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(人教版B版)高中数学必修第二册第五章综合测试试卷01及答案

第五章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是容量为100的样本数据质量的频率分布直方图，已知样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为（）A.10B.20C.30D.402.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对4.根据某跑步团体每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据绘制了如图所示的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳5.在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一U发生的概率为（）次试验中，事件A BA .13B .12C .23D .566.某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg ，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg ，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg ，估计这时鱼塘中鱼的总质量为（）A .192 280 kgB .202 280 kgC .182 280 kgD .172 280 kg7.为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为（）A .①③B .①④C .②③D .②④8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A .100，10B .100，20C .200，10D .200，209.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是（）A .25B .715C .1130D .1610.如图所示，小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为A X 和B X ，方差分别为2A s 和2B s ，则（）A .AB X X ＜，22A B s s ＞B .A B X X ＜，22A Bs s ＜C .A B X X ＞，22A B s s ＞D .A B X X ＞，22A Bs s ＜11.袋子中有四个小球，分别写有“美”“丽”“中”“国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到时停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中”“国”“美”“丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231131133231031320122130233由此可以估计，恰好第三次停止的概率为（）A .19B .318C .29D .51812.有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个人能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为p ，录用到能力中等的人的概率为q ，则(),p q =（）A .11,66æöç÷èøB .11,26æöç÷èøC .11,24æöç÷èøD .11,23æöç÷èø二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为11: 8: 6，从中抽取200名职员作为样本，则应抽取青年职员的人数为__________.14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.15.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值为__________.16.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为1白1黑的概率等于__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.[10分]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示.（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ，2x ，估计12x x -的值.18.[12分]为了调查某市市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图，其中4a b =.（1）求a，b的值；（2）求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；（3）若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，应如何抽取？19.[12分]某地区有小学21所，中学14所，大学7所。

高中数学新人教B版必修2全一册自主训练(打包13套)Word版含答案

高中数学新人教B版必修2全一册自主训练（打包13套）Word版含答案.doc1.1.1 构成空间几何体的基本元素自主广场我夯基我达标1.下列说法正确的是（）A.一个平面面积为4 m2B.一条直线长为5 cmC.正方体的面是平面的一部分,而不是整个平面D.三角形是一个平面思路解析：直线是无限延伸的,没有长短;平面是无限延展的,没有面积,没有厚度.根据这些性质,逐项进行排除可知选C.答案：C2.下列叙述中,一定是平面的是（）A.一条直线平行移动形成的面B.三角形经过延展得到的平面C.组成圆锥的面D.正方形围绕一条边旋转形成的面思路解析：直线平行移动可以形成平面或曲面,只有在方向不变的情况下才能得到平面.答案：B3.长方体中棱的条数是（）A.6B.8C.12D.16思路解析：长方体有六个面,12条棱.故选C.答案：C4.一个棱锥至少含有的面的个数为（）A.2B.3C.4D.6思路解析:本题考查棱锥的特征，棱锥至少是三棱锥,有三个侧面和一个底面,共4个面.故选C.答案：C5.请叙述一下立体几何中平面的基本特征.思路解析:立体几何中的平面具有其特有的性质,要结合概念加以理解.答案：立体几何中的平面是平的、无限延展的,没有大小和厚度,现实中所说的平面都是立体几何中平面的一部分,立体几何中的平面只能想象.在实际中通常用一个平行四边形来表示平面.我综合我发展6.如图1-1-1-4所示,画中的一朵花,有五片花瓣.下列叙述不正确的是（）图1-1-1-4A.花瓣由曲线组成B.图中组成花瓣的曲线相交于一点C.图中只有花柄是直线段组成的D.组成花瓣的曲线是无限延伸的思路解析:观察图中的花朵我们发现花瓣是由曲线组成的,而花柄是一条线段,这里所有的曲线也都是有一定长度的,而不是无限延伸的.故选D.答案：D7.下列说法正确的是（）A.生活中的几何体都是由平面组成的B.曲面都是有一定大小的C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的D.直线平移时不改变方向一定不可能形成曲面思路解析:组成几何体的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是无限延展的;直线和线段都是由无数个点组成的.故选D.答案：D8.把如图1-1-1-5的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是_____________.图1-1-1-5思路解析:图1-1-1-5由六个正方形组成,可以实际进行折叠试验得出结论是正方体.答案：正方体9.动手制作一个熟悉的几何体,观察它的每个面的特点.思路解析:(略)答案：(略)1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球自主广场我夯基我达标1.平行六面体的两个对角面都是矩形,且底面又是正方形,则此平行六面体一定是（）A.直平行六面体B.正四棱柱C.长方体D.正方体思路解析:根据两个对角面是矩形可知侧棱和底面垂直,所以首先是直四棱柱,再根据底面是正方形可知是正四棱柱.答案：B2.下列判断正确的是（）A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形思路解析:根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可.答案：C3.如图1-1-（2，3）-8,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都是2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是（） A.2 B.3 C.5 D.7 思路解析:取AC 的中点G ，连结EG ，FG ，则易得FG=2，EG=1，故EF=5.答案：C图1-1- (2,3)-8 图1-1- (2,3)-94.水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是______________.思路解析:5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R ，侧棱长为3R ，求得它的高为R ，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R.答案：3R5.如图1-1-（2，3）-10，圆锥底面半径是6,轴截面顶角是直角,过两条母线的截面SCB 截去底面圆周的61,求截面面积.图1-1-(2,3)-10思路分析:截面问题的图形一般较为复杂、难读,要正确识图,寻找各量之间的关系. 解：由题知,轴截面顶角∠ASB=90°,OA=6,图1-1- (2,3)-11 ∴SA=SB=SC=26.连结OB 、OC ，∵弧BC 的长为底面圆周长的61， ∴∠BOC=61×360°=60°.∴OB=OC=BC=6. ∴SD=73972=-.∴S △SCB =21×6×73=97. 6.如图1-1- (2,3)-12,圆锥和一个球面相交，球心在圆锥的顶点，球半径等于圆锥的高，若圆锥的侧面被球与圆锥的交线所平分，求圆锥的高与母线间夹角α的大小.图1-1-(2,3)-12思路分析:可以根据圆锥和球的对称性,画出对应的轴截面图,分析计算出圆的侧面和相交部分的关系.解：由题图知△VAB 是轴截面，设VB 交⊙V 于C ，作CD⊥VO 于D ，记VO=h,由已知∠AVO=α=∠BVO,∵VO=h=VBcos α,∴VB=αcos h . 又BO=htan α,CD=VCsin α=VOsin α=hsin α,根据题意，小圆锥侧面积是大圆锥侧面积的一半，可列出方程π·CD·VC=21π·BO·VB,即hsin α·h=21htan α·αcos h ,化简可得cos 2α=21,即cos α=±22. 根据实际情况,cos α=22,所以α=45°. 我综合我发展7.已知圆锥的母线长为l ，底面半径为R ，如果过圆锥顶点的截面面积的最大值是221l ，则（）A.l R ≤22B.l R =22C.l R ≥22D.l R <22 思路解析:因为221l =221l sin90°,所以圆锥轴截面顶角大于等于90°,据此求解即可. 答案：C8.长方体一个顶点上三条棱的长分别为a 、b 、c (a,b,c 两两不等)，一条对角线为AB ，长方体的表面上A 、B 两点间的最短路程为22)(c b a ++，则a 、b 、c 的大小关系是___________.思路解析:求在长方体表面上从A 到B 的最短路途，由于长方体的对称性，可从以下三种实现方式（如图1-1- (2,3)-13）中比较获得：图1-1- (2,3)-13(1)AB 1′=22)(c a b ++;(2)AB 2′=22)(c b a ++;(3)AB 3′=22)(b a c ++.由已知最短路程为第(2)种情况下获得：∴AB 1′>AB 2′且AB 3′>AB 2′.而AB 1′与AB 3′大小关系不定，∴可知a 、b 、c 的关系为2ac>2bc 且2ab>2bc ，2bc 与2ab 不定，即a>b 且a>c ，b 、c 关系不定.答案：a>b 且a>c,b 、c 关系不定9.如图1-1- (2,3)-14,过球O 的表面上一点A,引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD,且两两夹角都是2α.若球的半径为R,求弦AB 的长.图1-1-(2,3)-14思路分析:由于AB=AC=AD ，B 、C 、D 也在球面上，过B 、C 、D 可有一圆面.因为三弦两两夹角均为2α，故BC=CD=DB ，△BCD 为正三角形，A —BCD 形成一个正三棱锥，△BCD 的中心O 1也是底面BCD 所在圆的圆心，且OO 1⊥平面BCD.求AB 弦长，即为求三棱锥的侧棱长，从球转化到棱锥，即可找到解题办法.解：连结BC 、CD 、BD ，作球的直径AOE ，连结BE.设AE 与截面BCD 的交点为O 1，连结BO 1，则∠ABE=90°.⎭⎬⎫∠=∠=∠==BAD CAD BAC AD AC AB ⇒BC=CD=BD,图1-1-(2,3)-15从而可得O 1是正△BCD 的中心，AO⊥平面BCD.设AB=x ，AO 1=h,则BC=2xsin αBO 1=32×23×2xsin α=332x·sin α. 在Rt△AO 1B 中,∵AO 12=AB 2-O 1B 2,∴h 2=x 2-（332xsin α）2. 又由直角三角形射影定理，得x 2=2R·h→h 2=224R x ,∴224Rx =x 2-(332xsin α)2, x 2=34R 2(3-4sin 2α),x=332R α2sin 43-, 即弦AB 的长为332R α2sin 43-. 10.图1-1- (2,3)-16中的几何体是一棱长为4厘米的正方体,若在它的各个面的中心位置上各打一个直径为2厘米、深为1厘米的圆柱形的孔,求打孔后几何体的表面积是多少？(π=3.14)图1-1- (2,3)-16思路分析:因为正方体的棱长为4厘米,而孔深只有1厘米,所以正方体没有被打透.打孔后所得几何体的表面积等于原来正方体的表面积,再加上六个完全一样的圆柱的侧面积.这六个圆柱的高为1厘米,底面圆的半径为1厘米.解：正方体的表面积为16×6=96(平方厘米),一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28(平方厘米),几何体的表面积为96+6.28×6=133.68(平方厘米).所以几何体的表面积为133.68平方厘米.1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图自主广场我夯基我达标1．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一张四边形桌子旁边,桌上一张纸上写着数字“9”,甲说他看到的是“6”,乙说他看到的是“6”,丙说他看到的是“6”,丁说他看到的是“9”,则下列说法正确的是（）A.甲在丁的对面,乙在甲的左边,丙在丁的右边B.丙在乙的对面,丙的左边是甲,右边是乙C.甲在乙的对面,甲的右边是丙,左边是丁D.甲在丁的对面,乙在甲的右边,丙在丁的右边思路解析:可以从每个人观察的角度进行分析.答案：D2．有一个正方体,在它的各个面上分别标上字母A、B、C、D、E、F,甲、乙、丙三位同学从不同的方向去观察这个正方体,观察结果如图1-1-(4,5)-16所示.问这个正方体中F的对面是_____________,E的对面是_____________,D的对面是_____________.图1-1-(4,5)-16思路解析:此题解决问题的关键在于能够把空间正方体的表面展开成一个平面图形,这种化空间为平面的解题思想是立体几何的一种基本思想,还要有较强的空间想象能力.答案： C A B3画一个底面边长为5 cm,高为11.5 cm的正五棱锥的直观图,比例尺为1∶5.思路解析:画正五棱锥的直观图只需根据斜二测画法,选择恰当的坐标系画出正五边形的直观图,进而确定出正五棱锥的顶点即可.答案：画法:(1)画轴:画x′轴、y′轴、z′轴,记坐标原点为O′,使∠x′O′y′=45°,使∠x′O′z′=90°；(2)画底面:x′轴、y′轴画边长为1 cm的正五边形的直观图ABCDE，并使正五边形的中心对应点O′；(3)画高线:在z′轴上取O′S=55.11=2.3(cm)；(4)成图:顺次连结SA、SB、SC、SD、SE,并加以整理(去掉辅助线,并将被遮住的部分改为虚线),就得到正五棱锥的直观图.图1-1-(4,5)-174.要将一个正方体模型展开成平面图形,需要剪断多少条棱？你的结论可以作为一条规律来用吗？思路解析:正方体有6个面,所以展开后的平面图形只要5条棱相连就可以了.答案：需要剪断7条棱.因为正方体有6个面,12条棱,两个面有一条棱相连,展开后六个面就有5条棱相连,所以剪断7条棱.规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连,但是,有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图.我综合我发展5.由一些大小相同的小正方体组成简单几何体的主视图和俯视图如图1-1-(4,5)-18所示.(1)请你画出这个几何体的左视图；(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.图1-1-(4,5)-18思路解析:给出一个几何体的三视图，原几何体的形状不唯一确定,在本题中只知道主视图、俯视图,那么几何体可能有较多的情况.答案：现在在俯视图中，按主视图的图形填上符合条件的每个位置上小正方体的块数，共有如下15种可能：图1-1-(4,5)-19根据这15种情况可以画出左视图共有5种情况，同时也可以确定组成这个几何体所需要的小正方体块数.(1)左视图共有如下5种情况：图1-1-(4,5)-2013的左视图如图（2）所示；图图①,⑥, ○11的左视图如图（1）所示；图②,③,⑦,○12,○14的左视图如图（3）所示；图⑧的左视图如图（4）所示；图○15的左视图如图④,⑤,⑨,⑩,○（5）所示.(2)①中n=11；②中n=10；③中n=9；④中n=10；⑤中n=9；⑥中n=10；14中n=9；○15中⑦中n=9；⑧中n=8；⑨中n=9；⑩中n=8；○11中n=10；○12中n=9；○13中n=8；○n=8.所以n的值为8，9，10，11.6.图1-1-(4,5)-21(1)中的几何体是一个正方体,图1-1-(4,5)-21(2)是这个正方体的一个平面展开图,图1-1-(4,5)-21(a)、(b)、(c)也是这个正方体的平面展开图,但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来,请你给补上.1-1-(4,5)-21思路解析:根据几何体的特点和三视图的画法进行画图.答案：图(a)、(b)、(c)标有数字的空白面上的图案见下图中的(a)、(b)、(c).插入图片b42;S*2;X*2 图1-1-(4,5)-227欣赏世界各地著名建筑的图片,结合学过的知识讨论它们有哪些结构特征.图1-1-(4,5)-23思路解析:可以从不同角度,仔细观察图中图形的特点,把具体的建筑物进行抽象,总结出所具有的特点.答案：(1)—(8)分别是圆台,棱锥,长方体,棱柱,球体,圆柱,圆柱和圆锥,五棱柱.1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积自主广场我夯基我达标1．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A.163 B.169 C.83 D.329 思路解析:设球的半径为R,过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为R 23的圆,所以1634)23(2221==R R S S ππ. 答案：A2.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A.1∶3 B.1∶3 C.1∶33 D.1∶9思路解析:设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为21a ，它的外接球的半径为23a ，故所求的比为1∶33，选C.答案：C3.如图11-(6,7)-5，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是____________.图11-(6,7)-5思路解析:显然正六棱锥P —ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2.依题意可得正六棱锥P —ABCDEF 的高为2，以此可求得侧面积为76. 答案：764.如图11-(6,7)-6，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为___________.图11-(6,7)-6思路解析:利用等体积法，易知1233112711111===--C B A ABC ABC B V h V 正三棱柱，所以点B 1到平面ABC 1的距离为h=721. 答案：721 5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为__________________.思路解析:如图，在△OPA 中，因为PA=3,OA=22,所以正四棱锥的高h=22)22(3-=1,故正四棱锥的体积为V=31Sh=316.图11-(6,7)-7 答案：316 6.一块长方体木料,长、宽、高分别为8厘米、4厘米、6厘米,把它切削成一个体积最大的圆柱体,求这个圆柱体的体积是多少？(π取3.14)思路分析:根据此题提供的条件,削成圆柱体有三种情况,要按条件比较一下哪一种削法削成的圆柱体最大.解：(1)以长8厘米,宽4厘米的面为底,6厘米为高,圆柱的体积为V=π×(24)2×6=24π(立方厘米).(2)以长8厘米,宽6厘米的面为底,4厘米为高,圆柱的体积为V=π×(26)2×4=36π(立方厘米).(3)以长6厘米,宽4厘米的面为底,8厘米为高,圆柱的体积为V=π×(24)2×8=32π(立方厘米).通过比较,以长8厘米,宽6厘米的面为底,以4厘米为高,削出的圆柱体体积最大,V max =π×(26)2×4=36π=113.04(立方厘米). 7.在正四棱台内作一个内接棱锥，该棱锥以这个棱台的上底面正方形作底，以下底面正方形的中心作顶点.如果棱台上、下底面的边长分别为a 和b ，棱台和这个内接棱锥的侧面积相等，求这个内接棱锥的高，以及本题有解的限制条件.思路解析:可以根据侧面积相等建立方程,解方程或者根据方程判断解的情况即可得出结论.解：设内接棱锥的高为x,则棱锥的斜高h 1=22)2(a x +,棱台的斜高h 2=22)2(b a x -+.由棱台和内接棱锥的侧面积相等可得关于x 的方程21·4a·22)2(a x +=21·4(a+b)·22)2(b a x -+.解方程可得x=21b a b a b +-2)2(22. 答:这个内接棱锥的高为21ba b a b +-2)2(22.当a,b 满足0<a<b<2a 时,本题有解. 我综合我发展8.图11-(6,7)-8所示图形是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6厘米、高为20厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米？(π=3.14)图11-(6,7)-8思路分析:因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际上是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20厘米的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为31×π×(26)2×20=60π(立方厘米). 设水面下降的高度为x,则小圆柱的体积为π×(220)2×x=100πx(立方厘米). 所以有下列方程60π=100πx,解此方程得x=0.6(厘米).答:铅锤取出后,杯中水面下降了0.6厘米.9.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）思路分析:本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2,又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动,∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π.因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=m m ≈6.37(秒). 10.斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,底面是边长为a 的正三角形,侧棱长为b,AA 1与底面相邻两边AB 、AC 都成45°角,求棱柱的侧面积.思路分析:求几何体的侧面积可以计算每个侧面积,然后相加,也可以根据侧面展开图的特点计算展开图的面积.另外,棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)的面积与侧棱的乘积也是棱柱的侧面积.图11-(6,7)-9解法一:如图，作A 1O⊥面ABC 于O,∵AA 1与AB 、AC 都成45°角,∴AO 是∠BAC 的平分线.又△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC.由三垂线定理知AA 1⊥BC,又AA 1∥BB 1∥CC 1,图11-(6,7)-10∴四边形BB 1C 1C 为矩形.S 侧=2absin45°+ab=(2+1)ab.解法二:如图,作BM⊥AA 1于M ，连结CM,可证得△BMA≌△CMA.∴CM⊥AA 1,△BMC 是棱柱的直截面.∵∠MAB=∠MAC=45°, ∴CM=BM=22a, C 直截面=22a+22a+a=(2+1)a. ∴S 侧=(2+1)ab.11.如图1-1-(6,7)-11，ABCD —A′B′C′D′是一个无底无盖的纸皮箱，AB=a ，BC=b ，BB′=c,且a>b>c,如果一只蚂蚁从A 点出发爬行到点C′,那么它走过的最短路程是多少？图11-(6,7)-11思路分析:解决多面体表面两点的最短距离问题，通常要把多面体表面展开，从而转化为求平面两点间的距离问题，在展开表面时，要注意考虑是否可以有多种展开方式.本题中由于长方体的三条棱长不相等，所以有三种展开方式，把这三种情况的最后结果求出来，再比较他们的大小，就可得出最小值.解：将长方体表面沿棱展开，由于长方体的三条棱长不一样，因此展开有三种可能，如下图三个图形（1）、（2）、（3）中AC′的长分别为：图11-(6,7)-12 ab c b a c b a 2)(22222+++=++;bc c b a c b a 2)(22222+++=++;ac c b a b c a 2)(22222+++=++.∵a>b>c>0,∴ab>ac>bc>0. ∴最短路线的长为bc c b a c b a 2)(22222+++=++.∴蚂蚁从A 点出发爬行到点C′走过的最短路程为bc c b a 2222+++.1.2.1 平面的基本性质与推论自主广场我夯基我达标1.下列图形中,满足α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∥AB的图形(图1-2-1-14)是( )图1-2-1-14思路解析:可以根据图形的特点及直线与平面平行的性质进行判断,也可以使用反证法进行证明.答案：C2.若点B在直线b上,b在平面β内,则B、b、β之间的关系可以记作( )A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β思路解析:关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系,直线与平面是集合与集合之间的关系.答案：B3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈α,N∈b且M∈l,N∈l,那么( )A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N思路解析:因为M∈α,N∈b,a,b⊂β,所以M,N∈α,而MN确定平面l,根据公理1可知l⊂α.故选A.答案：A4.已知一条直线和这条直线外不在同一直线上的三点，讨论可以确定平面的个数.思路分析:解决问题要围绕条件，关键是分清点与直线的各种位置关系，进行分类讨论.公理3及其推论是高考考查的重点知识，一般是与排列组合知识综合在一起考查.要注意分类讨论思想的应用.解：设直线l及l外不共线的三点A、B、C.由公理3知A、B、C可以确定一个平面α，若l在α内，这时只能确定一个平面.若l不在α内,(1)若A、B、C中有两点与l共面，这时可以确定三个平面.(2)若A、B、C中无任何两点与l共面，这时可以确定四个平面.综上所述，一直线与这条直线外不共线的三点，确定平面的个数可以是1个、3个或4个.5.如图1-2-1-15，直线a∥b∥c，直线l分别交a、b、c于点A、B、C,求证：四条直线a、b、c、l共面.图1-2-1-15思路分析:证明共面问题的主要依据是公理3及其推论，由此入手进行思维，发掘解题方法.证明共面的方法有：(1)先根据公理3及其推论确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内；(2)过有关的点、线分别确定一个平面，然后再证明这些平面重合；(3)反证法.证法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面a.∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵C∈l，∴C∈α.∴a与C同在d内.又∵a∥c，∴直线a、c确定一个平面β.∵点C∈c，c⊂β，则点C∈β，即平面β也是直线a和点C确定的平面.∴平面α和平面β重合，因此c⊂α.∴a、b、c、l共面.证法二：由证法一得a、b、l共面α，即b在a、l确定的平面内.同理,可证c在a、l确定的平面内.∵过a与l只能确定一个平面，∴a、b、c、l共面于a、l确定的平面.我综合我发展6.如图1-2-1-16，已知E、F与G分别为正方体ABCD—A1B1C1D1棱AB、B1C1与DA的中点，试过E、F、G三点作正方体ABCD—A1B1C1D1的截面.图1-2-1-16思路解析:公理2是确定截面的理论依据，同时本题中也蕴含了点共线的证明方法，通常证明两个点都在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内,即也在交线上.解决过点的截面问题关键在于能依据公理2及公理3确定截面与几何体的交线.图1-2-1-17作法:(1)连结GE并延长交CB延长线于M，交CD延长线于N，连结MF，交棱B1B于点H，连结HE.(2)延长EH交A1B1的延长线于点R.连结FR，FR交D1C1于Q.(3)连结QN交D1D于点K，连结KG.六边形KGEHFQ就是所要作的截面.7.有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，图1-2-1-18是从3种不同的角度看同一粒骰子的情形.请问H反面的字母是什么？图1-2-1-18思路分析:此题中解决问题的关键点在于能够把空间正方体的表面展开成一个平面图形，这种化空间为平面的解题思想是立体几何解题的一种基本思想.同时在学习立体几何时，可以借助实物模型培养自己的空间想象能力.解：H的反面是S，原正方体表面字母的排列如图.图1-2-1-19代数解法:由①设S的对面X，H的对面Y，E的对面Z.见题图.若X、Y、Z中没有S，则由①②知S的相邻4个面分别为H、E、O、P，但由②③知S相邻的面中有两个不同的P,与已知矛盾.∴X、Y、Z中还有一个S,即六个面是E、H、S、O、P、S的某种排列,与P相邻的面有S、O、H、S.∴P与E相对，即Z=P.又由②③中P的倒置知,②到③的变化中有一个翻转过程，故H的反面为S.8.已知三个平面两两相交，有三条交线,求证:若这三条交线不平行，则它们交于一点.思路分析:证明三线共点的基本思路是先证其中两条直线有交点，再证该交点在第三条直线上.对于证空间中多线共点，平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用，只是在思考中应考虑空间图形的特点.答案：已知：如图,设三个平面为α、β、γ，且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a.且a、b、c不平行.图1-2-1-20求证：a、b、c三线交于一点.证明:α∩β=c，α∩γ=b，∴b⊂α，c⊂α.∵b、c不相互平行，∴b、c交于一点.设b∩c=P，∵P∈c，c⊂β，∴P∈β.同理,P∈γ.∵β∩γ=a，∴P∈a.故a、b、c交于一点P.9.如图1-2-1-21,点A∉平面BCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，若EH与FG 交于P(这样的四边形ABCD就叫做空间四边形).求证：P在直线BD上.图1-2-1-21思路分析:证明点在直线上及三点共线都可以使用公理2进行,即说明点P在某两个平面的交线上即可.证明：∵EH∩FG=P，∴P∈EH，P∈FG，∵E、H分别属于直线AB、AD，∴EH 平面ABD.∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.又∵平面ABD∩平面CBD=BD，∴P在直线BD上.1.2.2 空间中的平行关系自主广场我夯基我达标1.下列命题中正确命题的个数为( )①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 ②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面A.0B.1C.2D.3思路解析:对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线其位置关系除了平行之外，还有异面，如图.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，A 1B 1∥平面ABCD ，A 1B 1与BC 的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A 1B 1与BC 所成的角为90°，因此命题①是错误的.对于③，如图，图1-2-2-3∵A 1B 1∥AB，A 1D 1∥AD 且AD 、AB ⊂平面ABCD ，A 1D 1、A 1B 1⊄平面ABCD ，∴A 1B 1∥平面ABCD ，A 1D 1∥平面ABCD ，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条，可以想象，经过面A 1B 1C 1D 1内一点A 1的任一条直线，与平面ABCD 的位置关系都是平行的.因此,命题③也是错误的.对于④，我们可以继续借助正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1来举反例,如图，取AD 、BC 的中点分别为E 、F ，A 1D 1、B 1C 1的中点为G 、H ，连结EFGH ，图1-2-2-4∵E、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、A 1D 1、B 1C 1的中点，∴可以证明EFHG 为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A 、D 两个点到该截面的距离相等，但AD∩平面EFHG=E,因此命题④也是错误的.对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交.可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直.∴正确命题的个数只有一个.答案：B2.平面α∥平面β，A 、C∈α,B 、D∈β，点E 、F 分别在线段AB 、CD 上，且FDCF EB AE =.求证：EF∥β.思路分析:构造过EF 的平面平行于β，利用面面平行的性质，因题设中四点A 、B 、D 、C 没有说明是否共面，所以需要分类讨论，以免解答不完整.图1-2-2-5证明：（1）当AB 、CD 异面时，过A 作AH∥CD 交β于H ，则四边形AHCD 为平行四边形，在平面AHDC 内作FG∥AC 交AH 于G ，连结EG ，则GHAG FG CF =, 又EB AE FD CF =，∴GHAG EB AE =. ∴EG∥β.又EG ⊄β,BH ⊂β, ∴EG∥β.又FG∥AC∥HD，FG ⊄β,DH ⊂β，∴FG∥β.又EG∩FG=G.∴平面EFG∥平面β.又EF ⊂平面EFG ，∴EF∥β.（2）当AB 、CD 共面时，∵α∥β,∴AC∥BD.∴四边形ABCD 为平行四边形或梯形. 由于FDCF EB AE =,得到EF∥BD，BD ⊂β，EF ⊄β， ∴EF∥β.3.如图1-2-2-6，a∥α，A 是α另一侧的点，B 、C 、D∈a，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.图1-2-2-6思路分析:首先根据平行证明三角形相似,再利用相似比求值.解：A ∉a ，∴A、a 确定一个平面，设为b.∵B∈a，∴B∈b，又A∈b，∴AB ⊂b.同理,AC ⊂b ，AD ⊂b.∵点A 与直线a 在α的异侧,∴b 与α相交.∴面ABD 与面α相交，交线为EG.∵BD∥α，BD ⊂面BAD ，面BAD∩α=EG.∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD. ∴ACAF BD EG =(相似三角形对应线段成比例).。

