《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析(word文档良心出品)

第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理
1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关
向量，12,,
,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下
列两条件：（1）(),1,2,
,v v f x v k α==,
(2) M f ≤ 的线
性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，
1
1
k
k
v v
v v
v v t M
t x
α
==≤∑∑
都成立。

证明 必要性。

若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则
1
1
11
()k
k
k
k
v v
v v v v
v v
v v v v t f t x f
t x
M
t x
α
=====≤≤∑∑∑∑
充分性。

若对任意数12,,,k t t t ，有
1
1
k
k
v v
v v
v v t M
t x
α
==≤∑∑。

令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。

对任意
01
k
v v
v t x
X =∈∑，定义上线性泛函：
001
1
:()k k
v v v v v v f f t x t α===∑∑。

因01
1
1
()k k
k
v v v v v v v v v f t x t M
t x α====≤∑∑∑，故0f
是有界的，且
0f M ≤。

由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在
0X 上就是0f 。

f 显然满足条件（1）和（2）。

证毕。

2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，
又0
(,)0d x Z >，证明存在'
f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；
3）1f = 。

证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。

在M 上定义泛函0f ：
000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：
1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；
3）0f 在M 上有界，且0
1M
f =。

其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则
00000()(,)y
f x y d x Z x x y λλλλλ
+=≤+
=+，
所以0
1M
f ≤。

又对任意y Z ∈，000000()()f x f x y f x y =-≤-。

由y 的
任意性，我们得到
0000()(,)f x f d x Z ≤。

又000()(,)f x d x Z =，这样我们就证明了0
1M
f =。

3． 证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的。

证明 设{}1
n n x ∞
=是X 中一列线性无关向量。

记
12{,,
},1,2,
.n n M span x x x n ==。

因{}1
n n x ∞=是线性无关的。

1n n x M +∉，因此由习题2，存在
'
n f X ∈，使11,()(,)0n n n n n f f x d x M -==>, n f 在1n M -为零,
1,2,
n =.
以下我们来证明{}1
n n f ∞=是'X 中线性无关的向量.事实上,若有
i K ,1,2,
.i
n =使. 11220n n K f K f K f ++
+=,则.
1112211()()()0n n K f x K f x K f x ++
+=
这样由于1()0i f x =,2,
i n =，必有111()0K f x =,因11()0f x ≠,
所以10K =。

类似可证, ()0i i i K f x =，从而0i K =，
1,2,i n =。

这样我们证明了'
X 中有无限多个线性无关的向量{}1
n n f ∞=,因此'X 是无限维的.证毕.
4. 证明Bananch 空间X 自反的充要条件是'X 自反.
证明 若X 是banach 空间,则存在一个从X 到"X 的自然的等距同构映射, :"X J X X →.若()"X J X X =,则称X 是自反的。

其中X J 是这样定义的, 若x X ∈,f X '∈,()()()J x f f x =. 为方便起见,记X 到"X 的自然的等距同构映射为0J ，'X 到"X 的自然的等距同构映射为1J 。

我们要证明0()"J X X =的充要条件为1()"'J X X =. 若0()"J X X =.对任意"'F X ∈,定义'f X ∈：若
x X
∈，0()(())
f x F J x =。

对任意
x X
∈，
1000()()()()()(())J f J x J x f f x F J x ===。

因0()"J X X =,因此
1J f F =。

这就证明了1()"'J X X =。

反之,若1()"'J X X =,而0()"J X X ≠。

则存在"'F X ∈,使F 在0()J X 上恒为零，而1F =。

但1()"'J X X =。

必有
'f X ∈，使1()J f F =。

对任意x X ∈,
0100()()()(())(())(())0f x J x f J f J x F J x ====
这样0f =。

但11J f F ==,矛盾。

因此必有0()"J X X =。

证毕。

5．设是一列数01,,
,,
n ααα，证明存在[a ,b]上有界变差数
列()g t ，使()b
n
n a t g t α=⎰，0,1,2,
n =成立的充要条件为
对一切多项式 0
()n
v
v v p t c t ==∑
成立着
*max ()n
v v a t b
v c M p t α≤≤=≤∑ 其中M 为常数。

证明 充分性 。

在C[a ,b]的线性子空间
{[,]}p p a b ϕ=是定义的多项式上定义线性泛函f ：
()n n
v
v v v v v f c t c α===∑∑
由条件0*max ()n
v v a t b
v c M p t α≤≤=≤∑，可知f 在ϕ上是有界的。

因为ϕ在C[a ,b]上稠密，所以可将f 连续的延拓到C[a ,b]上（不妨
仍记为f ），这样f 是C[a ,b]上连续线性泛函，且()n
n f t α=，
0,1,2,
n =。

