概率论与数理统计(苏德矿)答案

概率论与数理统计(苏德矿)答案
《概率论与数理统计》(苏德矿)答案
第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件习题 1. (1) {1,2,3,4,5,6,7,8}
Ω= ;
(2) AB={2,4}; {1,2,3,4,6,8};
A B ⋃=
{1,3,5,7};
B =
{1,3}A B -=
{1,2,3,4,5,7,8};
BC =
{1,5,7}
B C ⋃=.
2. (1)
123
A A A (2)
123
A A A ⋃⋃ (3) 1
2
31
2
3
1
2
3
A A A A A A A A A ⋃⋃
(4) 123123123123122313
A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃⋃⋃或
(5)
123123123123122313
A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃⋃⋃或
3. (1)(2)(3)(4)
4. 解: (1)
C AB AB
=+,
D A B
=⋃,
F AB
= (2) 不是,
,,.
C F C F F C φ=≠Ω≠虽但即
§1.2 概率习题
1. 解: ()()()()0.50.60.80.3;P AB P A P B P A B =+-⋃=+-= ()()1()10.80.2;P AB P A B P A B =⋃=-⋃=-=
()()1()10.30.7.
P A B P AB P AB ⋃==-=-=
2. 解: 设A={小王能答出甲类问题}, B={小王能答出乙类问题},则
P(A)=0.7, P(B)=0.4, P(AB)=0.3 (1)
()()()0.70.30.4;
P AB P A P AB =-=-=
(2) ()()()()0.70.40.30.8;P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=
(3) ()()1()10.80.2.
P AB P A B P A B =⋃=-⋃=-=
3. 解:
()0.8
P A =,
()()0.8,
P A B P B ==
()()
0.
P A B P A =
= ()()0,
P A B P φ-==
()()()()0.6.
P A B P B A
P B
P A
=-=-= 4. 解: 设A,B,C 分别表示订甲、乙、丙报纸，则P(A)=P(B)=P(C)=0.3, P(AB)=0.1,
P(BC)=P(AC)= P(ABC)=0. 故所求为
()()()()()()()()
0.30.30.30.10.8.
P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+=++-=5. 解: 当A B ⊂时, P(AB)取最大值, 最大值为0.6;
由加法公式()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-⋃=-⋃故当
A B ⋃=Ω
时, P(AB)取最小值,最小值为0.3.
6．解:
(1)
(2)
(3)
()()()()()
P AB P A P A B P A P B ⋃+≤≤≤，
当A B ⊂时，（1）式子等号成立， 当B A ⊂时，（2）式子等号成立， 当AB φ=时，（3）式子等号成立. §1.3 古典概率 1. 解: 所求概率为15
99
5
910C P P =
⨯. 2. 解: 所求概
率为
111
7563
12
C C C P P =.
3. 解: (1) 设A={前两个邮筒各有一封信},
B={第二个邮筒恰好被投入一封信},则
111
232
22()1/8;()3/8.
44
C C C P A P B ====
4. 解: 设A={能被3整除的数}, B={能被5整除的数},则
m A =33 , m B =20, 6,3320647,
AB A B m m ⋃==+-=故
所求概率为 47
()0.47.100
P A B ⋃=
= 5. 解: 所求概率为
231223128235355
10
()0.5.C C C C C C C P C ++==
§1.4 乘法公式与全概率公式
1. 解: A={雇员有本科文凭},B={雇员是管理人员},
(1) ()0.08
(|)0.1()0.8
P AB P B A P A =
==,
(2) ()()()0.04
(|)0.2()1()0.2
P AB P B P AB P B A P A P A -=
===-.
2. 解: {}{}(1,2)i
i
A i A i i ===第次取得白球，第次取得黑球.
(1) 12121
455
()()(|);9818
P A A P A P A A ==⨯= 12121212121211(2)()()()()(|)(|)()54455
;98989
P A A A A P A A P A A P A P A A P A A P A +=+=+=⨯+⨯= (3)
212112154455
()()(|)()(|).
98989
P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=.
3. 解: 设A,B,C 分别表示甲、乙、丙抽到难签，
则
P{甲乙都抽到难签}432
()()(|);10915
P AB P A P B A ===⨯= P{甲没抽到,乙抽到难
签}644()()(|);10915
P AB P A P B A ===⨯= P{甲乙丙都抽到难
签}4321()()(|)(|).109830
P ABC P A P B A P C AB ===⨯⨯= 4. 解:设A 表示任意取出的零件是合格品，
B i 表示取出第i 台车床加工的零件（i=1,2），则
(1)由全概率公式得
112221
()()(|)()(|)0.970.980.973;
33
P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯= (2) 由贝叶
斯公式
得
2221
0.02
()(|)3
(|)0.25.
()10.973
P B P A B P B A P A ⨯===-
5. 解:设A 表示从乙袋取出一个红球，B 表示从甲袋取出一个红球放入乙袋，则 (1)由全概率公式得
13227()()(|)()(|);
343412
P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=
(2) 由贝叶斯公式得 22()(|)4
34(|).