(人教版B版2017课标)高中数学必修第二册全册综合测试卷二(附答案)

（人教版B 版2017课标）高中数学必修第二册全册综合测试卷二（附答案）第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()3x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()3log y f x =的定义域为（） A .[1,1]-B .1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[1,2]D .2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A .1-B .0C .1D .2 3.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（） A .(1,3)-B .(,3)-∞C .(,1)-∞D .(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()2a f =，121log 4b f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2log c f ⎛= ⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .b a ＞＞cD .c a b ＞＞5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨⎩＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（）A .(0,1)B .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D .11,93⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知,(1,)m n ∈+∞，且m n ＞，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m nf x x =的图像为（）ABCD7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ∈R 上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+∞上单调递减；④函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。

其中正确命题的个数是（） A .1B .2C .3D .48.设函数()2ln 1y x x =-+，则下列命题中不正确的是（） A .函数的定义域为RB .函数是增函数C .函数的图像关于直线12x =对称D .函数的值域是3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温()y ℃与时间(min)t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度()y ℃与时间(min)t 近似满足函数关系式101802t ay b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（,a b 为常数）.通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（）A .35minB .30minC .25minD .20min10.已知函数22log ,02,()43,2,x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+-⎪⎩＜≤＞若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A .[2,3]B .(2,3)C .[2,3)D .(2,3]二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 11.给出下列结论，其中正确的结论是（） A .函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B .已知函数log (2)a y ax =-（0a ＞且1a ≠）在(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)C .在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图像关于直线y x =对称D .已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞内有1 010个零点，则函数()f x 的零点个数为2 02112.定义“正对数”：0,01,ln ln , 1.x x x x +⎧=⎨⎩＜＜≥若0a ＞，0b ＞，则下列结论中正确的是（）A .()ln ln b a b a ++=B .ln ()ln ln ab a b +++=+C .ln ()ln ln a b a b +++++≥D .ln ()ln ln ln 2a b a b ++++++≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，且当0x ＞时，()e 1x f x =+，则(ln2)f -的值为________.14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5 300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________年.（参考数据：lg1.080.03≈，lg5.30.72≈，lg70.85≈）15.已知函数()log (1)a f x x =-+（0a ＞且1a ≠）在[2,0]-上的值域是[1,0]-.若函数()3x m g x a +=-的图像不经过第一象限，则m 的取值范围为________.16.若不等式()21212xxm m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（1()231251log 227-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）计算：1324lg 2493-18.（12分）已知幂函数()221()1m f x m m x --=--⋅在(0,)+∞上单调递增，函数()22x x m g x =+. （1）求实数m 的值，并简要说明函数()g x 的单调性；（2）若不等式(13)(1)0g t g t -++≥恒成立，求实数t 的取值范围.19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为(01)x x ＜＜. （1）设n 年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的a 倍，请用a ，n 表示x ；（2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%？（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）20.（12分）已知函数2()lg 2lg(10)3f x x a x =-+，1,10100x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()y f x =的最小值记为()m a ，求()m a 的最大值.21.（12分）已知函数()log a f x x b =+（其中,a b 均为常数，0a ＞且1a ≠）的图像经过点()2,5与点()8,7.（1）求,a b 的值；（2）设函数2()x x g x b a +=-，若对任意的1[1,4]x ∈，存在[]220,log 5x ∈，使得()()12f x g x m =+成立，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()4()log 41()x f x kx k =++∈R 是偶函数. （1）求k 的值；（2）设44()log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围；（3）若函数[]1()22()421,0,log 3f x xx h x m x +=+⋅-∈，是否存在实数()h x 使得最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.第四章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由[1,1]x ∈-，得13,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ∈.2.【答案】C1()2)2f x x =-+，11()()2)2)2)2)122f x f x x x x x ∴+-=+++=++22lg(144)1lg111x x =+-+=+=，1(lg 2)lg (lg 2)(lg 2)12f f f f ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭.3.【答案】A 【解析】函数2()log f x x =在定义域内单调递增，2(4)log 42f ==，∴不等式(1)2f a +＜等价于014a +＜＜，解得13a -＜＜，故选A .4.【答案】C【解析】2||2||()()e e ()x x f x x x f x --=-+=+=知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞为增函数，()02(1)a f f ==，121log (2)4b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，211log 22f f f c ⎛⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎭⎝⎝⎭=⎝⎭，所以1(2)(1)2f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＞＞，即b a c ＞＞.5.【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -⎧⎪-+⎨⎪⎩＜≥＜＜解得1173a ≤＜，故选B .6.【答案】A【解析】由题意，得26log log 2log 6log 13m m n n n m n m +=+=，令log (1)m t n t =<，则6213t t +=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =21m n=，所以2()mn f x x =的图像即为()f x x =的图像，故选A .7.【答案】C【解析】由e e ()()2x x f x f x -+-==，知e 2e x xy -+=为偶函数，因此①正确；由11e e 221111e e e x x x x x y -+-===-+++知1e e 1x x y -=+在R 上单调递增，因此②正确；当0x ＞时，lg lg y x x ==，它在(0,)+∞上是增函数，因此③错误；由313log log y x x =-=知13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-的图像关于直线y x =对称，因此④正确，故选C .8.【答案】B【解析】A 中命题正确，22131024x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭＞恒成立，∴函数的定义域为R ；B 中命题错误，函数()2ln 1y x x =-+在12x ＞时是增函数，在12x ＜时是减函数；C 中命题正确，函数的图像关于直线12x =对称：D 中命题正确，由221331244x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥可得()23ln 1ln 4y x x =-+≥，∴函数的值域为3ln ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选B .9.【答案】C【解析】由题图知，当05t ≤＜时，函数图像是一条线段，当5t ≥时，因为函数的解析式为101802t a y b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将(5,100)和(15,60)代入解析式，得5101510110080,216080,2aa b b --⎧⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得5,20,a b =⎧⎨=⎩故函数的解析式为51018020,52t y t -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥.令40y =，解得25t =，所以最少需要的时间为25min . 10.B 根据已知画出函数()f x 的草图如下。

(人教版B版2017课标)高中数学必修第二册全册综合测试卷二(附答案)