由Riesz 表示定理，存在有界变差函数g ，使
()()()b
a
f x x t d
g t =⎰。

特别的
(),0,1,2,
b
n n a
t g t n α==
⎰
必要性。

若存在有界变差函数()g t ，使
(),0,1,2,
b
n n a
t g t n α==⎰。

定义C[a ,b]上的有界线性泛函:()()()b
a f f x x t dg t =⎰。

则对每一多项式
()n
v v v p t c t ==∑，
有
()max ()n
v v a t b
v c t f p p f f p t ≤≤==≤=∑
取M f =。

证毕。

6．设T 为(1)p
l p ≥中单向移位算子，即若
12(,,,)p n x l ξξξ=∈，则12{0,,,,}n Tx y ξξξ==，求
×T 。

解 若12(,,,)p
n x l ξξξ=∈，12(,,
,)q n f l ηηη=∈，则
×()q T f l ∈，且
×21321()()()n n T f x f Tx ηξηξηξ+==++
+
，
所以×
23()(,,
,)n T f ηηη=。

7．举例说明一致有界性定理中空间X 完备的条件不能去掉。

解 设X 为2l 的线性子空间，x X ∈的充分且必要条件是除去有限多个i ξ外其余i ξ皆为零。

（12(,,,)n x ξξξ=）。

若
12(,,,0,0,)n x X ξξξ=∈，定义X 到X 的线性映射
:(0,
,,0,),m m m T T x m ξ= 1,2,m =
则
,m T m =1,2,.m
=sup m m
T =+∞。

对任一12(,,,0,0,)n x X ξξξ=∈，当m n >时，有
0m T x =，因此
1sup{}max{,}m n T x T x T x ≤<+∞。

以上例子说明一致有界性定理中X 的完备性条件不能去掉。

8．证明 ：在完备度量空间X 中成立闭球套定力，即若
{(,)},v v v S x d x x ε=≤ 1,2,v =
且 12,n S S S ⊃⊃⊃⊃
0()v v ε→→∞， 则存在唯
一的1
v v x S ∞=∈
；反之，若在度量空间
X 中成立闭球套定理，则
X 是完备度量空间。

证明 设X 是完备的度量空间，{}v S 为一列闭球套：
{(,)},v v v S x d x x ε=≤ 1,2,v =
若0()v v ε→→∞，对任给0ε>，存在N ，当n N >时，n εε<，因此当,n m N >时，(,)n m n d x x εε≤<。

所以{}v x 是柯西列。

设0lim n n x x X →∞
=∈。

因为1,
1,2,
,k k S S k +⊃=当n k ≥时，n k x S ∈，又k S 是闭
集，0lim n k n x x S →∞
=∈。

因此01
k k x S ∞
=∈。

下面证明
01
{}k k S x ∞
==。

若1
k k y S ∞
=∈
，则
00(,)(,)(,)20()k k k d x y d x x d x y k ε≤≤+≤→→+∞
这样必有0
x y =。

反之，若X 满足闭球套定理，{}n x 是柯西列。

则存在1N ，当
1,'m m N ≥时，1
(,')2d m m <，记11{(,)1}N S x d x x =≤。

存在21N N >，当2
,'m m N ≥时，
21(,')2d m m <，记221
{(,)}2
N S x d x x =≤-------。

存在
1k k N N ->，当,'k m m N ≥时，记
11
{(,)},1,2,2
k k N k S x d x x k -=≤
=
这样得到一列闭球
1{}k k S ∞=，对任意k 和任意k x S ∈，有
11(,)(,)(,)k k k k N N N N d x x d x x d x x --≤+
112
111
222k k k ---≤
+=。

所以1k x S -∈，即 1,1,2,
,k k S S k -⊃=于是，由假设存在1
k
k x S ∞
=∈
，
且lim k
N
k x x →∞
=。

因为{}n x 为柯西列，lim k
N
k x x →∞=，则必有lim n n x x →∞
=。

因此
X 必为完
备度量空间。

证毕。

9．设是12{,,
,}n y ηηη=一列复数，若对任何120{,,,}n x C ξξξ=∈，
级数1
j j j ηξ∞=∑都收敛，证明：1y l ∈，其中0C 的定义见第八章题9。

证明 对每一个n ，定义
0()'n f C ∈。

若120{,,,}n x C ξξξ=∈，
1n i i i f ηξ∞
==∑。

因为
1
1
1
()sup n i i
i
i
i
i
i i i f x x
ηξ
ξη
η∞
∞
∞
====
≤≤∑∑∑
所以
0()'
n f C ∈，且
1
n i
i f η∞
=≤∑。