7()712
P B P A B P B A P A ⨯
===
6. 解:设A 表示任意取出一个元件，其使用寿命达到指定要求；
123
,,B B B 分别表示取出甲、乙、丙类元件，则
由全概率公式得
112233()()(|)()(|)()(|)0.80.90.120.80.080.70.872.
P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=
§1.5 事件的独立性
1. 解: 设A 和B 分别表示甲和乙击中目标,则A 和B 相互独立,
设C 表示目标被击中,D 表示恰有一人击中目标.则所求概率为
(1)()()()()()()0.90.850.90.850.985;P C P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯=
()()
1
()1
()()
10.10.15
0.985;
P C P A
B P A B P A P B =
=-=-=-⨯=或
(2)()()()()()()0.90.150.10.850.22.
P D P AB AB P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=
2. 解:设A 表示3只全是白球;B 表示3只颜色全相同; C 表示3只颜色全不相同.则所求概率为
(1) 66627
();101010125P A =⨯⨯= (2) 33363161
()()()()0.244;
101010250P B =++==
(3) 63127
()3!0.108.
101010250
P C =⨯⨯⨯==
3. 解:设A 表示在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管,B i 表示第i 台车床在一小时内不需要工人照管（i=1,2,3），则1
2
3
,,B B B 相互独立,
且
123()0.9,()0.8,()0.7.
P B P B P B ===所求概率为
123123123123123123123123()()
()()()()()()()()()()()()0.90.80.70.10.80.70.90.20.70.90.80.30.902.
P A P B B B B B B B B B B B B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B P B =+++=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
4. 解: 设A,B,C 分别表示甲、乙、丙译出密码,则A,B,C 相互独立.
设D 表示密码能被译出, 则所求概率为
234
()()1()1()()()10.6.
345
P D P A B C P A B C P A P B P C ==-=-=-⨯⨯=
()()()()()()()()()()()()()()
111111111111
0.6.345344535345
P D P A B C P A P B P C
P A P B
P B P C P A P C P A P B P C ==++---+=++-⨯-⨯-⨯+⨯⨯=或
5.(1) 证明:由条件可得, P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),
AB φ
=, 则
{()}()()()
P A B C P AC BC P AC P BC ⋃=+=+
=()()()()[()()]()()()P A P C P B P C P A P B P C P A B P C +=+=⋃ (2) 证明:由已知得
()()
(|)(|)()()
P AB P AB P A B P A B P B P B =
==,则
()()()
,()1()
P AB P A P AB P B P B -=-化简整理得,
()()(),
P AB P A P B =
即事件A 与B 独立.
6. 解: 设A,B,C 分别表示甲、乙、丙击中飞机,D 表示飞机被击落,则A,B,C 相互独立,且()0.4,()0.5,()0.
7.P A P B P C ===
设A i 表示有i 人击中飞机（i =1,2,3），则
1
2
3
(|)0.2,(|)0.6,(|) 1.P D A P D A P D A ===
1()()
()()()()()()()()()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36.P A P AB C AB C AB C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 2()()
()()()()()()()()()0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41.
P A P AB C AB C AB C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 3()()()()()0.40.50.70.14.
P A P AB C P A P B P C ===⨯⨯= 则由全概率公式得,飞机被击落的概率为
112233()()(|)()(|)()(|)
0.360.20.410.60.1410.458.
P D P A P D A P A P D A P A P D A =++=⨯+⨯+⨯=
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量习题 1. 解：
1112(1)121,.993
θθθθ+-++-=∴=±
又因为≤0)1(2θθ-1≤ , 所以
1
3
θ=
. 2. 解：设X 表示任取3次,取到的不合格品数，则
1）有放回
33()0.20.8,0,1,2,3.
k k k P X k C k -===
即X 的分布律为 X 0 1 2 3
P
125
64
125
48
125
12
125
1
2）无放回 328
3
10
(),3,4,5.k k C C P X k k C -===
即X 的分布律为 X 0 1 2
P
15
7
15
7
15
1
3. 解：X 的概率分布为
X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6
4. 解：设X 表示直至取到白球为止,取球的次数，则其概率分布为
X 1 2 3 4
P 52 103 153 101
5. 解：由全概率公式得
4
2
(2)()(2|)
111113().423448
k P Y P X k P Y X k =======⨯++=∑
§2.2 0-1分布和二项分布习题
1. 解：设A 表示“10件中至少有两件一级品”, 则P （A ）=1()P A -=1=
--6.04.04.091
1010
C 0.9983.
2. 解: X 0 1 2 3
4 5 P
5
4.0
6
.04.041
5C 2
3256.04.0C
3
23
56.04.0C
4
456.40.0C
5
6.0
0.01024
0.0768 0.2304
0.3456 0.2592 0.07776
3. 解：设A 表示“4个灯泡中至少有3个能使用1500小时以上”,则
P （A ）=3
.07.0334
C
+4
44
7.0C
=0.6517
4. 解：1）设A 表示“恰有3粒种子发芽”,则
003764768.002.098.0)(2
3
3
5
==C A P
2）设B 表示“至少有4粒种子发芽”,则
=
+=544598.002.098.0)(C B P 0.996
§2.3 泊松分布习题
1. 解：设A 表示“一页上至多有一个印刷错误”,
则
010.20.2
0.20.2()(1)(0)(1)0.982
0!1!