新教材人教B版高中数学选择性必修第二册课时练习-模块综合测评

模块综合测评(一)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．510种B．105种C．50种D．3 024种A[每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.]2．(1－x)6展开式中，x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0 D．－64B[(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.]3．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x/万元8.28.610.011.311.9支出y/万元 6.27.58.08.59.8根据上表可得线性回归方程y＝b x＋a，其中b＝0.76，a＝y－b^x－.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元B[由题意可得x－＝15×(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，y－＝15×(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，∴a^＝8－0.76×10＝0.4，∴线性回归方程为y^＝0.76x＋0.4，把x＝15代入，可得y^＝0.76×15＋0.4＝11.8.故选B.]4．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10D ．2－8C [E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3·2－10.] 5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为( )A.2235B.1235C.135D.3435A [设随机变量X 表示取出次品的件数，则P (X ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235.]6．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13B.25C.56D.34A [设所求概率为p ，则1－(1－p )4＝6581，得p ＝13.] 7．用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( ) A ．48个 B ．64个 C ．72个D ．90个C [满足条件的五位偶数有A 13·A 44＝72.故选C.] 8．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2A [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列有关样本线性相关系数r 的说法，正确的是( ) A ．相关系数r 可用来衡量x 与y 之间的线性相关程度 B ．|r |≤1，且|r |越接近0，相关程度越小 C ．|r |≤1，且|r |越接近1，相关程度越大 D ．|r |≤1，且|r |越接近1，相关程度越小ABC [相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，选ABC.]10．已知X 的分布列为则下列说法正确的有( A ．P (X ＝0)＝13 B ．E (X )＝－13 C ．D (X )＝2327D ．P (X ＞－1)＝12 ABD [由分布列的性质可知12＋a ＋16＝1，即a ＝13. ∴P (X ＝0)＝13，故A 正确；E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故B 正确；D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故C 错误；P (X ＞－1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝12，故D 正确．故选ABD.] 11.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8展开式中系数最大的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项BC [⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 8·x 4－34r ，其展开式的各项系数依次为1,4,7,7，358，74，716，116，1256，所以，展开式中系数最大的项是第3项和第4项．故选BC.]12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有( )附表：附：χ2＝n (ad (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )A ．25人B ．45人C ．60人D ．75人BC [设男生的人数为5n (n ∈N *)，根据题意列出2×2列联表如下表所示：则χ2＝10n ×(4n 5n ×5n ×7n ×3n＝10n21，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则3.841≤χ2＜6.635，即3.841≤10n21＜6.635，得8.0661≤n ＜13.9335，又∵n ∈N *，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选BC.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若A3m＝6C4m，则m的值为________．7[由A3m＝6C4m得m！(m－3)！＝6·m！4！(m－4)！，即1m－3＝14，解得m＝7.]14．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，则a＝________，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为______万元．(本题第一空2分，第二空3分)9.165.5[样本中心点是(3.5,42)，则a^＝y－b^x－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是y^＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y＝65.5.]15．2019年4月25日～27日，在北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为________．198[分两种情况讨论．①若选两个国内媒体一个国外媒体，有C26C13A22＝90种不同提问方式；②若选两个国外媒体一个国内媒体，有C16C23A33＝108种不同提问方式．所以共有90＋108＝198种提问方式．]16．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量ξ服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(ξ<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是100；④随机变量ξ服从N(μ，σ2)，P(ξ<1)＝12，P(ξ>2)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题序号)①②④[画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如图．由图可得：①图像关于x＝μ对称，故①正确；②随着x 的增加，F (x )＝P (ξ＜x )也随着增加，故②正确；③如果随机变量ξ服从N (108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；④由图像的对称性，可得④正确．故填①②④.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等．(1)求n ；(2)求展开式中x 的一次项的系数．[解] (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8n ，解得n ＝11.(2)由(1)知，展开式的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 11(x )11－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r＝(－2)r C r 11x 11－3r 2.令11－3r2＝1，得r ＝3.此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ，所以展开式中x 的一次项的系数为－1 320.18．(本小题满分12分)在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为X，求X的分布列．[解](1)若胜一场，则其余为平，共有C14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C24C12＋C24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝431，P(X＝2)＝1831，P(X＝3)＝831，P(X＝4)＝1 31，所以X的分布列为19.(本小题满分12分)有1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1,2,3)台车床加工的概率．[解]设B＝“任取一个零件为次品”，A i＝“零件为第i台车床加工”(i＝1,2,3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.(1)由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1,2,3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件A i发生的概率．P(A1|B)＝P(A1B)P(B)＝P(A1)P(B|A1)P(B)＝0.25×0.06 0.0 526＝27.类似地，可得P (A 2|B )＝27，P (A 3|B )＝37.20．(本小题满分12分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解] (1)设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得(1－P (B ))2＝(1－p )2＝116，解得p ＝34或p ＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34. (2)由题设和(1)知P (A )＝12，P (a －)＝12， P (B )＝34，P (b －)＝14. ξ可能的取值为0,1,2,3，故P (ξ＝0)＝P (a －)P (b －·b －)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝132，P (ξ＝1)＝P (A )P (b －·b －)＋C 12P (B )P (b －)·P (a －) ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×34×14×12＝732，P (ξ＝3)＝P (A )P (B ·B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝932，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝1532. ξ的分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝0×132＋1×732＋2×1532＋3×932＝2.21．(本小题满分12分)为了解A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u 0；(精确到个位)(2)研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布X ～N (μ，σ2)(u ＝u 0，σ约为19.3)．①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？(精确到个位)②已知A 市理科考生约有10 000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？(说明：P (x ＞x 1)＝1－Φ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－u σ表示x ＞x 1的概率，Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－u σ用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X ～N (0,1)，从而利用标准正态分布表Φ(x 0)，求x ＞x 1时的概率P (x ＞x 1)，这里x 0＝x 1－uσ.相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率，即Φ(x 0)＝P (x ＜x 0)．参考数据：Φ(0.704 5)＝0.54，Φ(0.677 2)＝0.46，Φ(0.21)＝0.583 2)．[解] (1)该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u 0＝65×0.05＋75×0.08＋85×0.12＋95×0.15＋105×0.24＋115×0.18＋125×0.1＋135×0.05＋145×0.03＝103.2≈103.(2)①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x 1，根据题意，P (x ＞x 1)＝1－Φ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－u 0σ＝1－Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－10319.3＝0.46，即Φ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－10319.3＝0.54. 由Φ(0.705 4)＝0.54得，x1－10319.3＝0.705 4⇒x1≈116.6≈117，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．②P(x＞107)＝1－Φ⎝⎛⎭⎪⎫107－10319.3＝1－Φ(0.207 3)≈1－0.583 2＝0.416 8，所以，理科数学成绩为107分，大约排在10 000×0.416 8＝416 8名．22．(本小题满分12分)一种室内植物的株高y(单位：cm)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，现收集了该种植物的13组观测数据，得到如图所示的散点图：现根据散点图利用y＝a＋b x或y＝c＋dx建立y关于x的回归方程，令w＝x，t＝1x，得到如下数据：x－y－w－t－10.15109.94 3.040.16∑13i＝1w i y i－13w－y－∑13i＝1t i y i－13t－y－∑13i＝1w2i－13w－2∑13i＝1t2i－13t－2∑13i＝1y2i－13y－213.94－2.111.670.2121.22i i i i1219.(1)用相关系数说明哪种模型建立y关于x的回归方程更合适；(2)(ⅰ)根据(1)的结果及表中数据，求y关于x的回归方程；(ⅱ)已知这种植物的利润z(单位：千元)与x，y的关系为z＝10y－x，当x何值时，利润的预报值最大．附：对于样本(u i，v i)(i＝1,2，…，n)，其回归直线v^＝b^u＋a^的斜率和截距的最- 11 - 小二乘估计公式分别为：b ^＝∑n i ＝1 (u i －u －)(v i －v －)∑n i ＝1 (u i －u －)2＝∑n i ＝1u i v i －n u －v －∑n i ＝1u 2i －n u －2，a ^＝v －－b ^u －，相关系数r ＝∑n i ＝1u i v i －n u －v －∑n i ＝1u 2i －n u －2∑n i ＝1v 2i －n v －2，4.456 2≈2.11.[解] (1)由相关系数公式可得r 2＝∑13i ＝1t i y i －13t －y －∑13i ＝1t 2i －13t －2∑13i ＝1y 2i －13y －2＝－2.10.21×21.22＝－ 2.14.456 2≈－2.12.11≈－0.9953，∵|r 1|＜|r 2|＜1，所以用y ＝c ＋d x 模型建立y 与x 的回归方程更合适．(2)(ⅰ)由题意可得d ^＝∑13i ＝1t i y i －13t －y －∑13i ＝1t 2i －13t －2＝－2.10.21＝－10， c ^＝y －－d ^t －＝109.94－(－10)×0.16＝111.54，因此，y 关于x 的回归方程为y ^＝111.54－10x .(ⅱ)由题意知z ＝10y －x ＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫111.54－10x －x ＝1 115.4－⎝ ⎛⎭⎪⎫100x ＋x ，由基本不等式可得100x ＋x ≥2100x ·x ＝20，所以z ≤1 115.4－20＝1 095.4，当且仅当x ＝10时等号成立，所以当温度为10 ℃时，这种植物的利润z 的预报值最大．。

新教材人教B版高中数学必修第二册全册学案(知识点汇总及配套习题、含答案)

人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数................................................................................ - 2 -4.1指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -4.1.1实数指数幂及其运算.................................................................................. - 2 -4.1.2指数函数的性质与图像.............................................................................. - 7 -第1课时指数函数的性质与图像.............................................................. - 7 -第2课时指数函数的性质与图像的应用................................................ - 13 -4.2对数与对数函数................................................................................................... - 19 -4.2.1对数运算 ................................................................................................... - 19 -4.2.2对数运算法则........................................................................................ - 23 -4.2.3对数函数的性质与图像............................................................................ - 28 -第1课时对数函数的性质与图像............................................................ - 28 -第2课时对数函数的性质与图像的应用................................................ - 33 -4.3指数函数与对数函数的关系............................................................................... - 39 -4.4幂函数 .................................................................................................................. - 44 -4.5增长速度的比较................................................................................................... - 49 -4.6函数的应用(二) .................................................................................................... - 54 - 第五章统计与概率.............................................................................................................. - 59 -5.1统计 ...................................................................................................................... - 59 -5.1.1数据的收集................................................................................................ - 59 -第1课时总体与样本、简单随机抽样.................................................... - 59 -第2课时分层抽样.................................................................................... - 65 -5.1.2数据的数字特征........................................................................................ - 70 -5.1.3数据的直观表示........................................................................................ - 78 -5.1.4用样本估计总体........................................................................................ - 86 -5.3概率 ...................................................................................................................... - 92 -5.3.1样本空间与事件........................................................................................ - 92 -5.3.2事件之间的关系与运算............................................................................ - 96 -5.3.3古典概型 ................................................................................................. - 102 -5.3.4频率与概率.............................................................................................. - 107 -5.3.5随机事件的独立性.................................................................................. - 110 -5.4统计与概率的应用............................................................................................. - 116 - 第六章平面向量初步........................................................................................................ - 121 -6.1平面向量及其线性运算..................................................................................... - 121 -6.1.1向量的概念.............................................................................................. - 121 -6.1.2向量的加法.............................................................................................. - 126 -6.1.3向量的减法.............................................................................................. - 132 -6.1.4数乘向量 ................................................................................................. - 137 -6.1.5向量的线性运算...................................................................................... - 141 -6.2向量基本定理与向量的坐标............................................................................. - 146 -6.2.1向量基本定理.......................................................................................... - 146 -6.2.2直线上向量的坐标及其运算.................................................................. - 151 -6.2.3平面向量的坐标及其运算...................................................................... - 154 -6.3平面向量线性运算的应用................................................................................. - 161 - 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__±n a__0不存在思考：对于式子n a中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当na 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R ．分数指数幂的意义知识点正分数指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的mn有什么规定？提示：mn 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__．思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？提示：x ∈R ．知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．对点训练1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__； (2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x －2)6＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6(x －2)6＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15；a 34；a －23； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a 2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解． [解析] (1)a 15＝5a ；a 34＝4a 3；a －23＝1a 23＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：x 35；x －13； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35＝5x 3；x －13＝13x． (2)①b 3a 2·a 2b6＝b 3a 2·a b 3＝a －12． ②a－4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13 ＝a－4b 2a 13 b 23 ＝a－113b 83＝a－116b 43．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12 ·⎝⎛⎭⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)； (2)0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75； (3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ． (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33＝32＋3×(33)－33＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12]12＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14]＋2 ＝(2)14＋2＝2＋218．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练 3．化简与求值(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)－12 ·(a －12 )13． [解析] (1)原式＝(－1) －23⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32·a －23 )13·[(a －5)－12·(a －12)13] 12＝(a 0) 13·(a 52·a －23)12＝(a －4) 12＝a －2．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a )14．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像． 3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1．思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义． ②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质知识点0＜a ＜1a ＞1图像定义域实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)? (2)对于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，在下表中，？处y 的范围是什么？底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a 0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__． (2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __．[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1，即(a －2)(a －1)＝0，解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．对点训练1．(1)函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( D ) A ．8 B ．32C ．4D ．2(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)＝__64__． [解析] (1)因为f (x )＝(2a －3)a x 为指数函数，所以2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，因为函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，所以 14＝a －2，所以a ＝2，所以指数函数的解析式为y ＝2x ，所以f (4)·f (2)＝24×22＝26＝64．题型指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像( A ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1；当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ． (2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12 x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是( D )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ．b ＜a ＜1＜c ＜dD ．b ＜a ＜1＜d ＜c(2)若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B ) A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析] (1)过点(1,0)作直线x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d ＜c ，b ＜a ＜1，故b ＜a ＜1＜d ＜C ．(2)y ＝a x (a ＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图像经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B ．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．对点训练3．(1)已知集合A ＝{x |y ＝21x -4}，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝____________；(2)求函数y ＝312x -4的定义域和值域．[解析] (1)要使y ＝21x -4有意义需x －4≠0，则x ≠4，即A ＝{x |x ≠4，x ∈R }，所以A ∩B ＝{0,2}．(2)要使函数y ＝312x -4有意义，只需2x －4＞0，解得x ＞2；令t ＝12x -4，则t ＞0，由于函数y ＝3t在t ∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y ＝312x -4的定义域为{x |x ＞2}，值域为{y |y ＞1}．误区警示：此题易忽略2x －4≠0，而误认为2x －4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝b x(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c 与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y ＝0.8x ，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得 1．70.3＞1.70＝1， 0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23) 16 ＝816，33＝313 ＝(32) 16 ＝916 而8＜9.∴816 ＜916，即2＜33，又2＝212＝(25) 110 ＝32110，55＝515＝(52) 110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．[解析] (1)∵y ＝0.3x 为减函数，又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1．(2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 [解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞；又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__⎝⎛⎦⎤－∞，32__． [解析] 令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1，因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )，即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数m 的取值范围是__m ≥－5__．[解析] (1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2． (2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]，则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]，若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)≥f (x 1)，则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34，所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34．因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__． (3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？ (2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ． (2)log a a b ＝B ．知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A ) A ．log a b ＝2 020 B ．log b a ＝2 020 C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．对点训练1．(1)如果a 5＝b (a ＞0且a ≠1，b ＞0)，则( A ) A ．log a b ＝5 B ．log a 5＝b C ．log 5a ＝bD ．log 5b ＝a(2)若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( B ) A ．[2，＋∞) B ．(2,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] (1)如果a 5＝b (a ＞0，且a ≠1，b ＞0)则化为对数式为log a b ＝5．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧t －2＞0t －2≠1，解得t ＞2且t ≠3．所以t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞) 题型利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381； (2)log 4116；(3)log 128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4． (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝⎛⎭⎫12－3＝8，所以log 128＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1．角度2 两个特殊对数值的应用典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C ) A ．36 B ．39C ．24D ．23(2)log 3127＝__－3__；log 5 625＝__4__．[解析] (1)因为log 5[log 3(log 2x )]＝0，所以log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24． (2)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3；因为54＝625，所以log 5 625＝4．题型对数恒等式的应用典例剖析典例4 计算： (1)71－log 75； (2)412(log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3，即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则素养目标·定方向2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 (1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __． (2)商的对数：__log a MN ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点换底公式若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，则有__log a b ＝log c blog c a __．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM ．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1 计算：(1)log a 2＋log a 12(a ＞0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25； (4)2log 525＋3log 264； (5)log 2(log 216)； (6)62log 63－20log 71＋log 4116． [解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0．(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7．规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对点训练1．计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值． [解析] log 535＋2log 22－log 5150－log 514＝log 535＋2×12＋log 550－log 514＝log 535×5014＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ． (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a 、b 表示lg 108，lg 1825．[解析] lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a ＋3B ．lg 1825＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg 10222＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a ＋2b －2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值； (2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a．(2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．对点训练3．(1)若3a ＝7b ＝21，求1a ＋1b的值；(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] (1)∵3a ＝7b ＝21， ∴a ＝log 321，b ＝log 721， ∴1a ＋1b ＝1log 321＋1log 721 ＝1lg 21lg 3＋1lg 21lg 7＝lg 3＋lg 7lg 21＝lg 2112lg 21＝2．(2)∵4a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 4m ，b ＝log 5m ，又1a ＋2b ＝1，∴1log 4m ＋2log 5m ＝1，即log m 4＋2log m 5＝1， ∴log m 100＝1，∴m ＝100．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4， ∴log2xy＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1 图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝log a(2x) B．y＝lg 10x。