设
i
θ满足i i i
θηη=，则12(,,
,,)n n x θθθ=，则
1
1
()n n i i
i i f x x
ηη∞∞
====∑∑
这就证明了
1
n i
i f η∞
==∑。

由题设条件，对任意0x C ∈，{()}n f x 收敛，从而{()}n f x 有界。

由一致有界性定理，{
}n f 有界，设n f M
≤，即1
i
i M
η∞
=≤∑。

令
,
n →∞1
i
i M η
∞
=≤<+∞∑。

所以
112(,,,)n y l ηηη=∈。

证毕。

10．设()f t 是[a ,b]上的L 可测函数，1p ≥，若对一切[,]p g L a b ∈，函数()()f t g t 都在[a, b]上L 可积，则[,]q f L a b ∈，其中111p
q
+=。

证明 令
(),
(),
()1,2,,
().
n f t f t n f t n n f t n ⎧≤⎪==⎨
>⎪⎩。

则显然n f 为[,]
a b 上有界的可测函数。

若
[,]p
g L a b ∈，
定义[,]p L a b 上泛函
:()()()b n n n a
F F g g t f t d t =⎰。

则n F 是[,]p L a b 上的有界线性泛函，且
1
(())q
b
q
n n a
F f t dt
=⎰。

又因为
1()()()()[,]n f t g t f t g t L a b ≤∈，由勒贝格控制收敛定理，
lim ()()()b
n a n F g g t f t dt →∞
=⎰。

由一致有界性定理，存在
M >，使sup
n n
F M ≤<+∞
，即
1
(())q
b
q
n a f t dt M
≤⎰，因为
1()(),
()(),()n n n f t f t f t f t n +≤→→∞，由
Levi 定理
11(())lim(())q
q
b
b
q
q
n n a
a
n f t dt f t dt M
→∞
=≤⎰⎰。

所以[,]q f L a b ∈。

证毕。

11． 证明e b a πϕΓψH∏引理：设X 是Banach 空间，p(x) 是X 上泛函，满足条件：
1）()0p x ≥；
2）0α≥时，()()p x p x αα=； 3）1212()()()p x x p x p x +≤+；
4）当,n x X x x ∈→时，lim ()()n n p x p x →∞
≥。

证明必有M>0，使对一切x X ∈，成立()p x M x
≤。

证明 先证对任意M>0，{()}x p x M ≤是
X 中闭集。

事实
上，若{()}n x x p x M ∈≤，且n x x →()n →∞，则()lim ()n n p x p x M →∞
≤≤，
所以{()}x x
p x M ∈≤，因此{()}x p x M ≤是闭集。

记{()}k x x
p x k ∈≤，1,2,k =。

则1
k
k X X ∞
==。

由Baire 纲定理，
存在某k X ，使k X 在某一小球0{(,)}O x d x x ε=<中稠密。

因为k X 是闭集，则k O X ⊂。

对X 中任意一点0x ≠，02x
x x
ε-和02x x x
ε
+在
O
中，所以
00(),
(),
22x
x
p x k p x k x
x
εε-
≤+
≤。

因此
00()()()2,22x x x p p x p x k x x x
εεε
≤-++≤。

这样2(),k
p x x ε
≤取2k
M ε
=
，则()p x M
x
≤。

证毕。

12． 设(),(1,2,)n T X Y n ∈B →=，其中X 是Banach 空间，Y
是赋泛线性空间，若对每个x X ∈，{}n T x 都收敛，令lim n n Tx T x →∞=，证明T 是X 到Y 中有界线性算子，并且
lim n
n T T →∞
≤。

证明 因为对每个x X ∈，{}n T x 收敛，从而{}n T x 有界。

由一致有界性定理，存在M>0，sup n
n
T M ≤<+∞。

若定义lim n n Tx T x →∞=，则显然T 是线性的，且lim lim n n n n Tx T x T x
→∞
→∞
=≤，
所以T 是有界的，且lim n
n T
T →∞
≤，证毕。

13．设X 是可分Bananch 空间，M 是'X 中有界集，证明M 中每个点列含有一个弱*收敛子列。

证明 设{}n f M ⊂，存在K>0，
,n f K ≤，1,2,
n =，设{}n x 是X 的
可数稠密子集。

考察有界数列11{()}n n f x ∞=。

由Weierstrass 定理，存在收敛子列1,11{()}{()}n n f x f x ⊂。

同理1,21{()}n n f x ∞=也有收敛子列22{()}n f x ，。

一般的，若已有子列
,1{()}k n k n f x ∞=收敛，考察,11{()}k n k n f x ∞+=。

由于数列的有界性可找到收
敛子列1,11
{()}k n k n f x ∞++=。

我们用对角线法则，取泛函列11{}{}k n n f f ∞∞==⊂k ，k ，{}f k ，k 在稠密子
集{}n x 点点收敛。

事实上，由定义，对任意i ，,1{()}i n i n f x ∞=是收
敛的，而1{}k f ∞=k ，k 是,1{}i n n f ∞=的子列，因此1{}k f ∞=k ，k 也是收敛的，因
此{}f k ，k 在{}n x 上点点收敛。

