求出n a ，再将1n =代入n a 检验，即可求出答案. 详解：当1n =时，110a S ==
当2n ≥时，由2231n S n n =-+，得2
12(1)3(1)1n S n n -=---+，
两式相减，145n n n a S S n -=-=-， 将1n =代入上式，110a =-≠， ∴通项公式为0,1
45,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
故答案为0,1
45,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩.
点睛：本题主要考查已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：
（1）当1n =时， 11a S =求出1a ；
（2）当2n ≥时，用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1n n S S -- (2)
n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式；
（3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．
18．【详解】存在两项使得比较可得当时有最小值为【点睛】本题考查了基本不等式；等比数列的通项基本不等式求最值应注意的问题（1）使用基本不等式求最值其失误的真正原因是对其前提一正二定三相等的忽视要利用基本不 解析：
【详解】
7652a a a =+，25552a q a q a ∴=+，220q q ∴--=，2q ∴=，存在两项
使得
12m n a a a =，214m n a a a ∴=，24m n q +-∴=，4m n ∴+=，
，比较可得当
时，有最小值为
. 【点睛】
本题考查了基本不等式；等比数列的通项.基本不等式求最值应注意的问题（1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．（2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
19．【分析】先计算第一列形成的数列再计算第20行形成的数列得到答案【详解】设第一列形成的数列为则是首项为公差为的等差数列故设第20行形成的数列为是首项为公比为的等比数列故即故答案为：【点睛】本题考查了等 解析：
19
52
【分析】
先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列20195
2
c =，得到答案. 【详解】
设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为
14，公差为14的等差数列，故4
n n b =，205b =.
设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为1
2的等比数列，故201952
c =. 即(20,20)20195
2
a c ==. 故答案为：1952
. 【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
20．①②③⑤【分析】由可得即可判断①⑤；可判断②；可判断③；由可判断④【详解】由可得故公差且①⑤正确；故②正确；故③正确；因所以数列中的最大项为故④错误故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查等差数列的性质涉
解析：①②③⑤ 【分析】
由675S S S >>可得70a <，60a >，670a a +>即可判断①⑤；11611S a =可判断②；61276()a S a =+可判断③；由12670a a a a >>>>>>
可判断④.
【详解】
由675S S S >>可得70a <，60a >，670a a +>，故公差0d <，且67a a >，①⑤正确；
11116111()1102a a S a =
+=>，故②正确；112261712
()6()02
a S a a a =+=+>，故③正确；
因12670a a a a >>>>>>
，所以数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误.
故答案为：①②③⑤.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，涉及到等差数列的和等知识，考查学生推理及运算能力，是一道中档题.
三、解答题
21．（1）32n a n =-；（2）918
【分析】
（1）由等差数列的定义可得选②，再由等差数列的通项公式可得所求； （2）由错位相减法求得n S ，再参数分离可得()()323+42
n
n n λ-≥对任意的
*n ∈N 都成
立，令()()323+42n n
n n b -=，判断{}n
b 的单调性求得最大项即可求出.
【详解】
（1）已知{}n a 为等差数列，由题选择②可成立， 即11a =，24a =，37a =，所以公差3d =，
()1+1332n a n n ∴=-⨯=-；
（2）3222
n n n a n -=， 1
2314732
++++222
2n n
n S -∴=
， 234+1
114732
++++
2222
2
n n n S -=， 两式相减得：23+11111
1323++++12222
22n n n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+1
1113122311212
n n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⨯---
， 整理得3+4
42n n
n S =-， 若不等式4n n
S a λ
+≥对任意的*n ∈N 都成立，
则3+44+4232n n n λ-
≥-，即()()323+42
n n n λ-≥对任意的
*n ∈N 都成立， 令()()323+42n n
n n b -=
，
则()()()()2+1+1
+1
3+13+7323+49+12+23222n n
n n
n n n n n n n b b ---=-=
， 当1,2n =时，+10n n b b ->，可得321b b b >>， 当3n ≥时，+10n n b b -<，可得345>>>b b b ，
则{}n b 中的最大项为391
8
b =
，
918λ∴≥
，即λ的最小值为
91
8. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法求和. 22．（Ⅰ）3n
n a =；（Ⅱ）1133244n n n S +⎛⎫=-⋅+
⎪⎝
⎭. 【分析】
（Ⅰ）已知数列{}n a 是等比数列，要求通项公式，由已知条件采用基本量法，即用首项1a 和公比q 表示出已知，并解出即可；
（Ⅱ）n n b na =是由一个等差数列与等比数列对应项相乘形成的，因此求其前n 项和是用错位相减法． 【详解】
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q （0q >）， 由己知得1123
1112
108
a a q a q a q +=⎧⎨
+=⎩，则解得13a =，3q = 所以数列{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，
即1333n n
n a -=⋅=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得3n
n n b na n ==⋅ 所以123n n S b b b b =+++
+
1231323333n n =⋅+⋅+⋅+
+⋅（1）
23413132333(1)33n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅（2）
由（1）-（2），得
(
)123
1
1
313233333
3
13
n n n n n S n n ++--=+⋅++
+-⋅=
-⋅-
∴()1131313334
2244n n n n n n S ++-⎛⎫=
+
⋅=-⋅+ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 23．（1）()*
112n n a n -=∈N ；（2）1
37142
n n n S -+=-. 【分析】 （1）令121
2
x x ==
，求出102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，从而可得11a =，再有112
n n a f ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，求得12n n a a +=，利用等比数列的通项公式即可求解.