(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总

（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

人教b版高中数学必修2同步练习题及答案全册汇编

人B版高中数学必修2同步习题目录第1章1.1.1同步练习第1章1.1.2同步练习第1章1.1.3同步练习第1章1.1.4同步练习第1章1.1.5同步练习第1章1.1.6同步练习第1章1.1.7同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2第一课时同步练习第1章1.2.2第二课时同步练习第1章1.2.3第一课时同步练习第1章1.2.3第二课时同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.2.3第一课时同步练习第2章2.2.3第二课时同步练习第2章2.2.4同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章2.3.3同步练习第2章2.3.4同步练习第2章2.4.1同步练习第2章2.4.2同步练习第2章章末综合检测人教B版必修2同步练习1．关于平面，下列说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小的C．平面是无限延展的D．长方体的一个面是平面答案：C2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.被平面遮住的部分应画虚线，故(1)(4)正确．3．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于()A．45°B．60°C．90°D．120°答案：B4．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．答案：点动成线5．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．答案：23或41．下列不属于构成几何体的基本元素的是()A．点B．线段C．曲面D．多边形(不含内部的点)解析：选D.点、线、面是构成几何体的基本元素．2. 如图是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与B相对的是()A．字母E B．字母CC．字母A D．字母D解析：选B.正方体展开图有很多种，可以通过实物观察，选一个面作为底面，通过空间想象操作完成．不妨选字母D所在的面为底面，可以得到A，F是相对的面，E与D相对；若选F做底面，则仍然得到A，F是相对的面，E与D相对，则与B相对的是字母C.3．如图，下列四个平面图形，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是()解析：选C.借助模型进行还原．4．下列命题正确的是()A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面解析：选C.直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；当两直线平行时旋转形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确，只有C正确．故选C.5．下列几何图形中，可能不是平面图形的是()A．梯形B．菱形C．平行四边形D．四边形解析：选D.四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．6．下面空间图形的画法中错误的是()解析：选D.被遮住的地方应该画成虚线或不画，故D图错误．7．在以下图形中，正方体ABCD－A1B1C1D1不可以由四边形________(填序号)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1.解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCD－A1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方体ABCD－A1B1C1D1.答案：④8. 把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．解析：图中由六个正方形组成，可以动手折叠试验，得到正方体．答案：正方体9．如右图小明设计了某个产品的包装盒，但是少设计了其中一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子．你能有________种方法．答案：410. 指出下面几何体的点、线、面．解：顶点A 、B 、C 、D 、M 、N ；棱AB 、BC 、CD 、DA 、MA 、MB 、MC 、MD 、NA 、NB 、NC 、ND ；面MAD 、面MAB 、面MBC 、面MDC 、面NAB 、面NAD 、面NDC 、面NBC .11．搬家公司想把长2.5 m ，宽0.5 m ，高2 m 的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形窗口的边长为a ，则a 至少是多少？解：如图，问题实质是求正方形的内接矩形边长为2 m,0.5 m 时正方形的边长a ＝2＋0.52＝524≈1.77(m)．所以a 至少是1.77 m 时，长方体家具可以通过．12．要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律来吗？解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．人教B 版必修2同步练习1．在下列立体图形中，有5个面的是( ) A ．四棱锥 B ．五棱锥 C ．四棱柱 D ．五棱柱解析：选A.柱体均有两个底面，锥体只有一个底面．2．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥组合体D ．无法确定答案：A3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D4．棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是________形，棱台的侧面是________形．答案：平行四边三角梯5．在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE 、AF 、EF 将其折成一个多面体，则此多面体是________．答案：三棱锥1．下列命题正确的是( )A ．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面B ．正棱柱的高可以与侧棱不相等C ．六个面都是矩形的六面体是长方体D ．底面是正多边形的棱柱为正棱柱解析：选C.四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体．两个底面是矩形的直平行六面体是长方体．故正确答案为C.2．将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体为( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定解析：选A.水面始终与固定的一边平行，且满足棱柱的定义．3. 如图所示，正四棱锥S －ABCD 的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱SA ，SC 作截面SAC ，则截面的面积为( )A.32a 2 B ．a 2C.12a 2 D.13a 2 解析：选C.根据正棱锥的性质，底面ABCD 是正方形，∴AC ＝2a .在等腰三角形SAC中，SA ＝SC ＝a ，又AC ＝2a ，∴∠ASC ＝90°，即S △SAC ＝12a 2.故正确答案为C.4．若要使一个多面体是棱台，则应具备的条件是( ) A ．两底面是相似多边形 B ．侧面是梯形 C ．两底面平行D ．两底面平行，侧棱延长后交于一点解析：选D.根据棱台的定义可知，棱台必备的两个条件：底面平行，侧棱延长后相交于一点．5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( ) A ．正三棱锥 B ．正四棱锥 C ．正五棱锥 D ．正六棱锥解析：选D.正三棱锥的底面边长和侧棱相等时叫做正四面体，因此该棱锥可以是正三棱锥，所以不选A ，另外，正四棱锥，正五棱锥也是可能的，故B 、C 也不选，根据正六边形的特点，正六边形的中心到各个顶点的距离相等，在空间中，除中心外，不可能再找到和各顶点的连线都等于底面边长的点，因此该棱锥不可能是正六棱锥．故选D. 6．已知正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(22，＋∞)解析：选D.由正四棱锥的定义知如图，正四棱锥S －ABCD 中，S 在底面ABCD 内的射影O 为正方形的中心，而SA >OA ＝22AB ，∴SA AB >22，即k >22. 7．长方体表面积为11，十二条棱长度的和为24，则长方体的一条对角线长为________．解析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则4(a ＋b ＋c )＝24，∴a ＋b ＋c ＝6.又(ab ＋bc ＋ac )×2＝11.∴长方体的一条对角线长l ＝a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝62－11＝5. 答案：58．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体(图形)的4个顶点，这些几何体(图形)是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：本题借助正方体的结构特征解答，4个顶点连成矩形的情形很容易作出；图(1)中四面体A 1D 1B 1A 是③中描述的情形；图(2)中四面体DA 1C 1B 是④中描述的情形；图(3)中四面体A 1D 1B 1D 是⑤中描述的情形．因此正确答案为①③④⑤.答案：①③④⑤9．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，体对角线长为9，则棱台的斜高等于________．解析：如图，四边形BDD 1B 1是等腰梯形，B 1D 1＝52，BD ＝72，BD 1＝9，所以OO 1 ＝BD 21－(BD ＋B 1D 12)2＝3. 又E 1，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，所以O 1E 1＝52，OE ＝72.所以在直角梯形OEE 1O 1中，斜高E 1E ＝OO 21＋(OE －O 1E 1)2＝10.答案：1010．已知正四棱锥V －ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，求该棱锥的高．解：取正方形ABCD 的中心O ，连接VO 、AO ，则VO 就是正四棱锥V －ABCD 的高．因为底面面积为16，所以AO ＝2 2. 因为一条侧棱长为211，所以VO ＝VA 2－AO 2＝44－8＝6.所以正四棱锥V －ABCD 的高为6.11. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD 1A 1沿AB 方向平移至BCC 1B 1形成的几何体，符合棱柱的定义．(2)截面BCFE 右边的部分是三棱柱BEB 1－CFC 1，其中△BEB 1和△CFC 1是底面．截面BCFE 左边的部分是四棱柱ABEA 1－DCFD 1，其中四边形ABEA 1和四边形DCFD 1是底面．12. 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长．解：(1)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，如图所示，其对角线长为92＋42＝97.(2)由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线，即侧面展开图中的线段MP ，设PC 的长为x ，则在Rt △AMP 中，AM ＝2，MP ＝29，∴AP 2＝PM 2－AM 2＝25，即(x ＋3)2＝25， ∴x ＝2，即PC ＝2. ∵NC MA ＝PC P A ＝25，又MA ＝2，∴NC ＝45，故PC 和NC 的长分别为2，45.人教B 版必修2同步练习1．下列说法正确的是( )A ．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B ．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C ．圆柱不是旋转体D ．圆台可以看成是用平行于底面的平面截一个圆锥而得到的解析：选D.A 错误，这里需指明绕直角梯形与底边垂直的一腰旋转．B 错误，圆锥是直角三角形绕一条直角边旋转而成．C 错误，圆柱是旋转体．2．一条直线绕着与它相交但不垂直的直线旋转一周所得的几何图形是( ) A ．旋转体 B ．两个圆锥 C ．圆柱 D ．旋转面答案：D3．一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转半周所得的几何体是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．圆台 D ．以上都不对答案：C4．一个圆柱的母线长为15 cm ，底面半径为12 cm ，则圆柱的轴截面面积是________．答案：360 cm 25．有下列说法：①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段； ②球的直径是连接球面上两点的线段； ③不过球心的截面截得的圆叫做小圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③正确．答案：①③1．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是( ) A ．两个圆台组合成的 B ．两个圆锥组合成的C ．一个圆锥和一个圆台组合成的D ．一个圆柱和一个圆锥组合成的解析：选B.如图△ABO 与△CBO 绕AC 旋转，分别得到一个圆锥．2．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是( )A ．10 cmB ．5 2 cmC ．5π2＋1 cm D.52π2＋4 cm解析：选D.圆柱的侧面展开图如图所示，展开后E ′F ＝12·2π·(52)＝52π，∴E ′G ＝ 52＋(52π)2＝52π2＋4(cm)．3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是( ) A ．4S B ．4πS C ．πS D ．2πS 解析：选C.由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS .4．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把圆锥母线分为两段的比是( )A ．1∶3B ．1∶9C ．1∶(3－1) D.3∶2解析：选C.由圆锥的截面性质可知，截面仍是圆，设r 1、r 2分别表示截面与底面圆的半径．而l 1与l 2表示母线被截得的线段．则r 1r 2＝l 1l 1＋l 2＝13＝13，∴l 1∶l 2＝1∶(3－1)． 5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )A ．3∶5∶6B ．3∶6∶8C ．5∶7∶9D ．5∶8∶9解析：选D.作出球的轴截面图如图，设球的半径为3R ，则MM ′＝9R 2－R 2＝8R ，NN ′＝9R 2－4R 2＝5R .所截三个圆的面积之比为：π·(5R )2∶π·(8R )2∶π·(3R )2＝5∶8∶9.故选D.6．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能是( )解析：选D.过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形． 7．一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面的面积为________．解析：当截面顶点为90°时，截面面积最大，为12×1×1＝12.答案：128. 如图所示，在透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1中灌进一些水，将固定容器底面的一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③A 1D 1始终与水面EFGH 平行．其中正确的序号是________．解析：在倾斜的过程中，因为前后两面平行，侧面(上下、左右)为平行四边形，所以是棱柱．故填①③.答案：①③9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，则此圆的半径为________．解析：设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2.答案：Q210．圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解：将圆台还原成圆锥，如图所示．O 2、O 1、O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h, O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2则⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎪⎨⎪⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.11. 如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？解：因为圆锥形铅锤的体积为13×π×(62)2×20＝60π(cm 3)．设水面下降的高度为x cm ，则小圆柱的体积为 π(202)2x ＝100πx (cm 3)．所以有60π＝100πx ，解此方程得x ＝0.6. 故杯里的水下降了0.6 cm.12．用一张4 cm ×8 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱轴截面的面积(接头忽略不计)．解：分两种情况：(1)以矩形8 cm 的边为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面(如图(1))轴截面为矩形A 1ABB 1，根据题意可知底面圆的周长为：2π·OA ＝4，则OA ＝2π，于是AB ＝4π.根据矩形的面积公式得：S 截面＝A 1A ·AB ＝8·4π＝32π(cm 2)．(2)以矩形4 cm 的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面(如图(2))，轴截面为矩形A 1ABB 1，根据题意可知底面圆的周长为：2π·OA ＝8，则OA ＝4π，于是AB ＝8π.根据矩形的面积公式得：S 截面＝A 1A ·AB ＝4·8π＝32π(cm 2)．综上所述，轴截面的面积为32πcm 2.人教B 版必修2同步练习1．直线的平行投影可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．射线 D ．曲线答案：A2．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( ) A ．平行四边形 B ．椭圆形 C ．圆形 D ．菱形解析：选C.由点光源的中心投影的性质可知影子应为圆形．3．如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D ′是△A ′B ′C ′中B ′C ′边上的一点，且D ′离C ′比D ′离B ′近，又A ′D ′∥y ′轴，那么原△ABC 的AB 、AD 、AC 三条线段中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC 答案：C4．已知有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，则其斜二测直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20(cm 2)．所以其斜二测直观图的面积为S ′＝24S ＝52(cm 2)．答案：5 2 cm 25．长度相等的两条平行线段的直观图的长度________．答案：相等1．放晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影( ) A ．变长 B ．变短 C ．先变长后变短 D ．先变短后变长答案：D2．下列关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x ′轴，长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y ′轴，长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可以等于135°D ．画直观图时，由于选轴不同，所画的直观图可能不同解析：选B.平行于y 轴的线段其长度变为原来的12.3. 如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5 2C ．5D ．10 2解析：选C.还原后的四边形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，S 四边形ABCD ＝5，故正确答案为C.4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )答案：A5．如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形 C ．正方形的平行投影一定是矩形 D ．正方形的平行投影一定是菱形解析：选B.因为梯形两底的平行投影仍然平行，故选B.6．如下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选C.根据斜二测画法的规则：平行于x 轴或在x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.7. 如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________．解析：过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′与x ′轴交于D ′，则C ′D ′＝32a sin45°＝62a .又∵C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图， ∴CD ＝6a .∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12a ·6a ＝62a 2.答案：62a 28．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．写出其中正确说法的序号________．解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．答案：④9. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：在直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边的中线长为52.答案：5210．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m 处，同一时刻一根长 3 m 的木棒垂直于地面，且影子长1 m ，求此球的半径．解：由题设知BO ′＝10，设∠ABO ′＝2α(0°<α<45°)(如图)，由题意知tan 2α＝31＝3，即2α＝60°，∴α＝30°，∴tan α＝33. 在Rt △OO ′B 中，tan α＝RBO ′，∴R ＝BO ′·tan α＝1033 m.即此球的半径为1033m.11. 如图所示，一建筑物A 高为BC ，眼睛位于点O 处，用一把长为22 cm 的刻度尺EF 在眼前适当地运动，使眼睛刚好看不到建筑物A ，这时量得眼睛和刻度尺的距离MN 为10 cm ，眼睛与建筑物的距离MB 为20 m ，求建筑物A 的高．(假设刻度尺与建筑物平行)解：由题意可知O ，F ，C 三点共线，O ，E ，B 三点共线．因为EF ∥BC ，所以EF BC ＝OE OB ＝MNMB.把EF ＝22 cm ，MN ＝10 cm ，MB ＝2000 cm 代入上式，得22BC ＝102000，解得BC ＝4400 cm ＝44 m.即建筑物A 高44 m.12. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB 高1.6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳蓬AC ，如图所示，求：(1)当遮阳蓬AC 的宽度在什么范围内时，太阳光线直接射入室内？(2)当遮阳蓬AC 的宽度在什么范围内时，太阳光线不能直接射入室内(精确到0.01米)? 解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝1.6米，则AC ＝AB tan ∠ACB＝3AB 3，∴AC ＝1.63≈0.92(米)．当0<AC ≤0.92米时，太阳光可直接射入室内． (2)当AC ＞0.92米时，太阳光不能直接射入室内．人教B版必修2同步练习1．下列说法中正确的是()A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形解析：选C.球的三视图与它的摆放位置无关，从任何方向看都是圆．2．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是()答案：D3．(2011年高考山东卷)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是()A．3B．2C．1 D．0解析：选A.对于①，可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以．4．一件物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的________，长度与主视图一样，左视图放在主视图的______，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．答案：下面右面5．某个几何体的三视图如图，这个几何体是________．答案：圆锥1. 如图所示的是水平放置的圆柱形物体，其三视图是()解析：选A.此题主要研究从物体到三视图的转化过程，主视图是从正面观察物体的形状；左视图是从左侧面观察物体的形状；俯视图是从上往下观察物体的形状．从正面看是个矩形，从左面看是个圆，从上往下看是一个矩形，对照图中的A，B，C，D，可知A是正确的．2．图中三图顺次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为________的组合体．()A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．正方形和圆解析：选C.直接画出符合条件的组合体，可以得解．3．如图所示，有且仅有两个视图相同的几何体是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(2)(4)解析：选D.在这四个几何体中，图(2)与图(4)均只有主视图和左视图相同．4．如图(1)所示是物体的实物图，在图(2)四个选项中是其俯视图的是()答案：C5．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能是()解析：选C.通过分析主视图第一列有两个，而左视图第二列有两个，所以俯视图是选项C时，不符合要求．6. 把10个相同的小正方体按如图所示位置堆放，它的表面有若干个小正方形，如果将图中标了字母A的一个小正方体搬走，这时表面的小正方形个数与搬动前相比()A．不增不减B．减少1个C．减少2个D．减少3个答案：A7．欣赏下列物体的三视图，并写出它们的名称．答案：(1)主视图(2)左视图(3)俯视图(4)主视图(5)左视图(6)俯视图8．下图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．解析：由主视图的底边可知俯视图的半径为10，则面积为100π.由主视图知圆锥的高为30，又底面半径为10，则母线长为102＋302＝1010.答案：100π10109．一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如图所示，则这个组合体包含的小正方体的个数是________．解析：由三视图画出几何体如图．观察知，包含小正方体个数为5个．答案：510．如图所示是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图．图(1)可能为球、圆柱，如图(4)所示．图(2)可能为棱锥、圆锥、棱柱，如图(5)所示．图(3)可能为正四棱锥，如图(6)所示．11. 如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)，试画出它的三视图．解：这个几何体是由一个长方体和一个圆柱体构成的．三视图如下图所示．12．如图，BC⊥CD，且CD⊥MN，ABCD绕AD所在直线MN旋转，在旋转前，点A 可以在DM上选定．当点选在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较异同．解：(1)当点A在下图(a)中射线DM的位置时，绕MN旋转一周所得几何体为底面半径为CD的圆柱和圆锥叠加而成，其三视图如下图(a)．(2)当点A在下图(b)中射线DM的位置时，即B到MN作垂线的垂足时旋转后的几何体为圆柱，其三视图如下图(b)．(3)当点A在下图(c)中所示位置时，其旋转所得几何体为圆柱中挖去同底的圆锥，其三视图如下图(c)．(4)当点A位于点D时，如下图(d)中，旋转体为圆柱中挖去同底等高的圆锥，其三视图如下图(d)．人教B 版必修2同步练习1．一正四棱锥各棱长均为a ，则其表面积为( ) A.3a 2 B ．(1＋3)a 2 C ．22a 2 D ．(1＋2)a 2解析：选B.正四棱锥的底面积为S 底＝a 2，侧面积为S 侧＝4×12×a ×32a ＝3a 2，故表面积为S 表＝S 底＋S 侧＝(1＋3)a 2.2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D3．若球的大圆周长为C ，则这个球的表面积是( ) A.C 24π B.C 22π C.C 2πD ．2πC 2 答案：C4．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S 侧＝πRl ＝π×2×22＋(23)2＝8π. 答案：8π5．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．答案： 31．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A.34a 2 B.32a 2 C.334a 2 D.332a 2解析：选A.斜高h ′ ＝(66a )2＋(3a 6)2＝12a ，则S 侧＝12·3a ·12a ＝34a 2.2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积是( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144解析：选A.S 两底＝34×42×6×2＝483，S 侧＝6×4×6＝144.∴S 全＝144＋483＝48(3＋3)．3．正四棱台两底面边长分别为3 cm 和5 cm ，那么它的中截面面积为( ) A ．2 cm 2 B ．16 cm 2 C ．25 cm 2 D ．4 cm 2。

高中数学全册测试卷知识基础练(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B版高一必修第二册数学试题