由本章§5定理1，{}f k ，k 弱*收敛。

证毕。

14． 证明：空间C[a, b]中点列{}n x 弱收敛于0x 得充要条件是存在常数M ，使得n x M ≤，1,2,
n =，并且对任何[,]t a b ∈，成
立0lim ()()n n x t x t →∞
=。

证明 充分性。

若存在M>0，使
n x M
≤，且对任何[,]t a b ∈成立
0lim ()()n n x t x t →∞
=。

则设
f 是C[a, b]上任一有界线性泛函。

由本章
§2的Riesz 表示定理，存在有界变差函数g ，使
()()()b
a f x x t dg t =⎰。

因为n x M
≤，由勒贝格控制收敛定理
lim ()()()()b
b
n a
a
n x t dg t x t dg t →∞=⎰⎰，即0lim ()()n n f x f x →∞
=。

因此{}n x 弱收敛于。

必要性。

设{}n x 弱收敛于0x 。

因为弱收敛点列必为有界列，因此存在M>0，使
n x M ≤，1,2,
n =。

对任一[,]t a b ∈，定义C[a,
b]上泛函:()()t t f f x x t =。

因()max ()a t b
x t x t x
≤≤≤=，所以t f 是C[a, b]
上有界线性泛函。

{}n x 弱收敛于0x ，即0()()t n t f x f x →，可推得
00()()()()n t n t x t f x f x x t =→=。

即0()(),()n x t x t n →→∞。

证毕。

15．设X 是赋范线性空间，M 为X 的闭子空间，若M 中点列{}n x ，当n →∞时弱收敛于0x ，那么必有0x M ∈。

证明 若0()x M t ∈，则0(,)0d x M δ=
>，由第2题，存在'f X ∈，
满足条件：
1） f 在M 上恒为0； 2） 00()(,)f x d x M =；
3）
1f =。

由于{}n x M ⊂，所以
()0n f x =，因此0lim ()()0n n f x f x →∞
==，此与
00()(,)0f x d x M δ==>矛盾。

证毕。

16．证明：(1)p l p >中点列()()12{,,}n n n x ξξ=，1,2,n =。

弱收敛
于12{,,}p x
l ξξ=∈的充要条件为sup n n
x <∞，且对每个
k ，
()lim n k k n ξξ→∞
=。

证明 充分性。

设
n x M
≤，1,2,n =。

对任一q
f l ∈，设
12(,,)
f ηη=。

对任意0ε>，确定
k ，使
01
2()q
q
k
k k M x εη∞
=+⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭
∑。

然后确定 N ，使n>N 时，有
()1
2
k n k k k k ε
ξξη=-<
∑，
这样，
()01()()()n n k k k
k f x f x ξ
ξη∞
=-=
-∑
00()
()1
1
1
k n n k
k k k k
k k
k k k k k ξ
ξηξηξη∞
∞
==+=+≤-+
+
∑∑
∑
000
01
1
1
1
()1
1
11(
)(
)(
)(
)2
p q p q n p q p q k
k k k k k k k k k k k ε
ξ
ηξη∞
∞
∞
∞
=+=+=+=+≤
++∑
∑
∑
∑
01
1
()(
)
2
q q
k k k M x ε
η∞
=+≤
++∑
2
2
ε
ε
ε≤
+
=
因此{}n x 弱收敛于x 。

必要性。

若{}n x 弱收敛于x ，则由一致收敛定理，sup
n n
x <∞。

对任一k ，令()(0,,0,1,0,)k f x =，其中1在第k 个位置，则
q k f l ∈，且()()k n k f x f x →，因()(),()n k n k k k f x f x ξξ==，所以()()n k k ξξ→，
()n →∞。

证毕。

17．设X 是线性空间，1x 和
2
x
是X 上两个范数，若X 按
1
x
及
2
x
都完备，并且由点列{}n x 按
1x 收敛于
0，必有按
2
x
也收
敛于0，证明存在正数a 和b ，使
121a x x b x ≤≤。