（2）由1
31
2n n n n a b -+=，利用错位相减法即可求解. 【详解】
解：（1）令121
2
x x ==，则()111122f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，11112a f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
. ∵1111111
111112*********n n n n n n n a f f f f a +++++⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+=++=+=+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， ∴112n n a a +=，∴{}n a 为以1为首项，12为公比的等比数列，∴()
*112
n n a n -=∈N . （2）∵1
31
2n n n n a b -+=， ∴21471031
S 1222
n n n -+=
++++①， 由①1
2⨯，得23147103122222
n n
n S +=++++②， 由①-②，得
21133
331
4222
22
n n n n S -+=++++
- 1131374317222n n n n n -++⎛
⎫=+--=- ⎪⎝⎭
，
∴1
37142
n n n S -+=-. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数与数列的综合，解题的关键是根据关系式求出
()*
1
12
n n a n -=
∈N ，考查了计算能力. 24．（1）2
31
n n a =-；（2）23λ-<<. 【分析】 （1）将()*13n n n a a n N a +=
∈+，变形为113
1n n
a a +=+，再利用等比数列的定义求解. （2）由（1）得12n n n
b -=
，然后利用错位相减法求得1
2
42n
n n T -+=-，将不等式()112n
n n n T λ--<+
对一切*
n N ∈恒成立，转化为()1
2142
n n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，分n 为偶数和奇数讨论求解. 【详解】
（1）由()*13
n
n n a a n N a +=
∈+， 得
131
31n n n n
a a a a ++==+， ∴
111
11322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以3为公比，以1113
22a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列，
所以
1113322n n a -+=⨯，即231
n n a =-.
（2）12
n n n
b -=
()0122111111123122222
n n n T n n --=⨯
+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯, ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得:
012111111222222222
n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-， ∴1
2
42
n n n T -+=-
， 因为不等式()
112
n
n n n
T λ--<+
对一切*n N ∈恒成立，
所以()1
2
142
n
n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立， 因为1
2
42n t -=-
单调递增， 若n 为偶数，则12
42
n λ-<-
，对一切*n N ∈恒成立，∴3λ<； 若n 为奇数，则1
2
42
n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，∴2λ-<，∴2λ>- 综上：23λ-<<. 【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n
n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩
；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
25．（1）13-=n n a ，43n b n =-；（2）9
+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭
，
. 【分析】
（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式可得{}n a ，再由等差数列的通项公式以及等比的定义，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；
（2）利用错位相减法求出()34391223n
n n T +⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，易得92n T <，进而可得结果. 【详解】
（1）∵(
)*
121n n a S n N
+=+∈，
当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减化简可得：13n n a a +=,
即数列{}n a 是以3为公比的等比数列，
又∵24S =，∴1134a a +=，解得14a =，即13-=n n a ， 设数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，
∵127,,b b b 成等比数列，∴()()2
1161d d ⨯+=+， 解得4d =或0d =（舍去），即43n b n =-， ∴数列{}n a 和{}n b 的通项公式为13-=n n a ，43n b n =-. （2）由（1）得1433
n n n n b n c a --=
=， ∴()0
1
2
1
111159433333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⨯+⨯+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()1
2
3
11111594333333n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
两式相减得：()1
2
1
2111114444333333n n
n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⨯+⨯++⨯-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()13433n
n ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
∴()34391223n
n n T +⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，即有92n T <恒成立， n T m <恒成立，可得92
m ≥
， 即m 的范围是9+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭
，
. 【点睛】
一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·
b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 26．（1）21n a n =-；（2）1λ=；（3）存在；2m =，12k =． 【分析】
（1）由1
(1)1n n na n a +-+=
，变形为
111
11
n n a a n
n n n +-=-++，再利用累加法求解. （2）由（1）求得2
n S n =列，求得1λ=，再检验即可. （3）由21
1114122121
n b n n n ⎛⎫
==-
⎪--+⎝⎭
，然后利用裂项相消法求解. 【详解】
（1）1(1)1n n na n a +-+=，两边同时除以()1n n +得：
111
11
n n a a n n n n +-=-++， 从而有：
11111n n a a n n n n --=---，……，2111122a a -=-． 叠加可得：11
11n a a n n
-=-，21(2)n a n n =-≥．
又1n =满足等式，从而21n a n =-．
（2）因为12n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为2为等差数列， 所以2(1)
22
n n n S n n -=+
⨯=，
所以
解得1λ=．
检验当1λ=
21n =+
23n =+，
2=，
∴当1λ=
时，为等差数列．
（3）∴21
1114122121
n b n n n ⎛⎫=
=-
⎪--+⎝⎭
， ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，
11111
1111233523212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 11122121
n n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭， 若2
3k m T T =，
则22321(21)k m k m =++，整理得2
2
3412m k m m =+-， 又1k m >>，
∴2
234121m m m m m ⎧>⎪
+-⎨⎪>⎩， 整理得2221
04121m m m m m ⎧-->⎪
+-⎨⎪>⎩
解得112
m <<+
， 又*m N ∈，∴2m =，∴12k = ∴存在2m =，12k =满足题意 【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n
n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩
；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。