必修二全册测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知幂函数y ＝f(x)的图像过点(9,3)，则log 4f(2)的值为( ) A .14B ．－14C ．2D ．－2 2．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2:3:5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为( )A ．100B ．80C ．60D ．403．如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 中点，那么向量12AB →＋AD →等于( )A .AE →B .AC →C .DC →D .BC →4．2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B( )A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件 5．设a ＝2.10.3，b ＝log 43，c ＝log 21.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>a>c D ．c>a>b6．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为( )A ．117B ．118C ．118.5D ．119.57．若22x 1＋≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( )A .⎣⎡⎭⎫18，2B .⎣⎡⎦⎤18，2C .⎝⎛⎦⎤－∞，18D ．[2，＋∞) 8．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是( )(注：雷达图(RadarChart )，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart )，可用于对研究对象的多维分析)A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设a 0为单位向量，下列命题是假命题的为( )A ．若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0B ．若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0C ．若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0D ．若a 为单位向量，则|a |＝|a 0|10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2X ，一次任意取出2X 卡片，则与事件“2X 卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )A ．2X 卡片都不是红色B ．2X 卡片恰有一X 红色C ．2X 卡片至少有一X 红色D ．2X 卡片都为绿色11．中国篮球职业联赛(CBA)中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A ，投中三分球为事件B ，没投中为事件C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )A ．P (A )＝0.55B ．P (B )＝0.18C ．P (C )＝0.27D ．P (B ＋C )＝0.5512．已知a >0，且a ≠1，把底数相同的指数函数f (x )＝a x 与对数函数g (x )＝log a x 图像的公共点称为f (x )(或g (x ))的“亮点”．当a ＝116时，在下列四点中，能成为f (x )“亮点”的有( )A ．(1,1) B.⎝⎛⎭⎫12，12 C.⎝⎛⎭⎫12，14 D.⎝⎛⎭⎫14，12 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 平行，则m ＝________. 14．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取，则选出来的第5个个体的编号为________．第1行 78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98 第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元.(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________. (本题第一空2分，第二空3分)16．函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 020]上这样的企盼数共有________个．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72.18．(12分)已知平面向量a，b，a＝(1,2)．(1)若b＝(0,1)，求|a＋2b|的值；(2)若b＝(2，m)，a与a－b共线，某某数m的值．19．(12分)某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示(试卷满分为100分)．(1)试计算这12份成绩的中位数；(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平，哪个班更稳定一些？20．(12分)已知函数f(x)＝log a(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，某某数a的取值X围．(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．21．(12分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)经计算估计这组数据的中位数；(2)现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率．22．(12分)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，且f (5)f (2)＝8.(1)若f (2m －3)<f (m ＋2)，某某数m 的取值X 围；(2)若y ＝g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，g (x )＝－1(2a )x ＋1a x ，求g (x )的值域．必修二全册测试卷1．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则有3＝9α，得α＝12，所以f (x )＝x 12，f (2)＝2，所以log 4f (2)＝log 42＝log 4414＝14.答案：A2．解析：由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2:3:5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为200×52＋3＋5＝100，故选A.答案：A3．解析：12AB →＋AD →＝AD →＋DE →＝AE →，故选A.答案：A4．解析：事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，故选A.答案：A5．解析：a ＝2.10.3＞2.10＝1，∵b ＝log 43＝log 23，c ＝log 21.8，且3<1.8＜2， ∴b ＜c ＜1.∴a ＞c ＞b . 故选B. 答案：B6．解析：22次考试成绩最高为98分，最低为56分，所以极差为98－56＝42，从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为42＋76＝118，故选B.答案：B 7．解析：将221x ＋≤⎝⎛⎭⎫14x －2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0，解得x ∈[－3,1]，所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x 的值域是⎣⎡⎦⎤18，2.故选B. 答案：B8．解析：根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误．根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误．根据雷达图得乙的六大素养中数学建模、数学运算和数学抽象最差，所以C 错误．根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确．故选D.答案：D9．解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故A 是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，当|a |＝1时，a ＝－a 0，故B ，C 也是假命题；D 为真命题．答案：ABC10．解析：6X 卡片中一次取出2X 卡片的所有情况有：“2X 都为红色”、“2X 都为绿色”、“2X 都为蓝色”、“1X 为红色1X 为绿色”、“1X 为红色1X 为蓝色”、“1X 为绿色1X 为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2X 都为红色”互斥而非对立“2X 都不是红色”“2X 恰有一X 红色”“2X 都为绿色”，其中“2X 至少一X 为红色”包含事件是“2X 都为红色”二者并非互斥．故选ABD.答案：ABD11．解析：记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A ，投中三分球为事件B ，没投中为事件C ，由古典概型得：P (A )＝55100＝0.55，故A 正确；P (B )＝18100＝0.18，故B 正确；P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.55－0.18＝0.27，故C 正确； P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.27＝0.45，故D 错误．答案：ABC12．解析：由题意得f (x )＝⎝⎛⎭⎫116x，g (x )＝log116x ，由于f (1)＝116≠1，所以点(1,1)不在函数f (x )的图像上，所以点(1,1)不是“亮点”；由于f ⎝⎛⎭⎫12＝14≠12，所以点⎝⎛⎭⎫12，12不在函数f (x )的图像上，所以点⎝⎛⎭⎫12，12不是“亮点”；由于f ⎝⎛⎭⎫12＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝14，所以点⎝⎛⎭⎫12，14在函数f (x )和g (x )的图像上，所以点⎝⎛⎭⎫12，14是“亮点”；由于f ⎝⎛⎭⎫14＝12，g ⎝⎛⎭⎫14＝12，所以点⎝⎛⎭⎫14，12在函数f (x )和g (x )的图像上，所以点⎝⎛⎭⎫14，12是“亮点”．故选CD.答案：CD13．解析：向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1) ，所以a ＋b ＝(m －1,3)，若向量a ＋b 与a 平行，可得－1×3－2(m －1)＝0 ，解得m ＝－12.答案：－1214．解析：第1行第4列数是6，由左到右进行读取10,06,01,09,02，所以第5个个体的编号为02.答案：0215．解析：(1)价格为60＋80＝140元，达到120元，少付10元，所以需支付130元． (2)设促销前总价为a 元，a ≥120，李明得到金额l (x )＝(a －x )×80%≥0.7a,0≤x ≤120，即x ≤a 8恒成立，又a 8最小值为1208＝15，所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1516．解析：令g (k )＝f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )，利用对数的换底公式可得f (k )＝log (k ＋1)(k ＋2)＝lg (k ＋2)lg (k ＋1)得到g (k )＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg (k ＋2)lg (k ＋1)＝lg (k ＋2)lg 2＝log 2(k ＋2)．要使k 成为企盼数，则k ＋2＝2n ，n ∈N *.由于k ∈[1,2 020]，即2n ∈[3,2 022]，因为22＝4,210＝1 024,211＝2 048，可取n ＝2,3， (10)因此在区间[1,2 020]内这样的企盼数共有9个．答案：917．解析：(1)733－3324－6319＋4333＝7×313－3×2413－6×32-3＋313＝8×313－3×2×313－6×32-3＝2×313－2×313＝0.(2)原式log 331-4＋lg(25×4)＋2＝－14＋2＋2＝154.18．解析：(1)a ＋2b ＝(1,2)＋(0,2)＝(1,4), 所以|a ＋2b |＝12＋42＝17.(2)a －b ＝(－1,2－m ),因为a 与a －b 共线，所以1×(2－m )－2×(－1)＝0，解得m ＝4.19．解析：(1)从茎叶图中可以看到，这12份成绩按从小到大排列，第6个是78，第7个是82，所以中位数为78＋822＝80.(2)由表中数据，易得(1)班的6份成绩的平均数x 1＝80，(2)班的6份成绩的平均数x 2＝80，所以(1)班的6份成绩的方差为s 21＝16(132＋42＋22＋22＋52＋122)＝1813；(2)班的6份成绩的方差为s 22＝16(122＋82＋72＋52＋92＋132)＝2663. 所以有s 21<s 22，说明(1)班成绩波动较小，(2)班两极分化较严重些，所以(1)班成绩更稳定． 20．解析：(1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0，所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f (x )＝log a t 为增函数，所以a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 21．解析：(1)由频率分布直方图可知，前三组频率之和为0.002×50＋0.002×50＋0.003×50＝0.35，第四组频率为0.008×50＝0.4，所以中位数为(0.5－0.35)0.4×50＋250＝268.75.(2)抽取的6个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有4个和2个．设质量在[250,300)内的4个芒果分别为A ，B ，C ，D ，质量在[300,350)内的2个芒果分别为a ，b .从这6个芒果中选出3个的情况共有(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，C ，D )，(A ，C ，a )，(A ，C ，b )，(A ，D ，a )，(A ，D ，b )，(A ，a ，b )，(B ，C ，D )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b )，(B ，D ，a )，(B ，D ，b )，(B ，a ，b )，(C ，D ，a )，(C ，D ，b )，(C ，a ，b )，word- 11 - / 11 (D ，a ，b )，共计20种，其中恰有一个在[300,350)内的情况有(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，C ，a )，(A ，C ，b )，(A ，D ，a )，(A ，D ，b )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b )，(B ，D ，a )，(B ，D ，b )，(C ，D ，a )，(C ，D ，b )，共计12种，因此这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率P ＝1220＝35.22．解析：(1)∵f (5)f (2)＝8，∴a 5a 2＝a 3＝8，则a ＝2，即f (x )＝2x ，则函数f (x )是增函数，由f (2m －3)<f (m ＋2)，得2m －3<m ＋2，得m <5，即实数m 的取值X 围是(－∞，5)．(2)当x ≥0时，g (x )＝－1(2a )x ＋1a x ＝－14x ＋12x＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋12x ＝－⎝⎛⎭⎫12x －122＋14，∵x ≥0时，2x ≥1，则0<12x ≤1，即当12x ＝12，即x ＝1时，g (x )取得最大值为14，∵g (x )是奇函数，∴当x ＝－1时，g (x )取得最小值为－14，即－14≤g (x )≤14，则函数g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14.。

必修二高中数学人教B版模块综合测试(附答案)

必修二高中数学人教B 版模块综合测试(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在某几何体的三视图中,主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R ，则这个几何体的体积是( ) A.31πR 3 B.32πR 3 C.πR 3 D.334R π 解析：由题意,这个几何体是球,故体积为34πR 3. 答案：D2.在空间直角坐标系中，方程x 2-4(y-1)2=0表示的图形是( )A.两个点B.两条直线C.两个平面D.一条直线和一个平面解析：由原方程可得(x+2y-2)(x-2y+2)=0，∴x+2y-2=0或x-2y+2=0.答案：C3.长方体各面上的对角线所确定的平面个数是( )A.20B.14C.12D.6解析：相对两平行平面中有两组平行对角线,可以确定两个平面,这样有6个平面.又因为每个顶点对应一个符合条件的平面,这样又有8个平面,共有14个平面.答案：B4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解：设(x 0,y 0)是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),则2x 0+3y 0-6=0.(*) 又由对称性知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+.12,1200y y x x∴⎩⎨⎧--=-=.2,200y y x x 代入(*)式得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0. 答案：D5.与圆C:x 2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )A.2条B.3条C.4条D.6条解析：原点在圆C 外,过原点的两条切线在坐标轴上的截距也是相等的;若切线不过原点,设为x+y=a,圆心为(0,-5),半径为3, ∴32|50|=--a .∴a=-5±6.∴在两轴上截距相等、斜率为-1的直线又有两条,共有4条.答案：C6.(2020高考天津卷,文7)若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：本题考查线面和面面的垂直平行垂直关系.①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的.答案：C7.(2020高考全国卷Ⅰ,理7文9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A.16πB.20πC.24πD.32π 解析：本题考查长方体和正四棱柱的关系以及球的表面积的计算.由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心即球的直径为62,根据球的表面积公式,可得球的表面积为24π. 答案：C 8.将若干毫升水倒入底面半径为4 cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为8 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( )A.36B.6C.3184D.398 解：设水面高度为h.由42×8π=31×(33h)2πh ， ∴h=3184.故选C. 答案：C9.已知点P(2,-3)、Q(3,2),直线ax-y+2=0与线段PQ 相交,则a 的取值范围是( )A.a≥34 B.a≤34- C.25-≤a≤0 D.a≤34-或a≥21 解析：直线ax-y+2=0可化为y=ax+2,斜率k=a,恒过定点A(0,2).如图,直线与线段PQ 相交,0≥k≥k A P,即25-≤a≤0.答案：C10.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解：圆心(3,3)到直线3x+4y-11=0的距离为d=5|113433|-⨯+⨯=2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有3个.答案：C11.直线l 与直线3x+4y-15=0垂直，与圆x 2+y 2-18x+45=0相切，则l 的方程是( )A.4x-3y-6=0B.4x-3y-66=0C.4x-3y-6=0或4x-3y-66=0D.4x-3y-15=0解：由直线l 与直线3x+4y-15=0垂直，则可设l 的方程是4x-3y+b=0.由圆x 2+y 2-18x+45=0，知圆心O′(9，0)，半径r=6，∴5|0394|b +⨯-⨯=6,|36+b|=30. ∴b=-6或b=-66.故l 的方程为4x-3y-6=0或4x-3y-66=0.答案：C12.直线3x-2y+m=0和直线(m 2-1)x+3y-3m+2=0的位置关系是( )A.平行B.重合C.相交D.不能确定解析：因为3×3-2(m 2-1)=0，m 无解,可得3×3≠2(m 2-1)，即两直线斜率不相等,所以这两条直线不平行或重合,由两直线相交的条件,可得两直线相交.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知A(-1，-2，1)、B(2，2，2)，点P 在z 轴上，且d(P,A)=d(P,B),则点P 的坐标为___________. 解：∵P 在z 轴上，∴设P 点坐标为(0，0，z).又∵|PA|=|PB|，∴利用距离公式得z=3.答案：(0，0，3)14.若P 在坐标平面xOy 内,A 点坐标为(0,0,4),且d(P,A)=5,则点P 组成的曲线为___________. 解析：考查两点距离公式的应用和探究问题的能力.设P(x,y,0)，则d(P,A)=222)40()0()0(-+-+-y x ，因为|PA|=5,所以x 2+y 2+16=25,即x 2+y 2=9.所以P 点在xOy 坐标面上形成一个以(0,0)为圆心，以3为半径的圆.答案：以(0,0)为圆心，以3为半径的圆15.如图1，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图1解析：可以考虑用一个与原来全等的几何体，倒过来拼接到原几何体上，得到一个底面半径为r ，母线长为(a+b)的圆柱，其体积为πr 2(a+b)，故所求体积为21πr 2(a+b).答案：21πr 2(a+b) 16.过圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于x+2y+11=0的直线方程是___________. 解：圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心为(3,-2).设所求直线斜率为k,则k=21-. ∴方程为y+2=21-(x-3),即x+2y+1=0. 答案：x+2y+1=0三、解答题(共74分)17.(本小题12分)如图2，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求证:图2(1)A 1D ∥平面CB 1D 1;(2)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：(1)∵A 1B 1∥CD 且A 1B 1=CD,∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形,故A 1D ∥B 1C.又B 1C ⊂平面CB 1D 1且A 1D ⊂平面CB 1D 1,∴A 1D ∥平面CB 1D 1.(2)由(1)A 1D ∥平面CB 1D 1,同理可得A 1B ∥平面CB 1D 1,又A 1D∩A 1B=A 1,且A 1D 和A 1B 都在平面A 1BD 内,所以平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.18.(本小题12分)如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1,AB=CC 1=1,BC=2.图3(1)求证：A 1C 1⊥AB ；(2)求点B 1到平面ABC 1的距离.(1)证明：连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1⊥BC 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1.∴AB 1⊥A 1C 1.又∵A 1C 1⊥BB 1,∴A 1C 1⊥平面ABB 1.∴A 1C 1⊥AB.(2)解：由(1)知AB ⊥AC ，∵AB ⊥AC 1,又∵AB=1,BC=2，∴AC=3,AC 1=2.∴1ABC S ∆=1.设所求距离为d ，∴1111ABB C ABC B V V --=. ∴31S △ABC 1·d=131ABB S ∆·A 1C 1. ∴31·1·d=31·21·3. ∴d=23. 19.(本小题12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.∵圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在x+2y=0上.∴a+2b=0. ① ∵圆被直线截得的弦长为22,∴(2|1|+-b a )2+(2)2=r 2. ② 由点A(2,3)在圆上,得(2-a)2+(3-b)2=r 2. ③联立①②③,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==.244,7,1452,3,622r b a r b a 或∴圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.20.(本小题12分)已知圆C ：(x-1)2+y 2=9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；(3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解：(1)已知圆C ：(x-1)2+y 2=9的圆心为C(1，0)，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y-2=21-(x-2),即x+2y-6=0. (3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l 的距离为21，圆的半径为3，弦AB 的长为34. 21.(本小题12分)如图4，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ；图4(1)画出直线l ；(2)设l∩A 1B 1=P,求PB 1的长；(3)求D 到l 的距离.解：(1)连结DM 并延长交D 1A 1的延长线于Q.连结NQ ，则NQ 即为所求的直线l.(2)设QN∩A 1B 1=P,△A 1MQ ≌△MAD,∴A 1Q=AD=A 1D 1,A 1是QD 1的中点.∴A 1P=21D 1N=4a .∴PB 1=43a. (3)作D 1H ⊥l 于H ，连结DH ，可证明l ⊥平面DD 1H ，则DH ⊥l,则DH 的长就是D 到l 的距离.在Rt △QD 1N 中，两直角边D 1N=2a ,D 1Q=2a,斜边QN=a 217,∴D 1H·QN=D 1N·D 1Q,即D 1H=a 17172,DH=a a a 17357)17172(22=+,∴D 1到l 的距离为a 17357. 22.(本小题14分)设有半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇，设A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇.解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3V 千米/小时、V 千米/小时，再设出发x 0小时，在点P 改变方向，又经过y 0小时，在点Q 处与B 相遇，则P 、Q 两点坐标为(3Vx 0,0)、(0,Vx 0+y 0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3Vx 0)2+(Vx 0+y 0)2=(3Vy 0)2，即(x 0+y 0)(5x 0-4y 0)=0.∵x 0+y 0＞0，∴5x 0=4y 0. ① 将①代入k PQ =0003x y x +-,得k PQ =43-. 又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置. 设直线y=43-x+b 与圆O ：x 2+y 2=9相切，则有2243|4|+b =3， ∴b=415.。

