新课标2023版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第3课时利用导数证明不等式__构

8
3×3
8
3×…×3
8
3×sin22nx23
≤3
8
3n23＝34n．
对于一些不等式，直接构造函数不易求最值，可以利用条件及 不等式的性质，适当放缩后，再构造函数进行证明．常见放缩不等 式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号． (2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号．
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋12x2 ，当且仅当x＝0时取等号． (4)当x≥0时，ex≥2ex2＋1, 当且仅当x＝0时取等号． (5)x－x 1≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号． (6)当x≥1时，2xx＋－11≤ln x≤x－x1，当且仅当x＝1时取等号．
(3)证明：结合(2)的结论有：sin2xsin22xsin24x·…·sin22nx
＝[sin 3xsin 32xsin 34x…sin 32nx]23
＝[sin x(sin2xsin 2x)(sin22xsin 4x)·…·
(sin22n－1xsin 2nx)sin22nx]23
≤sin
x×3
当x＞1时，h′(x)＞0，则h(x)单调递增， 所以当x＝1时，函数h(x)取得极小值，即最小值为h(1)， 则h(x)≥h(1)＝0，即ln x≥1－1x， 故原不等式成立．
考点2 放缩构造法——综合性
(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin2xsin 2x． (1)讨论f(x)在区间(0，π)上的单调性； (2)证明：|f(x)|≤3 8 3； (3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x·…·sin22nx≤34nn．
h′(x)＝
2e1－ln x2
x
，可得h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)
上单调递减，所以h(x)≤h(e)＝2．
又g(x)与h(x)取最值点不同，
所以g(x)＞h(x)在(0，＋∞)上恒成立， 故2ex－x2－2x＞2elxn x(x＞0)． 所以当x＞0时，f(x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x．
2 x－1
<ex＋(a－1)x－2a，即ex－x－
2 x－1
>0对任
意的x>2恒成立．
令h(x)＝ex－x－x－2 1，x>2，则h′(x)＝ex－1＋x－212． 因为x>2，所以h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(2，＋∞)上单调递 增， 所以h(x)>h(2)＝e2－4>0，所以当x>2时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a．
(1)解：f′(x)＝ex－a，因为f′(0)＝－1＝1－a，所以a＝2， 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2． 令f′(x)＝0，解得x＝ln 2． 当x<ln 2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x>ln 2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，函数f(x)取得极小值，为f(ln 2)＝2－2ln 2，无 极大值．
已知函数f(x)＝x2ln x, 证明：f(x)≥x2－x． 证明：函数f(x)＝x2ln x的定义域为(0，＋∞)， 要证明f(x)≥x2－x，只需证明x2ln x≥x2－x，即证明ln x≥1－1x． 令h(x)＝ln x－1－1x，则h′(x)＝1x－x12＝x－x2 1．当0＜x＜1时，h′(x) ＜0，则h(x)单调递减，
(2)证明：注意到f(x＋π)＝sin2(x＋π)·sin[2(x＋π)]＝sin2xsin 2x＝ f(x)，
故函数f(x)是周期为π的函数，结合(1)的结论，计算可得：f(0)＝ f(π)＝0，
F π3＝ 232× 23＝3 8 3， F 23π＝ 232×－ 23＝－3 8 3，
据此可得：f(x)max＝3 8 3，f(x)min＝－3 8 3， 即|f(x)|≤3 8 3．
1．若直接求导比较复杂或无从下手时，可以将待证不等式进行 变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目 的．
2．在证明过程中，等价转化是关键．
设函数f(x)＝(x2－2x)ex＋aex－e2ln x，其中e为自然对数的底数， 曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的倾斜角的正切值为32e2＋2e．
(1)求a的值； (2)证明：f(x)＞0．
(1)解：f(x)＝(x2－2x)ex＋aex－e2ln x， f′(x)＝(x2－2)ex＋ae－ex2， 则f′(2)＝32e2＋ae＝32e2＋2e，得a＝2．
(2)证明：要证f(x)＞0，即证(x2－2x)ex＋2ex－e2ln x＞0(x>0)， 即证(x－2)ex－2＋2e＞lnx x(x>0)． 令g(x)＝(x－2)ex－2＋2e，g′(x)＝(x－1)ex－2， 于是g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以 g(x)≥g(1)＝1e(x＝1时取等号)．
考点3 构造双函数法——综合性
已知函数f(x)＝x2＋2x－2xex． (1)求函数f(x)的极值； (2)当x＞0时，证明：f(x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x．
(1)解：因为函数f(x)＝x2＋2x－2xex(x∈R)，
所以f′(x)＝2x＋2－2ex－2xex＝(2x＋2)(1－ex)．
再令h(x)＝lnxx，则h′(x)＝1－xl2n x， 于是h(x)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，所以 h(x)≤h(e)＝1e(x＝e时取等号)． 又g(x)与h(x)等于1e时x的取值不同， 所以g(x)＞h(x)，即f(x)＞0．
所以g(x)max＝g(1)＝0，g(x)≤0，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时
等号成立．
当x>2时，ln(x－1)<x－2．又a>0，所以aln(x－1)<a(x－2)．
要证f(x)<ex＋(a－1)x－2a，只需证aln(x－1)＋
பைடு நூலகம்
2 x－1
<ex＋(a－1)x
－2a，
只需证a(x－2)＋
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0，列表如下：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0，＋∞)
f′(x) －
0
＋
0
－
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x＝－1时，f(x)极小值＝f(－1)＝1－2＋2×1e＝2e－1；
当x＝0时，f(x)极大值＝f(0)＝0．
(2)证明：要证明f(x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x，即证2ex－x2－2x＞
(1)解：由函数的解析式可得 f(x)＝2sin3xcos x，则 f′(x)＝2(3sin2xcos2x－sin4x) ＝2sin2x(3cos2x－sin2x) ＝2sin2x(4cos2x－1) ＝2sin2x(2cos x＋1)(2cos x－1)，
f′(x)＝0在x∈(0，π)上的根为x1＝π3，x2＝23π． 当x∈0，π3时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈π3，23π时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈23π，π时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x． 由(1)可得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0， 所以g(x)在R上单调递增， 因此，当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，所以x2<ex．
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般可以直接构造“左 减右”或“右减左”的函数，借助所构造函数的单调性和最值证明 不等式成立．
已知函数f(x)＝aln(x－1)＋
2 x－1
，其中a是正实数．证明：当x>2
时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a．
证明：令g(x)＝ln
x－x＋1，其定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝
1 x
－1
＝1－x x．
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)是增函数，当x∈(1，＋∞)时，
g′(x)<0，g(x)是减函数，
2eln x
x(x＞0)．
令g(x)＝2ex－x2－2x(x＞0)，
h(x)＝2elxn x(x＞0)，
则g′(x)＝2(ex－x－1)．令m(x)＝2(ex－x－1)，则m′(x)＝2(ex－1)
＞0，所以g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，g′(x)＞g′(0)＝0．
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)＞g(0)＝2．
第三章 导数及其应用
第二节 导数的应用 第3课时 利用导数证明不等式——构造
法证明不等式
01
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 考点2 考点3
考点1 移项作差构造函数证明不等式——综合性
已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图 象在点(0,1)处的切线斜率为－1．
(1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)求证：当x>0时，x2<ex．