证明 定义Banach 空间1(,
.)X 到
Banach 空间2(,
.)X 的线性
映射T ：对任意x X ∈，Tx x =。

由题设T 在原点是连续的。

对任一00x ≠。

若{}n x 按1.收敛于0x ，则010n x x -→，()n →∞。

则由
题设条件
020n x x -→，()n →∞。

即020n Tx Tx -→，()n →∞。

这说
明T 在任一非零点也连续，因此T 是有界的。

又T 是1(,.)
X 到2(,.)X 上的一对一的映射，
由逆算子定理，1T -也是有界的。

故。

221,x Tx T x =≤ 11121
,x T x T x --=≤
令1
1
,,a b T T
-=
=，则121a x x b x ≤≤。

证毕。

18． 设T 是Banach 空间X 到赋范线性空间F 中的线性算子，令，
{},n M x Tx n x =≤1,2,
n =
证明：总有
n M 在X 中稠密。

证明 因为1
n n X M ∞==，X 又是第二纲集，所以必有k M 在某一
球00(,){}O x x
x x εε=-<内稠密。

对于任一x X ∈，02x x x
ε
-和02x x x
ε
+都在0(,)O x ε中，所以存在
0,(,)n n k
x y M O x ε∈，使
lim n n x →∞
=02x
x x
ε-
，lim n n y →∞
=02x x x
ε
+
不妨设
,n n x P y P
≤≤，
1,2,
n =，其中
01
2P x ε
=+
+。

于是
lim()n n n x
y x x
ε→∞
-=
，即lim
()n n n x
y x x ε
→∞
-=。

而(
())()n n n n x
x
T y x K x y ε
ε
-≤
+
2PK
x
ε
≤。

选取02PK n ε
>，则
0()n n n x
y x M ε
-∈。

这样，我们证明了，对任意x X
∈，可找到一列
0()n n n x
y x M ε-∈，使lim
()n n n x
y x x ε
→∞
-=，即0n M 在
X 中稠密。

证毕。

19． 用闭图像定理证明逆算子定理。

证明 设T 为Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的一对一的有界线性算子。

1T -的图像11(){(,)}G T y T y y Y --=∈，若100(,)(,)n n y T y y x -→，则
100,()n n y y T y x n -→→→∞。

设1n n T y x -=，则0n x x →，0n Tx y →。

因为T 是连续的，所以
00lim n n Tx Tx y →∞
==，即100T y x -=。

这样100(,)()y x G T -∈。

于是我们证明
了1()G T -在Y ×X 中是闭集，故1T -是闭算子。

再由闭图像定理，
1T -是有界的，证毕。

20． 设A 及B 是定义在Hilbert 空间X 上的两个线性算子，满足，
,,Ax y x By =
其中x,y 为X 中任意向量，证明A 是有界算子。

证明 设0lim n n x x →∞
=，0lim n n Ax y →∞=，则对任意y X ∈，有 0,lim ,lim ,n n n n y y Ax y x By →∞
→∞
<>=<>=<>
00,,x By Ax y ==<>
因此00,0y Ax y <->=对任何y X ∈都成立，此说明
00y Ax =。

这样A 是定义在全空间X 上的闭算子，由闭图像
定理，A 有界。

证毕。

21．设T 是定义在Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若存在常数00,α>使0,,Tx x
x x α<>≥<>，则称
T 为正定
的。

证明：正定算子必有有界逆算子1
T -，并且
1
01
T
α-≤。

证明 对任意x X ∈，,Tx x <>为实数，由第九章§5定理
1得T T *
=。

又由于0,,Tx x x x α<>≥<>，因此若0Tx =，
则,0x x <>=，从而0x =。

这样T 又是一对一的。

由第九
章习题11，
()(*)R T N T X ⊥
==，所以T 的值域是稠密的。

对任意0y X ∈，存在()n n y Tx R T =∈，使0lim n n Tx y →∞=。

这样{}n Tx 是X 中的柯西列。

因此当,n m →∞时，
()0n m T x x -→。

又2
1
()(),n m n m n m x x T x x x x α-≤
<-->，因此{}n x 是X 中柯西列。

设0lim n n x x →∞=。

于是00lim n n y Tx Tx →∞
==。

因此，T 是Hilbert 空间X 上的一一到上
的有界线性算子，由逆算子定理，T 有有界逆算子 1T - 。

因为对任意x X ∈，0,,Tx x x x α<>≥<>，因此对任意
x X
∈，
11110,,TT x T x T x T x α----<>≥<>，
即2
1
1
,T x x T x α--≤<>。

因此 2
1
10T x x T x α--≤，
从而1
01
T x x α-≤。

由x 的任意性得1
01T α-≤。

证毕。