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋1，a1＝1，则此数列的第3项是()A．13B．10C．7D．42．{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12D．2C．123．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝()A．15B．30C．32D．774．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝()A．－63B．－21C．21D．635．函数f(x)＝xx2＋1的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)6．数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．127．函数f(x)＝ln xx＋1的图象大致是()8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程可能是()A ．3x ＋y ＝0B ．24x －y －54＝0C ．9x －y －24＝0D ．12x －y －24＝010．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|<|a 5|11．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{a n }称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等方差数列C ．{(－1)n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列12．设f (x )＝x a ·cos x ，x ∈π6，π3的最大值为M ，则()A ．当a ＝－1时，M <3B ．当a ＝2时，M <33C ．当a ＝1时，M >32D ．当a ＝3时，M <12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________.14.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0，则实数a ＝________.15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)，则q ＝______；若a 1与a 5的等差中项为8，则p ＋q ＝________.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.(1)求该数列中a2的值；(2)求该数列的通项公式a n.18.(12分)(1)求曲线y＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．19.(12分)设f(x)＝a ln x＋12x－32x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．20.(12分)设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)，a3＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)n项和．21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝13，a na n＋1＝2a n＋1(n∈N*且n≥2)．(1)(2)n项和T n.22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，则此数列的第3项是()A ．13B ．10C ．7D ．4A解析：因为a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3a 1＋1＝3×1＋1＝4，所以a 3＝3a 2＋1＝3×4＋1＝13.故选A ．2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝()A ．－2B ．－12C ．12D ．2B解析：∵a 7－2a 4＝－1，∴a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，∴d ＝－12.3．已知函数f (x )＝3x 2＋2，则f ′(5)＝()A ．15B ．30C ．32D ．77B解析：依题意f ′(x )＝6x ，所以f ′(5)＝30.故选B ．4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则S 6＝()A ．－63B ．－21C ．21D ．63B解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，1＋a 1q ＝－1，1－a 1q 2＝－3，1＝1，＝－2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－643＝－21.故选B ．5．函数f (x )＝xx 2＋1的单调递增区间是()A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)B解析：f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝x 2＋1－2x ·x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2＝(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，所以当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(－1,1)．故选B ．6．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是()A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：数列{log 2a n }是以0为首项，公差为1的等差数列，log 2a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，a n＝2n －1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1>1025，2n >1026.因为210＝1024,211＝2048，所以，最小n 值是11.选C ．7．函数f (x )＝ln xx ＋1的图象大致是()C解析：由f (x )＝ln xx ＋1，得f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2(x >0)．令g (x )＝1＋1x－ln x ，则g ′(x )＝－1x 2－1x ＝－1＋x x 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1＋1e 2－ln e 2＝1e 2－1<0，所以存在x 0∈(e ，e 2)，使得g (x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．故选C ．8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝1x＋a＝0，得a≠0，x＝－1a.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－1a<1且a<0，所以a<－1.故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是()A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0C．9x－y－24＝0D．12x－y－24＝0AB解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x20－3，y0＝x30－3x0.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是() A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|<|a5|AC解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．11．在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a n}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列ACD解析：对于A，{a n}是等方差数列，可得a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a2n}是首项为a21，公差为d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a2n－a2n－1＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D,数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k…，a2k，…，数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，….∵a2kn＋k－a2kn＋k－1＝a2kn＋k－1－a2kn＋k－2＝…＝a2kn＋1－a2kn＝p，∴a2kn＋k－a2kn＝(a2kn＋k－a2kn＋k－1)＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k－2)＋…＋(a2kn＋1－a2kn)＝kp，∴a2k(n＋1)－a2kn＝kp,所以，数列{a kn}是等方差数列，故D 正确．故选ACD．12．设f(x)＝x a·cos x，x∈π6，π3的最大值为M，则()A．当a＝－1时，M<3B．当a＝2时，M<33C．当a＝1时，M>32D．当a＝3时，M<12AB解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝cos xx在区间π6，π3上递减，所以M＝cosπ6π6＝33π<3，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－xtanx)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，即M＝π218<33，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，x<tan x恒成立，所以f(x)＝x cos x<tan x cos x＝sin x≤32，所以M<32，故选项C 错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，∴M＝12·>12，故选项D错误．故选AB．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，S99－S55＝－4，则a n＝________.－2n＋11解析：设公差为d，因为S99－S55＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.－2解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.02解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝(a1＋a5)×52＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．－1解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0，当x ＝0时，可得0≤b ≤1，结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0.令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0.又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ′′(x )＝12x 2－6x ，令f ′′(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在0，12上递减，在12，＋∞上递增．又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ＜0，f ′(1)＝1＋a ≥0.又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点．故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1.所以ab ＝－1.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解：(1)由等差数列性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7.(2)设等差数列公差为d ，∴a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2·(a 2＋d )＝7(7－d )(7＋d )＝7(49－d 2)＝231.解得d ＝±4，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ，即a n ＝4n －1或a n ＝－4n ＋15.18.(12分)(1)求曲线y ＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)当x ＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.(2)设切点为x 0，1x 0，则切线的斜率为－1x 20，∴切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，∵切线过点(4,0)，∴－1x 0＝－1x 20(4－x 0)，解得x 0＝2，∴所求切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.19.(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2－32.由f ′(1)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.(2)由(1)可知，f (x )＝2ln x ＋12x －32x ＋1，f ′(x )＝－(3x －1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝1，又因为函数f (x )定义域为(0，＋∞)，所以f (x )(1，＋∞)故f (x )的极大值为f (1)＝0，f (x )的极小值为2－2ln 3.20.(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝1，所以a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知1a n a n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝n 项和S n …＋＋13－12n ＋1－＝13－n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3).21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)(2)n 项和T n .(1)证明：因为a na n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＝a n ＋1＋2a n a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)，且1a 2－1a 1＝2，1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)得1a n ＝2n －1，3na n ＝(2n －1)3n ，则T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)3n ①，3T n ＝1×32＋…＋(2n －3)3n ＋(2n －1)3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋2(32＋…＋3n )－(2n －1)3n ＋1＝3＋2×9×(1－3n －1)1－3－(2n －1)3n ＋1＝2(1－n )3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)3n ＋1＋3.22.(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x 的导数为f ′(x )＝e x (2－x 2)．由f′(x)＞0，解得－2<x<2，由f′(x)＜0，解得x＜－2或x> 2.即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2)．(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·e x的导数为f′(x)＝e x[a－x2＋(a－2)x]．由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，即为a－x2＋(a－2)x≥0，即有x2－(a－2)x－a≤0，则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥3 2，则a的取值范围为3 2，＋。

【精准解析】2021学年高中数学人教B版必修第二册训练：综合测试第六章平面向量初步

三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上) 13．若O→A＝(2,8)，O→B＝(－7,2)，则1A→B＝__(－3，－2)__．
3 [解析] A→B＝O→B－O→A＝(－9，－6)，所以1A→B＝(－3，－2)．
3 14．已知向量 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝__－1__． [解析] ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)， ∴a＋b＝(1，m－1)， ∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)， ∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1． 15．已知正方形 ABCD 的边长为 1，A→B＝a，B→C＝b，A→C＝c，则 a＋b＋c 的模等于__2 2__． [解析] |a＋b＋c|＝|A→B＋B→C＋A→C| ＝|2A→C|＝2|A→C|＝2 2． 16．如图所示，已知△OAB，由射线 OA 和射线 OB 及线段 AB 构成如图所示的阴影区(不含边界)．
(1)求实数λ的值；
(2)若 e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求B→C的坐标；
(3)已知点 D(3,5)，在(2)的条件下，若 A，B，C，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，
求点 A 的坐标．
[解析] (1)A→E＝A→B＋B→E＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2．
2．如图在梯形 ABCD 中，AD∥BC，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d，且 E，F 分别为
AB，CD 的中点，则( C )
A．E→F＝1(a＋b＋c＋d) 2
B．E→F＝1(a－b＋c－d) 2
C．E→F＝1(c＋d－a－b) 2
D．E→F＝1(a＋b－c－d) 2
[解析] 连接 OE，OF.因为E→F＝O→F－O→E＝1(O→C＋O→D)－1(O→A＋O→B)＝1(c＋d)－1(a＋b)，

2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：学期综合测评(一)Word版含解析.docx

必修 2学期综合测评(一)对应学生用书 P85 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 ) 和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ 卷(选择题，共 60 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1．已知两直线 y＝ax－ 2 和 y＝(a＋ 2)x＋ 1 互相垂直，则 a 等于 ()A ． 2 B． 1 C．0D．－ 1答案D解析由题知 (a＋ 2)a＝－ 1? a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝ 0，∴ a＝－ 1，也可以代入检验．．圆x 2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心坐标和半径分别是 ()2A ． (1，－ 2)， 5 B．(1，－ 2)，5C． (－1，2)， 5 D．(－ 1， 2)，5答案D解析圆的方程化为标准方程为(x＋ 1)2＋(y－ 2)2＝5，其圆心是 (－ 1，2)，半径为5．3．已知直线 l 的方程为 2x－ 5y＋10＝0，且在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则 |a＋b|＝ ()A ． 3 B． 7 C．10D． 5答案A解析因为直线 l 的方程为 2x－5y＋10＝0，所以令 y＝0，得 x＝－ 5，即 a ＝－ 5，令 x＝0，得 y＝ 2，即 b＝2，所以 |a＋ b|＝|－ 5＋ 2|＝3．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为()A ．1B．2C．5D．6 2222答案C解析由三视图，知该几何体的直观图如图所示．平面 AED ⊥平面 BCDE ，四棱锥A －BCDE的高为．四边形BCDE是边长为△AED＝1×1×1＝1，1 1 的正方形，则 S22△ ABC ＝S△ ABE＝1×1×2＝2，S△ACD＝1×1×5＝5，故选 C．S22225．某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8m，若按 1∶500 的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为()A ． 4 cm， 1 cm，2 cm，1．6 cmB． 4 cm，0．5 cm，2 cm，0．8 cmC． 4 cm，0．5 cm，2 cm，1．6 cmD． 2 cm， 0． 5 cm，1 cm，0．8 cm答案C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm， 1． 6 cm，再结合斜二测画法，则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 4 cm，0．5 cm，2 cm，1．6 cm．y－2 16．直线 l ：y＝kx－ 1 与曲线x－1＝2不相交，则 k 的取值是 ()111A ．2或 3B．2C．3 D．2，3答案 A解析曲线y －2＝1表示直线 x －2y ＋ 3＝ 0(去掉点 (1，2))，则直线 l ：y ＝ kx －x －121 与曲线 y － 2＝ 1不相交，即直线 l 与 x －2y ＋ 3＝ 0 平行或直线 l 过点 (1，2)，所以x － 1 21k 的取值为 2或 3．7．如图，三棱台 ABC －A ′ B ′C ′中， AB ∶ A ′B ′＝ 1∶2，则三棱锥 A ′－ABC ，B －A ′ B ′ C ，C －A ′B ′C ′的体积之比为 ()A ． 1∶ 1∶ 1B ． 1∶ 1∶2C ． 1∶ 2∶4D ． 1∶ 4∶ 4答案 C解析设棱台的高为 h ，S ABC ＝S ，则 S A B C ＝4S ．△△ ′ ′ ′所以 V A ′ －ABC ＝1△ABC ·＝ 1，3Sh3ShV3S3ShC － A ′ B ′ C ′＝1△ A ′ B′C ′h ＝4，17又 V 台＝3h(S ＋4S ＋ 2S)＝3Sh ，2而 V B －A ′B ′ C ＝ V 台－V C － A ′B ′ C ′ －V A ′－ ABC ＝3Sh ，所以 V A ′ －ABC ∶V B － A ′ B ′ C ∶V C － A ′B ′ C ′ ＝1∶2∶4．8．已知直三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝ 12，则球 O 的表面积为 ()A ． 153πB ． 160πC ．169πD ．360π答案C解析由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球 O 的半径 R ＝ 1 32＋ 42＋122＝13，所以球2 2132 O 的表面积 S ＝ 4π× 2 ＝169π，故选 C ．9．如图，三棱锥 V － ABC 中， VO ⊥平面 ABC ，O ∈ CD ， VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中不一定成立的是 ()A ． AC ＝ BCB ． VC ⊥ VDC ． AB ⊥ VCD ． S △ VCD ·AB ＝S △ ABC ·VO答案B解析因为 VA ＝VB ，AD ＝ BD ，所以 VD ⊥AB ．因为 VO ⊥ 平面 ABC ，AB ? 平面 ABC ，所以 VO ⊥ AB ．又 VO ∩VD ＝V ，所以 AB ⊥ 平面 VCD ．又 CD? 平面 VCD ，VC? 平面 VCD ，所以 AB ⊥VC ， AB ⊥ CD ．又 AD ＝BD ，所以 AC ＝BC( 线段垂直平分线的性质 )．因为 VO ⊥ 平面 ABC ，1所以 V V － ABC ＝ 3S △ ABC ·VO ．因为 AB ⊥平面 VCD ，所以 V V － ABC ＝ V B － VCD ＋V A －VCD1 1＝ 3S △ VCD ·BD ＋3S△VCD·AD 1＝ 3S △ VCD ·(BD ＋ AD)1＝ 3S △ VCD ·AB ，所以1 △ 1 △3S ABC·VO ＝3S VCD·AB ，即 S△VCD·AB ＝S△ABC·VO ．综上知，A ，C，D 正确．10．如右图，定圆半径为a，圆心为 (b，c)，则直线 ax＋by＋c＝0 与直线 x－y＋ 1＝ 0 的交点在 ()A ．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案Bb＋ cax＋ by＋c＝0，x ＝－a＋b，解析解方程组得x－y＋1＝0，a－cy＝a＋b.观察题设中圆的位置，可知 a>0， b<0，c>0，且a＋b<0，b＋c<0， a－c>0，b＋ c a－ c所以 x＝－a＋b<0，y＝a＋b<0．．在正三棱柱11 1 中，若AB＝2，AA 1＝1，则点A到平面A 111ABC－ A B C BC 的距离为 ()3333A ．4B．2C．4D． 3答案B解析因为 ABC －A 1 1 1 是正三棱柱，AB＝2，所以底面三角形ABC的面B C积为3，所以 VA1 －ABC ＝1×3×1＝3．如图，在△ A 1中， 1 ＝ 1 ＝33BC A B A C 12＋22＝5，所以 BC 的中点 M 到 A 1的距离为 5 2－1＝ 2，所以 S△A1BC＝1×2×2＝2．设点 A 到平面 A的距离为，所以1·△· ＝－，21BC h 3SA1BC h VA1ABC解得 h＝23．12．若圆 C：x2＋ y2＋2x－4y＋ 3＝ 0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，则由点 (a，b)所作的圆的切线长的最小值是()A ． 2 B． 3 C．4 D．6答案C解析将圆 C： x2＋y2＋2x－4y＋ 3＝0 化为标准方程为 (x＋1)2＋(y－2)2＝2，∴圆心 C(－ 1，2)，半径 r＝ 2．∵圆 C 关于直线 2ax＋ by＋6＝0 对称，∴直线 2ax＋by＋ 6＝ 0 过圆心，将 x＝－ 1， y＝2 代入直线方程得－ 2a＋2b＋6＝0，即 a＝ b＋3．∵点 (a，b)与圆心的距离 d＝ a＋ 1 2＋ b－2 2，∴ 由点 (a，b)向圆 C 所作切线长 l＝ d2－r2＝ a＋ 1 2＋ b－2 2－ 2＝b＋4 2＋ b－2 2－2＝ 2 b＋1 2＋16≥ 4，当且仅当 b＝－ 1 时切线长最小，最小值为 4．第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，A∈l，B∈l ，AC? α，BD? β，AC ⊥l ， BD ⊥l，且 AB ＝4，AC ＝3，BD ＝ 12，则 CD＝________．答案13解析连接 BC(图略 )，因为 AC ⊥l， AC＝ 3， AB ＝ 4，所以 BC＝5．因为 BD⊥l ，l ＝α∩β，α⊥β， BD? β，所以 BD ⊥α．又BC? α，所以 BD ⊥BC．在Rt△ DBC 中，CD＝ BD 2＋BC2＝13．14．四边形 ABCD 中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，若四边形 ABCD绕 y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案5π解析如右图所示，V 圆锥＝1 21＝12×2＝8π，V圆台＝1πh22＋ R2＋Rr)＝1π× ×2＋ 12＋2×1)＝73πr h3π× 233 (r3 1 (23π，∴ V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π．15．在△ ABC 中，高 AD 与 BE 所在直线的方程分别是x ＋5y－3＝0 和 x＋ y － 1＝ 0， AB 边所在直线的方程是 x ＋ 3y－ 1＝ 0，则△ ABC的顶点坐标分别是A________；B________； C________．答案(－2，1) (1，0) (2， 5)高 AD 与边 AB 所在直线的交点即为顶点 A ，联立x＋5y－3＝0，解析得x＋3y－1＝0，A( －2，1)．高 BE 与边 AB 所在直线的交点即为顶点B，联立x＋y－1＝0，得x＋3y－1＝0，B(1，0)．因为直线 AC 过点 A ，且与直线 BE 垂直，所以直线 AC 的方程为 y－ 1 ＝x ＋2，即y＝x＋3，同理，直线 BC 的方程为 y＝ 5(x－ 1)，联立两直线方程得 C(2，5)．16．如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知△ A ′ED是△ AED 绕 DE 翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点 A ′在平面 ABC 上的射影在线段AF 上；②恒有平面 A ′ GF⊥平面 BCED ；③三棱锥 A ′－ FED 的体积有最大值；④直线 A ′E 与 BD 不可能垂直．其中正确命题的序号是 ________．答案 ①②③解析对于命题 ①，由题意，知 A ′ G ⊥DE ，FG ⊥ DE ，A ′G ∩ FG ＝ G ，故 DE ⊥ 平面 A ′FG ．又 DE? 平面 ABC ，所以平面 A ′FG ⊥平面 ABC ，故该命题正确；对于命题 ②，由①可知正确；对于命题 ③，当 A ′ G ⊥平面 ABC 时，三棱锥 A ′ －FED 的体积有最大值，故命题 ③正确；对于命题 ④，当 A ′E 在平面 ABC 上的射影与直线 BD 垂直时，易证 A ′E 与 BD 垂直，故该命题不正确．三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分 10 分)已知直线 l ：kx － y ＋ 1－ 2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ，O 为坐标原点，且 |OA|＝ |OB|，求 k 的值．解 (1)证法一：直线 l 的方程可化为 y － 1＝k(x － 2)，故无论 k 取何值，直线 l 总过定点 (2，1)．证法二：设直线过定点 (x 0， y 0)，则 kx 0－y 0＋1－2k ＝0 对任意 k ∈R 恒成立，x 0 －2＝0，即(x 0－2)k － y 0＋1＝0 恒成立，所以－ y 0＋1＝0，解得 x 0＝ 2， y 0 ＝1，故直线 l 总过定点 (2， 1)． (2)因直线 l 的方程为 y ＝kx －2k ＋ 1，1则直线 l 在 y 轴上的截距为 1－2k ，在 x 轴上的截距为 2－k ，依题意 1－ 2k ＝2－1，解得k ＝－ 1或 k ＝ 1经检验，不符合题意，所以所k >02()求 k ＝－ 1．18．(本小题满分 12 分 )如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及主视图和左视图 (单位： cm)．(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解(1) 该几何体的俯视图如图所示．1 1 284 3)． (2) 该几何体的体积 V ＝ V 长方体－V 三棱锥＝ 4× 4× 6－ 3×2× 2× 2× 2＝ 3 (cm 19．(本小题满分 12 分)已知动点 M 到点 A(2 ，0)的距离是它到点 B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点 M 的轨迹方程；(2)若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹．解(1)设动点 M(x ， y)为轨迹上任意一点，则点 M 的轨迹就是集合 P ＝1M|MA| ＝2|MB| ．由两点间距离公式，点 M 适合的条件可表示为x － 22＋ y 2＝1x －8 2＋ y 2 ．2平方后再整理，得 x 2＋ y 2＝16．可以验证，这就是动点 M 的轨迹方程．(2)设动点 N 的坐标为 (x ，y)，M 的坐标是 (x 1，y 1)．由于 A(2 ， 0)，且 N 为线段 AM 的中点，2＋x 1 0＋ y 1所以 x ＝ 2 ， y ＝ 2 ．所以有 x 1＝2x － 2， y 1 ＝2y ．①由 (1)知，M 是圆 x 2＋ y 2＝16 上的点，22所以 M 的坐标 (x 1， y 1)满足 x 1＋y 1＝16．②22将 ①代入 ②整理，得(x － 1) ＋y ＝ 4．所以 N 的轨迹是以 (1， 0)为圆心，2 为半径的圆．20．(本小题满分 12 分 )如图，在四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，AC ⊥CD ， E ， F 分别是 PC ，AC 的中点．证明： (1)BF∥平面 PCD；(2)AE ⊥平面 PCD．证明(1)因为∠ ABC ＝ 60°，AB ＝BC，所以△ABC 为等边三角形．又F 是 AC 的中点，所以 BF⊥AC ．又CD⊥AC ，且 BF，CD，AC 都在平面 ABCD 内，所以 BF∥CD．因为 CD? 平面 PCD，BF?平面 PCD，所以 BF∥平面 PCD．(2)由(1)知，△ ABC 为等边三角形，且PA＝AB ，所以 PA＝AC ．又 E 为 PC 的中点，所以 AE ⊥PC．因为 PA⊥底面 ABCD ，CD? 平面 ABCD ，所以 PA⊥CD．又CD⊥AC ，PA∩AC ＝A ，所以 CD⊥平面 PAC．又AE? 平面 PAC，所以 CD⊥AE ．又PC∩CD＝C，所以 AE ⊥平面 PCD．21．(本小题满分 12 分 )如图，在三棱台 ABC － DEF 中，平面 BCFE⊥平面 ABC ，∠ACB ＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC ＝3．(1)求证： BF ⊥平面 ACFD ．(2)求三棱台 ABC － DEF 的体积．解 (1)证明：延长 AD ， BE ， CF 相交于一点 K ，如图所示，因为平面 BCFE ⊥ 平面 ABC ，且 AC ⊥BC ，所以 AC ⊥平面 BCK ，所以 BF ⊥AC ，又因为 EF ∥ BC ， BE ＝ EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以 △BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF ⊥ CK ，所以 BF ⊥ 平面 ACFD ．DF EF(2)由题意知，△ DEF 和△ABC 都是直角三角形且相似，所以 AC ＝ BC ，所以 EF 1 3DF ＝ BC ·AC ＝2×3＝2，S △DEF ＝ 1× EF × DF ＝ 1×1×3＝3，2 2 2 4 S △ ABC ＝1×AC ×BC ＝1×3×2＝3，22过点 E 作 EH ⊥BC ，垂足为 H ，则由平面 BCFE ⊥ 平面 ABC ，可得 EH ⊥ 平面ABC ，在等腰梯形 BCFE 中，EH ＝2 2－ 12＝ 31 －22 ，所以该三棱台的体积为 1 32 323 59 3 3×4 ＋4×3＋3 × 2 ＝ 32 ．22．(本小题满分 12 分)已知圆 O ：x 2＋y 2＝4，点 P 是直线 l ：x ＝4 上的动点．(1)若从点 P 到圆 O 的切线长为 2 3，求点 P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；(2)若点 A(－ 2，0)，B(2，0)，直线 PA ，PB 与圆 O 的另一交点分别为 M ，N ，求证：直线 MN 经过定点 Q(1，0)．解 (1)依题意，设 P(4， t)．设两切点分别为 C ，D ，则 OC ⊥PC ，OD ⊥PD ．由题意可知 |PO|2＝|OC|2 ＋|PC|2，即 42＋t 2＝ 22＋(2 3)2，解得 t ＝0，所以点 P 的坐标为 (4，0)．在 Rt △ POC 中，可求得 ∠POC ＝60°，所以 ∠DOC ＝120°，120° 4π 所以所求两条切线所夹的劣弧长为2π×2×＝．360° 3(2)证明：设 M(x 1， y 1 )，N(x 2，y 2)．PA 的方程为 y ＝ t依题意，可得直线 6(x ＋ 2)，t由 y ＝6 x ＋2，得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4t 2－144＝ 0．x 2＋ y 2＝4，因为直线 PA 经过点 A( － 2， 0)，M(x 1，y 1 ，) 所以－ 2，x 1 是上述方程的两个根，2－144－2 则－ 2x 1＝4t 2＋36 ，即 x 1＝7222t ， tt ＋ 36t代入直线方程 y ＝ 6(x ＋ 2)，t 72－ 2t 224t得 y 1＝ 6 t 2＋ 36 ＋2＝t 2＋ 36．t同理，可得直线 PB 的方程为 y ＝ 2(x －2)．t由y ＝2x －2 ，得(t 2＋4)x 2－4t 2x ＋4t 2－ 16＝0．x 2＋ y 2＝4，因为直线 PB 经过点 B(2，0)，N(x 2， y 2 )，所以 2，x 2 是上述方程的两个根，4t 2－162t 2－8则 2x 2＝ t 2＋4 ，即 x 2＝ t 2＋4 ，t代入直线方程 y ＝ 2(x － 2)，2t 2－8 －8t得 y 2＝ t 2－2＝ 2．2 t ＋ 4t ＋42t 2－8＝1，若 x 1＝1，则 t 2＝12，此时 x 2＝ 2t ＋ 4显然 M ，N 在直线 x ＝1 上，所以直线 MN 经过定点 Q(1，0)．若 x 1≠1，则 t 2≠12， x 2≠1，24t1t 2＋36－ 8t由 k MQ ＝y－ 0＝ 2＝2，x 1－ 1 72－2tt －12t 2 ＋36 －1－ 8tk NQ ＝y2－0＝t 2＋4－ 8t，可知 k MQ ＝ k NQ ，2＝ 2x 2－12t － 8t －12t 2＋4 － 1所以 M ，Q ，N 三点共线，即直线 MN 经过定点 Q(1， 0)．综上所述，直线 MN 经过定点 Q(1，0)．。

