2020年高考江苏版高考数学 2.5 二次函数与幂函数、函数与方程

2.5 二次函数与幂函数、函数与方程
挖命题
【考情探究】
分析解读二次函数的图象与性质是高考的重点,它可以与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇,具有一定的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.
破考点
【考点集训】
考点一幂函数的图象及性质
1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.
答案
2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n= .
答案 1
考点二二次函数的图象和性质
1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.
答案(1,3]
2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.
其中正确的是.
答案①④
考点三函数与方程
1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.
答案 1
2.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.
答案-∞-
炼技法
【方法集训】
方法一幂函数图象与性质的求解策略
1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.
答案(-∞,0),(0,+∞)
2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.
答案(3,5)
方法二求函数零点个数的解题策略
1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.
答案 2
2.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.
答案 2
方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法
1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.
答案
2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.
答案-
过专题
【五年高考】
A组自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=∈
其中集合
D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.
答案8
2.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.
答案
3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=
--则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数
为.
答案 4
B组统一命题、省(区、市)卷题组
考点一二次函数与幂函数
1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.
答案
2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.
答案18
3.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.
答案-2
考点二函数与方程
1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.
答案[-1,+∞)
若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=
--
数解,则a的取值范围是.
答案(4,8)
3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.
答案 3
4.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.
答案(0,1]∪[3,+∞)
5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a= .
答案
6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=
-
其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程
f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.
答案(3,+∞)
7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-
(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方
程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案
8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=-
--
①若a=1,则f(x)的最小值为;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.
答案①-1 ②∪[2,+∞)
C组教师专用题组
1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.
答案 6
2.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.
答案(0,1)∪(9,+∞)
3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.
答案(-∞,0)∪(1,+∞)
4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则= .
答案m
【三年模拟】
一、填空题(每小题5分,共50分)
1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值
是.
答案 1
2.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.
答案(0,+∞)
3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.
答案
4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则
f(x)= .
答案x2+2x+1
5.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.
答案
6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b= .
答案 2
7.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.
答案{-3,3}
8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.
答案-1,-2
9.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.
答案
10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.
答案x1<x2<x3
二、解答题(共30分)
11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;
(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],
所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.
由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,
所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.
(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则-
解得-5<a<-2.
-
所以实数a的取值范围是(-5,-2).
12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.
(1)求f(x)的表达式;
(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.
解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.
设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.
根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,
解得a=1,所以f(x)=x2+2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则
-
≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。