2018_2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式试题新人教A版选修4

10.已知 x,y,z∈R,且 x-2y-3z=4,求 x2+y2+z2 的最小值.
解由柯西不等式,得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2), 所以 16≤14(x2+y2+z2).
8
������ ������
2=1
������ ������ ������ 9(a+b+c)· ������ ������ ������ 9 ������
������
������ 9·81=9,当且仅当
������ ������ ������
==
2 3 4,即 a=2,b=3,c=4 时,等号成立,故所求最小值为 9.
答案 C
答案 121
4.设 x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2 的最小值为 .
解析 2x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.
考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2,即
| | | | ������ ������ =
当且仅当|x|= 2 2 时,等号成立. 所以 x+2y+2z 的最大值为 3.
答案 C
2. 等于( )
导学号 26394054 已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+3c=9,则 3������ + 2������ + ������的最大值
A. 39
求证 0≤xi≤3(i=1,2,3,4).
证明由柯西不等式,得 (x2+x3+x4)2≤(1+1+1)(������22 + ������23 + ������24), 由题设条件,得 x2+x3+x4=6-x1,������22 + ������23 + ������24=12-������21, 代入上式,得(6-x1)2≤3(12-������21), ∴36-12x1+������21≤36-3������21, ∴4������21-12x1≤0,∴0≤x1≤3, 同理可证 0≤xi≤3(i=2,3,4).
������
������
������ =18,
( ) 2 2 2
������ ������ ������
222
++
==
++
所以������ ������ ������≥2 当且仅当2 2 2,即 a=b=c=3 时,等号成立 ,故������ ������ ������的最小值为
2.
答案 2
答案 B
6.已知 a,b,c>0,且 a+b+c=1,则 4������ + 1 + 4������ + 1 + 4������ + 1的最大值为 .
解析由柯西不等式,得( 4������ + 1 + 4������ + 1 + 4������ + 1)2 =(1× 4������ + 1+1× 4������ + 1+1× 4������ + 1)2 ≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1) =3[4(a+b+c)+3]=21.
=[( ������)2+( ������)2+( ������)2]· ������
������
������
( ) 2 ������· +
3
������· +
6
������·
2
≥ ������
������
������ =(2+3+6)2=121.
������ ������ ������
==
当且仅当2 3 6时,等号成立.
16
16
=4(16-e2),化简,得 5e2-16e≤0⇒0≤e≤ 5 ,故 emax= 5 .
解析因为(12+12+12)·(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,
������2 + ������2 + ������2 (������ + ������ + ������)2
≥
所以 3
9
,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
又 a,b,c 均大于 0,所以 a&#���2 + ������2 + ������2 ≥ ������ + ������ + ������
综上所述,0≤xi≤3(i=1,2,3,4).
6.
导学号 26394056 设实数 a,b,c,d,e 满足 a+b+c+d+e=8,且 a2+b2+c2+d2+e2=16,试确
定 e 的最大值.
解由已知,得 a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)
1 当且仅当 a=b=c=3时,取等号. 故 4������ + 1 + 4������ + 1 + 4������ + 1的最大值为 21.
答案 21
222
++
7.设 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=9,则������ ������ ������的最小值为 .
( ) 2 2 2 ++
==
������ ������ ������=k 时,等号成立.
5 由 k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得 k=6,
������ + ������ + ������ 5 所以������ + ������ + ������=k=6.
5 答案6
2
2
2
+
+
9.已知 a+b+c=1,且 a,b,c 是正数,求证������ + ������ ������ + ������ ������ + ������≥9.
==
31
) 1
3 时,等号成立 ,故最大值为 39.
答案 A
( ) 4 9 36 ++
3.设 a,b,c 为正数,则(a+b+c) ������ ������ ������ 的最小值是 .
( ) 4 9 36 ++
解析(a+b+c) ������ ������ ������
[( ) ( ) ( ) ] 2 2 + 3 2 + 6 2
二 一般形式的柯西不等式
课后篇巩固探究 A组
������2 + ������2 + ������2 ������ + ������ + ������
1.已知 a,b,c 均大于 0,A=
3
,B= 3 ,则 A,B 的大小关系是( )
A.A>B
B.A≥B
C.A<B
D.A≤B
246
8
=
因此 x2+y2+z2≥7,当且仅当 x= - 2 - 3,即当 x=7,y=-7,z=-7时,x2+y2+z2 的最小值为7.
B组
1.已知 x2+y2+z2=1,则 x+2y+2z 的最大值为( )
A.1
B.2
解析由柯西不等式,得
C.3
D.4
(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9, 所以-3≤x+2y+2z≤3.
解析因为(a+b+c) ������ ������ ������
[( ) ( ) 2 2 + 2 2 +
=[( ������)2+( ������)2+( ������)2] ������
������
( ) ] ( ) 2 2 ≥
2
������· +
2
������· +
������· 2 2
������
B. 13
C.13
D.18
( ) ( 1
1
3������ + 2������ + ������ = 3· ������ + 2������ + · 3������ ≤ 3 + 1 + (������ + 2������ + 3������) = 39
解析
3
3
当且仅当
������ 2������ 3������
所以
3
3.
答案 B 2.若 x2+y2+z2=1,则 x+y+ 2z 的最大值等于( )
A.2
B.4
C. 2
D.8
解析由柯西不等式,可得[12+12+( 2)2](x2+y2+z2)≥(x+y+ 2z)2,即(x+y+ 2z)2≤4,因此 x+y+ 2z≤2
( )
������
11 2
当且仅当 x=y= 2,即 x=2,y=2,z= 2 时,等号成立 ,即 x+y+ 2z 的最大值等于 2.
[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥ ( - 9)2
9 =9,当且仅当 x=-1,y=-4,z=2 时,等号成立,此时取得最小值 9.
答案 9
5.
导学号 26394055 已知 x1,x2,x3,x4 为实数,且 x1+x2+x3+x4=6,������21 + ������22 + ������23 + ������24=12,
������ + ������ + ������ 8.设 a,b,c,x,y,z 都是正数,且 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则������ + ������ + ������= .
解析由柯西不等式知 25×36=(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36,当且仅当 ������ ������ ������
答案 A
3.已知������21 + ������22+…+���������2���=1,������21 + ������22+…+���������2���=1,则 a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析∵(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(������21 + ������22+…+���������2���)×(������21 + ������22+…+���������2���)=1×1=1,∴a1x1+a2x2+…+anxn 的最 大值是 1.
5.已知 x,y 是实数,则 x2+y2+(1-x-y)2 的最小值是
1
1
A.6
B.3
C.6
D.3
解析由柯西不等式,得
( )
(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]
≥[x+y+(1-x-y)]2=1,
1 即 x2+y2+(1-x-y)2≥3,
1
1
当且仅当 x=y=1-x-y,即 x=y=3时,x2+y2+(1-x-y)2 取得最小值3.
( ) 1
1
1
+
+
证明左边=[2(a+b+c)] ������ + ������ ������ + ������ ������ + ������ =[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
( ) 1
1
1
1
+
+
������ + ������ ������ + ������ ������ + ������ ≥(1+1+1)2=9.当且仅当 a=b=c=3时,等号成立,故原不等式成立.
答案 A
4 9 16
++
4.设 a,b,c 均为正数且 a+b+c=9,则������ ������ ������ 的最小值为( )
A.81
B.49
C.9
D.7
解析由柯西不等式,可得
( ) ( ) 4 9 16 1 ++ =
4 9 16 1
++ ≥
2
������· +
3
������· +
4
������·