新课程同步人教B版高中数学必修第二册练习：章末综合检测(三) 平面向量初步

章末综合检测（三）平面向量初步A 卷——学业水平考试达标练 (时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中，正确的是( ) A ．若向量|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量D ．若|a |>|b |，则a >b解析：选C 向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同或相反，故A 不正确；当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故B 不正确；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D 也不正确；由平行向量的定义知选C.2．已知AB ―→＝(3,4)，A (－2，－1)，则B 点的坐标为( ) A ．(5,5) B ．(－5，－5) C ．(1,3)D ．(－5,5)解析：选C AB ―→＝(3,4)＝(x B ＋2，y B ＋1)，所以x B ＋2＝3，y B ＋1＝4，故x B ＝1，y B ＝3，即B (1,3)．故选C.3．下列向量与a ＝(1,2)共线的是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(－1，－2)D ．(2，－1)解析：选C ∵1×(－2)－(－1)×2＝0，∴向量(－1，－2)与a ＝(1,2)共线． 4.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF ―→＝( ) A.34AB ―→＋14AD ―→ B.14AB ―→＋34AD ―→ C.12AB ―→＋AD ―→ D.34AB ―→＋12AD ―→ 解析：选D 根据题意得AF ―→＝12(AC ―→＋AE ―→)，又AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，所以AF―→＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→.故选D.5．已知OA ―→＝(2,8)，OB ―→＝(－7,2)，则13AB ―→＝( )A ．(3,2) B.⎝⎛⎭⎫－53，－103 C ．(－3，－2)D.⎝⎛⎭⎫53，4解析：选C ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(－7,2)－(2,8)＝(－9，－6)，∴13AB ―→＝13(－9，－6)＝(－3，－2)．6.如图所示，下列结论正确的是( ) ①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.7．一船从某河一岸驶向另一岸，航速为v 1、水速为v 2，已知船垂直到达对岸，则( ) A ．|v 1|＜|v 2| B ．|v 1|＞|v 2| C ．|v 1|≤|v 2|D ．|v 1|≥|v 2|解析：选B 速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v 1在水流方向上的分量与向量v 2大小相等、方向相反，由此即得|v 1|＞|v 2|.8.如图，已知△OAB ，若点C 满足AC ―→＝2CB ―→，OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，则1λ＋1μ＝( )A.13B.23C.29D.92解析：选D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA ―→＋23OB ―→，∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 9．若C 是线段AB 的中点，则AC ―→＋BC ―→＝________.解析：∵C 是线段AB 的中点，∴AC ＝CB ，∴AC ―→与BC ―→方向相反，模相等，∴AC ―→＋BC ―→＝0.答案：010．已知a ＝(－6，y )，b ＝(－2,1)，且a 与b 共线，则y ＝________. 解析：由于a ∥b ，所以－6×1＝－2y ，解得y ＝3. 答案：311．已知向量a ＝(1,2)，|b |＝25，b ＝λa ，且λ>0，则λ＝__________；b ＝__________. 解析：由已知得，λ＝|b ||a |＝255＝2，所以b ＝(2,4)．答案：2 (2,4)12.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为r 1，r 2，r 3，则OD ―→＝__________.(用r 1，r 2，r 3表示)解析：OD ―→＝OC ―→＋CD ―→＝OC ―→＋BA ―→＝OC ―→＋OA ―→－OB ―→＝r 3＋r 1－r 2.答案：r 3＋r 1－r 2三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(8分)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N分别是DC 和AB 的中点，若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，试用a ，b 表示DC ―→，BC ―→，MN ―→.解：如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形．则DC ―→＝AN ―→＝12AB ―→＝12a ，BC ―→＝NC ―→－NB ―→＝AD ―→－12AB ―→＝b －12a ，MN ―→＝CN ―→－CM ―→＝－AD ―→－12CD ―→＝－AD ―→－12⎝⎛⎭⎫－12AB ―→ ＝14a －b . 14．(10分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝13OA ―→＋23OB ―→.(1)求证：A ，B ，C 三点共线； (2)求|AC ―→||CB ―→ |的值．解：(1)证明：∵OC ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，∴OC ―→－OA ―→＝23(OB ―→－OA ―→)，即AC ―→＝23AB ―→，∴AC ―→∥AB ―→.又AC ，AB 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)由(1)得AC ―→＝23AB ―→＝23(AC ―→＋CB ―→)，∴13AC ―→＝23CB ―→， ∴AC ―→＝2CB ―→，∴|AC ―→||CB ―→|＝2.15.(10分)如图，在▱OADB 中，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→.试用a ，b 表示OM ―→，ON ―→及MN ―→.解：由题意知，在▱OADB 中，BM ―→＝13BC ―→＝16BA ―→＝16(OA ―→－OB ―→)＝16(a －b )＝16a －16b ，则OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ，ON ―→＝23OD ―→＝23(OA ―→＋OB ―→)＝23(a ＋b )，则MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .16．(12分)如图，已知AC ，BD 是梯形ABCD 的对角线，E ，F 分别是BD ，AC 的中点．求证：EF ∥BC .证明：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a . ∵AD ―→∥BC ―→，∴BC ―→＝λAD ―→＝λb (λ∈R ，λ≠0，且λ≠1)． ∵E 为BD 的中点，∴BE ―→＝12BD ―→＝12(b －a )．∵F 为AC 的中点，∴BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝BC ―→＋12(BA ―→－BC ―→)＝12(BC ―→＋BA ―→)＝12(BC ―→－AB ―→)＝12(λb －a )， ∴EF ―→＝BF ―→－BE ―→＝12(λb －a )－12(b －a )＝⎝⎛⎭⎫12λ－12b ＝1λ⎝⎛⎭⎫12λ－12BC ―→. ∴EF ∥BC .B 卷——高考应试能力标准练 (时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在五边形ABCDE 中(如图)，AB ―→＋BC ―→－DC ―→＝( ) A ．AC ―→B ．AD ―→C ．BD ―→D ．BE ―→解析：选B ∵AB ―→＋BC ―→－DC ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AD ―→.2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( ) A ．5 B.13 C.17D ．13解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13，故选B.3．正方形ABCD 中，AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CD ―→＝c ，则a －b ＋c 表示的向量等于( ) A ．AD ―→ B ．DB ―→ C ．DA ―→D ．DC ―→解析：选C ∵a 与c 是一对相反向量，∴a －b ＋c ＝－b ＝DA ―→.4．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM ―→＝λOB ―→＋(1－λ)OA ―→，且λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线解析：选B 由题意可知OM ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)，即AM ―→＝λAB ―→，∴A ，M ，B 三点共线．又λ∈(1,2)，∴|AM ―→|>|AB ―→|，∴点B 在线段AM 上．5.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A 由题意得AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→＝BC ―→＋AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－12AB ―→，∴λ＝－12，μ＝1，∴λ＋μ＝12，故选A.6．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且AD ―→＝2AB ―→－3BC ―→，则点D 的坐标为( ) A ．(2,16) B ．(－2，－16) C ．(4,16)D ．(2,0)解析：选A 设D (x ，y )，由题意可知AD ―→＝(x ＋1，y －2)，AB ―→＝(3,1)，BC ―→＝(1，－4)，∴2AB ―→－3BC ―→＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A.7．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h ，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°解析：选D 如图，用OA ―→表示水速，OB ―→表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC .于是tan ∠AOC ＝|AC ―→||OA ―→|＝|OB ―→||OA ―→|＝|v 静||v 水|＝3，∴∠AOC ＝60°，故选D.8．设a ，b ，c 为非零向量，若p ＝a|a |＋b|b |＋c|c |，则|p |的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[0,3]D ．[1,3]解析：选Ca|a |，b|b |，c|c |分别为a ，b ，c 方向上的单位向量，∴当a ，b ，c 同向时，|p |取得最大值3，且|p |的最小值为0，故选C.9．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→ 解析：选A 作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A.10．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量BC ―→＝________.解析：设C (x ，y )，则AC ―→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ―→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)12．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：AB ―→＝(a －1,3)，AC ―→＝(－3,4)，根据题意知AB ―→∥AC ―→，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案：－5413．若|AB ―→|＝|AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|＝2，则|AB ―→＋AC ―→|＝_______.解析：因为|AB ―→|＝|AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB ―→＋AC ―→|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB ―→＋AC ―→|＝2 3.答案：2 314．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________．解析：设OC ―→＝m OD ―→，则m >1，因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以m OD ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，即OD ―→＝λm OA ―→＋μm OB ―→，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1.答案：(1，＋∞)三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(8分)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)， (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)因为a ＝mb ＋nc ，所以(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，所以2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，所以k ＝－1613. 16．(10分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC ―→＋CB ―→＝0，(1)用OA ―→，OB ―→表示OC ―→；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解：(1)因为2AC ―→＋CB ―→＝0，所以2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→)＝0， 2OC ―→－2OA ―→＋OB ―→－OC ―→＝0，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.(2)证明：如图，DA ―→＝DO ―→＋OA ―→＝－12OB ―→ ＋OA ―→＝12(2OA ―→－OB ―→)．故DA ―→＝12OC ―→，即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 是梯形．17．(10分)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)AB ―→＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB ―→∥BC ―→.所以8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，所以m ＝32.18．(10分)设OA ―→＝(2，－1)，OB ―→＝(3,0)，OC ―→＝(m,3)． (1)当m ＝8时，将OC ―→用OA ―→和OB ―→表示．(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC ―→＝(8,3)，设OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则(8,3)＝x (2，－1)＋y (3,0)＝(2x ＋3y ，－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC ―→＝－3OA ―→＋143OB ―→.(2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形，所以AB ―→，AC ―→不共线，因为AB ―→＝(1,1)，AC ―→＝(m －2,4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.19.(12分)如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解：如图，图中G点距屋顶的距离恰好为5米，故左边绳子与竖直方向成45°，右边绳子与竖直方向成60°，即AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°.②由①②解得|F a|＝1502－506，所以A处所受力的大小为(1502－506)N.由Ruize收集整理。

人教B版数学必修2 综合测评

必修2综合测评(A卷)(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x＝1的倾斜角为α，则α()A．等于0°B．等于45°C．等于90°D．不存在答案：C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是()A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β答案：C3．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是()A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)C．(4,6) D．(0,2)解析：设B(x，y)，由⎩⎪⎨⎪⎧AC ⊥BC ，|AC |＝|BC | 得⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，(3－0)2＋(3－4)2＝(x －3)2＋(y －3)2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.故选A ．答案：A5．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1,2，梯形的高为2，因此几何体的体积为12×(1＋2)×2×2＝6，故选C ．答案：C6．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( )A ．12B ．－12C ．2D ．－2答案：A7．在空间直角坐标系中，到点(－2,0,1)的距离为5的点的坐标(x ，y ，z )满足的条件是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＋(z ＋1)2＝25B ．(x ＋2)2＋y 2＋(z －1)2＝25C ．(x －2)2＋y 2＋(z ＋1)2＝25D ．(x ＋2)2＋y 2＋(z －1)2＝5 解析：由题意有(x ＋2)2＋(y －0)2＋(z －1)2＝5.答案：B8．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．±2D ．无解解析：两圆的公共弦所在直线为ay ＋a 2－6＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫6－a 2a 2＋3＝a 2，解得a ＝±2，此时两圆相交，符合题意，故选C ．答案：C9.如图所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析：如图，平面ABD ⊥平面BCD ，∠A＝90°，AB＝AD，∴∠ABD＝45°，∴∠DBC＝45°，∠BCD＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD，∴AB⊥DC，又AB⊥AD，∴AB⊥平面ADC.∴平面ABC⊥平面ADC，故选D．答案：D10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A．81π4B．16πC．9πD．27π4解析：设球的半径为r，球心O在高SO1上，如图所示．OB2＝OO21＋BO21，BO1＝ 2.∴r2＝(4－r)2＋2，∴r＝9 4.∴S球＝4πr2＝4π×8116＝81π4，故选A．答案：A11．已知圆C1：(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9，点M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是() A．7 B．35＋4C．9 D．25＋2解析：C1：(1，－1)，r1＝1，C2：(4,5)，r2＝3，如图所示，C1关于x轴的对称点C′为(1,1)，则|PC2|－|PC′|的最大值为|C2C′|＝32＋42＝5，∴|PN|－|PM|的最大值为5＋3＋1＝9，故选C．答案：C12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD上任意一点，则一定有()A．PC1与AA1异面B．PC1与A1A垂直C．PC1与平面AB1D1相交D．PC1与平面AB1D1平行解析：当A，P，C共线时，PC1与AA1相交不垂直，所以A、B错误；可以证明AD1∥BC1，AB1∥DC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1.又PC1⊂平面BDC1，所以PC1与平面AB1D1平行．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a 等于________．解析：由题得a ·(a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 答案：－114．某空间几何体的三视图都是等腰直角三角形，如图所示(单位：cm)，则该几何体的底面积S ＝________cm 2，体积V ＝________cm 3.解析：由三视图可得该几何体如图所示S －ABCD ，底面ABCD 是梯形，∴S ABCD ＝12×2×2－12×1×1＝32 cm 2， V S －ABCD ＝13×2×S ABCD ＝13×2×32＝1 cm 3. 答案：32 115．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．答案：x ＋y －1＝016．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，则VB 1－A 1B CVABC －A 1B 1C 1＝________.解析：V B 1－A 1BC ＝V A 1－B 1C C 1＝V C －A 1B 1C 1＝13V ABC －A 1B 1C 1.答案：13三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点为P . (1)求交点P 的坐标；(2)求过点P 且平行于直线l 3：x －2y －1＝0的直线方程； (3)求过点P 且垂直于直线l 3：x －2y －1＝0的直线方程．解：(1)由⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2,2)． (2)因为所求直线与l 3平行，所以设所求直线的方程为x －2y ＋m ＝0.把点P 的坐标代入得－2－2×2＋m ＝0，得m ＝6. 故所求直线的方程为x －2y ＋6＝0. (3)因为所求直线与l 3垂直，所以设所求直线的方程为2x ＋y ＋n ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋n ＝0，得n ＝2. 故所求直线的方程为2x ＋y ＋2＝0.18．(12分)已知直线l ：x －y ＋3＝0被圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)截得的弦长为2 2.求：(1)a 的值；(2)过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程．解：(1)依题意可得圆心C(a,2)，半径r＝2，则圆心到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝|a－2＋3|12＋(－1)2＝|a＋1|2，由勾股定理可知d2＋⎝⎛⎭⎪⎫2222＝r2，代入化简得|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－3，又a＞0，所以a＝1.(2)由(1)知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，又(3,5)在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y－5＝k(x－3)，由圆心到切线的距离d＝r＝2可解得k＝5 12，∴切线方程为5x－12y＋45＝0；②当过(3,5)斜率不存在时，易知直线x＝3与圆相切，综合①②可知切线方程为5x－12y＋45＝0或x＝3.19．(12分)如图，在四棱锥A－CDFE中，底面CDFE是直角梯形，CE∥DF，EF⊥EC，CE＝12DF，AF⊥平面CDFE，P为AD的中点．(1)证明：CP∥平面AEF；(2)设EF＝2，AF＝3，FD＝4，求点F到平面ACD的距离．解：(1)证明：∵CE∥DF，CE＝12DF，取AF的中点M，连接MP，ME，又P为AD的中点，∴MP═∥12FD，∴MP═∥EC，∴四边形ECPM是平行四边形，∴EM∥CP，CP⊄平面AEF，EM⊂平面AEF. ∴CP∥平面AEF.(2)由题可得EC ＝12FD ＝2，∴FC ＝22＋22＝22， ∴AC ＝AF 2＋FC 2＝9＋8＝17，CD ＝22＋22＝22，∴FC 2＋CD 2＝FD 2，∴FC ⊥CD ，又CD ⊥AF ，∴CD ⊥平面AFC ，∴平面ACD ⊥平面AFC ，过F 作FH ⊥AC ，又FH ⊥CD ，∴FH ⊥平面ACD ， ∴FH 即为F 到平面ACD 的距离． ∴12AF ·FC ＝12AC ·FH ，∴FH ＝AF ·FC AC ＝3×2217＝63417.20．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m －3与圆M ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝2交于A ，B 两点．(1)求实数m 的取值范围； (2)求△MAB 的面积S 的最大值．解：(1)圆心M 到直线l 的距离d ＝|m －4|2，由直线l 与圆M 交于A ，B 两点，得d <r ，即|m －4|2<2，解得实数m 的取值范围是(2,6)．(2)由垂径定理与勾股定理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2－d 2，所以|AB |＝2r 2－d 2＝2 2－(m －4)22，△MAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝12×2 2－(m －4)22×|m －4|2＝(m －4)2－(m －4)44(2<m <6)，因为2<m <6，所以0≤(m －4)2≤4，设t ＝(m －4)2(0≤t ≤4)，则S ＝t －t 24(0≤t ≤4)，当t ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2时，S 取得最大值S max ＝2－224＝1.21．(12分)如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．(1)证明：直线BC ∥EF ； (2)求棱锥F －OBED 的体积．解：(1)证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB ═∥12DE ，OG ＝OD ＝2.同理，设G ′是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有OG ′＝OD ＝2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合．在△GED 和△GFD 中，由OB ═∥12DE 和OC ═∥12DF ，可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF .(2)由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知S △EOB ＝32，而△OED 是边长为2的正三角形，故S △OED ＝3，所以S OBED ＝S △EOB ＋S △OED ＝332.过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F －OBED 的高，且FQ ＝3，所以V F －OBED ＝13FQ ·S OBED ＝32.22．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA→＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，设圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15，故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA→＋TP →＝TQ →，所以⎩⎨⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤[(t＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221 ]．。

高中数学新教材人教B版必修第二册训练：模块综合测试

模块综合测试(时间：120分钟满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，向量a －b 等于( C )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] 由题干图可得a －b ＝BA →＝e 1－3e 2．2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝( B )A ．54B ．90C ．45D ．126[解析] 依题意有33＋5＋7×n ＝18，由此解得n ＝90，即样本容量为90．3．函数y ＝log 13(x －1)的定义域是( D ) A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．(1,2][解析] 由log 13(x －1)≥0，得0＜x －1≤1， ∴1＜x ≤2．4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( C )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 [解析] 由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8；乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9；所以x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x 乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6．所以x 甲＝x 乙．故A 不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确．s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2＜125，所以s 2甲＜s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D 不正确．故选C ．5．设a ＝log 0.50.6，b ＝log 1.10.6，c ＝1.10.6，则( C ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b[解析] ∵log 0.51＜log 0.50.6＜log 0.50.5，∴0＜a ＜1， log 1.10.6＜log 1.11＝0，即b ＜0,1.10.6＞1.10＝1，即c ＞1， ∴b ＜a ＜C ．6．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( D )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b[解析] ∵a |a |表示与a 同向的单位向量，∴a 与b 必须方向相同才能满足a |a |＝b|b |．7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D )A ．23B ．25C ．35D ．910[解析] 记事件A ：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A 仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A 的对立事件A 的概率为P (A )＝110，∴P (A )＝1－P (A )＝910．8．函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是[－53，1]，则实数a ＝( C )A ．3B ．13C ．3或13D ．23或32[解析] 当a ＞1时，y ＝a x －2在[－1,1]上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝1，1a－2＝－53，解得a ＝3；当0＜a ＜1时，y ＝a x －2在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎨⎧a －2＝－53，1a －2＝1，解得a ＝13．综上可知a ＝3或13．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．设a 0为单位向量，下列命题是假命题的为( ABC ) A ．若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0 B ．若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0 C ．若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0 D ．若a 为单位向量，则|a |＝|a 0|[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故A 是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，当|a |＝1时，a ＝－a 0，故B ，C 也是假命题；D 为真命题．10．总体由编号为01,02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为( AC )50 44 66 44 29 67 06 58 03 69 80 34 27 18 83 61 46 42 23 91 67 43 25 74 58 83 11 03 30 20 83 53 12 28 47 73 63 05 35 99 A ．42 B ．36 C ．22D ．14[解析] 由随机数表可得：从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22，即选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为42,22．11．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论，当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是( BC )A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0D ．f (x 1＋x 22)＜f (x 1)＋f (x 2)2[解析] 因为f (x )＝lg x ，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝lg (x 1＋x 2)≠lg x 1·lg x 2．所以A 不正确．f (x 1·x 2)＝lg (x 1·x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝f (x 1)＋f (x 2)．因此B 正确．因为f (x )＝lg x 是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号．所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.因此C 正确．因为f (x 1＋x 22)＞f (x 1)＋f (x 2)2，因此D 是不正确的，综上，选BC ． 12．下列命题为真命题的是( BD )A ．将一枚硬币抛两次，设事件M ：“两次出现正面”，事件N ：“只有一次出现反面”，则事件M 与N 互为对立事件B ．若事件A 与B 互为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件C ．若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 互为对立事件D ．若事件A 与B 互为对立事件，则事件A ∪B 为必然事件[解析] 对A ，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M 与N 是互斥事件，但不是对立事件，故A 错；对B ，对立事件首先是互斥事件，故B 正确；对C ，互斥事件不一定是对立事件，如A 中两个事件，故C 错；对D ，事件A ，B 为对立事件，则一次试验中A ，B 一定有一个要发生，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．从编号分别为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为__12__．[解析] 从编号为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，共有4种不同的取法，恰好有两个小球编号相邻的有：(1,2,4)，(1,3,4)，共有2种，所以概率为12．14．线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝__－2或6__．[解析] 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3.此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1.此时x ＋y ＝6．综上可知，x ＋y ＝－2或6．15．已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝__－3__． [解析] 由题意知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，又因为ln 2∈(0,1), f (ln 2)＝8，所以－e－a ln 2＝－8，两边取以e 为底数的对数，得－a ln 2＝3ln 2，所以－a ＝3，即a ＝－3．16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__130__元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__15__．[解析] (1)价格为60＋80＝140元，达到120元，少付10元，所以需支付130元． (2)设促销前总价为a 元，a ≥120，李明得到金额l (x )＝(a －x )×80%≥0.7a ,0≤x ≤120，即x ≤a 8恒成立，又a 8最小值为1208＝15，所以x 的最大值为15．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．[解析] (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →．所以2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2． (2)因为AC →＝2AB →，所以(a －1，b －1)＝2(2，－2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.所以点C 的坐标为(5，－3)．18．(本小题满分12分)2019年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f (x )与时刻x (时)的函数关系为：f (x )＝|log 25(x ＋1)－a |＋2a ＋1，x ∈[0,24]，其中a 为空气治理调节参数，且a ∈(0,1)．(1)若a ＝12，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；(2)若规定一天中f (x )的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数均不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？[解析] (1)若a ＝12，则f (x )＝|log 25(x ＋1)－12|＋2≥2．当f (x )＝2时，log 25(x ＋1)－12＝0，得x ＋1＝2512 ，即x ＝4．所以一天中凌晨4点该市的空气污染指数最低． (2)设t ＝log 25(x ＋1)，则当0≤x ≤24时，0≤t ≤1．设g (t )＝|t －a |＋2a ＋1，t ∈[0,1]，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋1，0≤t ≤a ，t ＋a ＋1，a ＜t ≤1，显然g (t )在[0，a ]上是减函数，在(a ,1]上是增函数，则f (x )max ＝max {g (0)，g (1)}．因为g (0)＝3a ＋1，g (1)＝a ＋2，由g (0)－g (1)＝2a －1＞0，得a ＞12，所以f (x )max＝⎩⎨⎧a ＋2，0＜a ≤12，3a ＋1，12＜a ＜1.当0＜a ≤12时，2＜a ＋2≤52＜3，符合要求；当12＜a ＜1时，由3a ＋1≤3，得12＜a ≤23．故调节参数a 应控制在(0，23]内．19．(本小题满分12分)近年来，郑州经济快速发展，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a ＝4B ．(1)求a ，b 的值；(2)求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；(3)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．[解析] (1)依题意得(a ＋b ＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a ＋b ＝0.03，又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006．(2)平均数为55×0.08＋65×0.24＋75×0.35＋85×0.27＋95×0.06＝74.9，中位数为70＋0.5－0.08－0.240.035≈75.14，众数为70＋802＝75．(3)依题意，知从分数在[50,60)的市民中抽取了2人，记为a ，b ，从分数在[60,70)的市民中抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况为(a ，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共28种．其中满足条件的为(a ，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种．设“至少有1人的分数在[50,60)”为事件A ，则P (A )＝1328．20．(本小题满分12分)设直线l ：mx ＋y ＋2＝0与线段AB 有公共点P ，其中A (－2,3)，B (3,2)，试用向量的方法求实数m 的取值范围．[解析] (1)P 与A 重合时，m ×(－2)＋3＋2＝0，所以m ＝52.P 与B 重合时，3m ＋2＋2＝0，所以m ＝－43．(2)P 与A ，B 不重合时，设AP →＝λPB →，则λ＞0．设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)， PB →＝(3－x ,2－y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝λ(3－x )，y －3＝λ(2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ－2λ＋1，y ＝2λ＋3λ＋1，把x ，y 代入mx ＋y ＋2＝0可解得λ＝2m －53m ＋4，又因为λ＞0，所以2m －53m ＋4＞0．所以m ＜－43或m ＞52．由(1)(2)知，所求实数m 的取值范围是(－∞，－43]∪[52，＋∞)．21．(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．[解析] 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮时投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，则P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B2A3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3)＝23×12＋(23)2×(12)2＋(23)3×(12)3＝1327． (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则 P (D )＝P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B 2A 3)＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3) ＝(23)2×(12)2＋(23)2×(12)2×13＝427． 22．(本小题满分12分)已知指数函数y ＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g (x )＋n2g (x )＋m是奇函数．(1)确定y ＝g (x )的解析式； (2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围．[解析] (1)g (x )＝2x ． (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋n2x ＋1＋m ．∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (0)＝0，即n －12＋m ＝0，∴n ＝1.∴f (x )＝1－2x2x ＋1＋m ．又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1，解得m ＝2．(3)由(2)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，∴t 2－2t ＞k －2t 2，即3t 2－2t －k ＞0．由判别式Δ＝4＋12k ＜0可得k ＜－13．由Ruize收集整理。

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全册综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题所给的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 由题意知log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1. 2．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2]解析：选B 要使解析式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2－x ＞0，解得1≤x ＜2，所以所求函数的定义域为[1,2)．3．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( )A ．2OA ―→－OB ―→B ．－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→，故选A.4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个黑球与都是黑球C ．至少有一个黑球与至少有一个红球D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.5．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )A ．193B ．192C ．191D ．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n ＝192.6．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：选B 统计问题中，体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差．故选B. 7．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.8．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，结果制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3解析：选B5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c |＝9＋9＝32，故选B.11．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：选ABC 易知y ＝1x ；y ＝e －x ，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg |x |在(0，＋∞)上是增函数．故选ABC.12．在△ABC 中，下列四个选项正确的是( ) A ．AB ―→－AC ―→＝BC ―→ B ．AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0C ．若(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，则△ABC 为等腰三角形 D ．若AC ―→·AB ―→>0，则△ABC 为锐角三角形解析：选BC ∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→＝－BC ―→≠BC ―→，∴A 错误．AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝AC ―→－AC ―→＝0，∴B 正确．由(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB 2―→－AC 2―→＝0，得|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 为等腰三角形，C 正确．AC ―→·AB ―→>0⇒cos 〈AC ―→，AB ―→〉>0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴D 错误，故选BC.13．图1为某省2019年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1～4月份快递业务收入统计图，则下列选项中对统计图理解正确的是( )A ．2019年1～4月份快递业务量中3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件B ．2019年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C ．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致D ．从1～4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长解析：选ABC 对于A,2019年1～4月份快递业务量中3月份最高，有4 397万件，2月份最低，有2 411万件，其差值接近2 000万件，所以A 正确；对于B,2019年1～4月份快递业务量的同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关，所以B 正确；对于C ，由题中两图易知增量与增长速度并不完全一致，其业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以C 正确；对于D ，由题图知业务收入2月相对1月减少，4月相对3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D 不正确．综上，选ABC.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡上的横线上)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19的值为________．解析：因为19＞0，所以f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2，所以f (－2)＝2－2＝14. 答案：1415．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．解析：由平均数为10，得(x ＋y ＋10＋11＋9)×15＝10，则x ＋y ＝20；又方差为2，∴[(x－10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×15＝2，得x 2＋y 2＝208,2xy ＝192，∴|x －y |＝(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ＝4.答案：416．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是________．解析：三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×⎝⎛⎭⎫1－25＋23×⎝⎛⎭⎫1－34×25＋⎝⎛⎭⎫1－23×34×25＝715. 答案：71517．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________(一空2分)．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10. 故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18．(12分)已知a ＝AB ―→，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)＝AB ―→.又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．1 7 92 0 1 5 319.(14分)某车间共有12示．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？解：(1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人所占比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．20．(14分)已知f (x )＝|log 3x |. (1)画出函数f (x )的图象；(2)讨论关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R )的解的个数．解：(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0＜x ＜1，对应的函数f (x )的图象如图所示．(2)设函数y ＝|log 3x |和y ＝a .当a ＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个．当a ＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解．当a ＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解． 21．(14分)已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)． (1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a >1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 22．(14分)今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)(1) (2)估计样本的中位数是多少；(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？解：(1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下：[4.5,6.5)400.40[6.5,8.5)180.18[8.5,10.5]60.06合计100 1.00(2)设中位数为x，因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是0.12＋0.24＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是0.12＋0.24＋0.40＝0.76，所以x∈[4.5,6.5)，则(x－4.5)×0.2＝0.5－0.36，解得x＝5.2.故中位数是5.2.(3)该乡每户月均用水量估计为1．5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14，由5.14×1 200＝6 168，知上级支援该乡的月调水量是6 168吨．23．(14分)(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40100×1 000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝125＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．由Ruize收集整理。

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