P A P X P X P X e e --=≤==+==+=
2.解：1）设X 表示5分钟内接到的电话个数，则0,1,2,X
=
2
2(),0,1,2,3,4,5,6.
!
k P X k e k k -===
2）设A 表示“5分钟内至多接到3个电话”,则
3
0()(3)k P A P X ==≤=∑
2
!
2-e k k =0.8571 或4
()(3)1(4)1k P A P X P X +∞
==≤=-≥=-∑
2
!
2-e k k
=(查表)1-0.1429=0.8571
3.解：1）设A 表示“中午12时至下午3时没有急症病人”, 则~(1.5),X π
0 1.5
1.5()(0)0.223.
0!
P A P X e -====
2）设B 表示“中午12时至下午5时至少有
2个急症病人”,则~(2.5),X π
012.5 2.5
()(2)1(0)(1)2.5 2.510.7127.
0!1!
P B P X P X P X e e --=≥=-=-==--=
§2.4 随机变量的分布函数习题 1. 解：1）
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤<=2
,121,2110,310,0)(x x x x x F
31
2)()(0)(1),
22
1
(14)(2),
22
(14)(1)(2).
3
P X P X P X P X P X P X P X P X ≤==+==<≤===≤≤==+==
2. 解：X 0 1 2 3 4 5 P
5
4.0
6
.04.0415C 2
3256.04.0C
3
23
56.04.0C
4
456.40.0C
5
6.0
0.01024
0.0768 0.2304
0.3456 0.2592 0.07776
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧≥<≤≤<≤<≤<≤<=515492.04366.03
223.021086.01001.00
0)(x x x x x x x x F ＜
3. 解：X 的分布律为 X -1 0 2 4
P 0.2 0.4 0.3 0.1
§2.5 连续型随机变量习题 1. 解：1）⎰⎰=⇒=⇒=1
1
2
31,1)(c dx cx dx x f
2）
30,0(),01
1,1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
3）64
7
)41()21()2141(=
-=≤≤F F x P 22219()1()1().
33327
P X P X F >=-≤=-=
2. 解：1）连续型随机变量的分布函数左连续，
则
012
l i m ()(0),l i m ()(1),l i m ()(2),
1
0,1,2211,210,
,
2.
2
x x x F x F
F x F F x F A B C C A B C ---→→→=====-
---====解得
2）
,
01()()2,12
0,x x f x F x x x <<⎧⎪
'==-≤<⎨⎪⎩
其它
3）2
11111
7
P()1P()1F()1()
.222228
X X >=-≤=-=-=
3. 解：1）120
11
()2,~(3,),
44
P A xdx Y B ==⎰
则 Y 的概率分布为
Y 0 1 2 3 P 6427 6427 649 641
2）设B 表示“对X 的三次独立重复观测中事件A 至多出现两次”,则
3163
()1()1(3)1().
464
P B P B P Y =-=-==-=
4.设最高洪水位为X,河堤至少要修c 单位高,由
题意得：30
2
()1()10.0110.c P X c P X c dx c x
>=-≤=-≤⇒≥⎰
§2.6 均匀分布和指数分布习题 1. 解：53
12(3),33
P X dx >==⎰
设A 表示“3次独立观测中至少有两次观测值大于3”,则
223321220
()()().
33327
P A C =+=
2. 解：有实根的条件：2
(4)
44(2)01K 2,
K K K -⨯⨯+≥⇒≤-≥或
所求概率为 3
P(K 2.5
dx ≥=⎰
5
2
1）=5
3. 解：1）3300
1,|1 3.
33
x x k k ke dx e k +∞--+∞
=-==⇒=⎰
即
2）23 4.561.5
(1.52)3.
x P x e dx e e ---≤≤==-⎰
4. 解：1
200600
30
1(200)1,600
x P X e dx e --≤==-⎰
设A 表示“3只独立元件至少1只在最初200小时内出故障”,则
1
3
311)(1)(1)(---=-=-=e e A P A P .
§2.7 正态分布习题
1. :(1)(0.02
2.33)(2.33)(0.02)0.99010.50800.4821;
P X <<=Φ-Φ=-=解
( 1.850.04)(0.04)( 1.85)
(0.04)[1(1.85)](0.04)(1.85)10.5160.967810.4838.
P X -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-=+-=
2. 解：
10
1)(716)(12)(2)(1)3
(2)(1)10.97720.841310.8185;
X P X P -<<=-<
<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=
1022
2)(102)(
)2()120.748610.4972;333
x P x P --<=<=Φ-=⨯-=
10
3)()0.9()0.9,(1.28)0.9,
3
10
1.28,13.84.
3
P X αααα-<=⇒Φ=Φ≈-==反查表得 故
得
3. 解：设X 表示螺栓长度，则：
10.05
(10.050.12)(
2)2(2)120.977210.9544.
0.06
X P X P --<=<=Φ-=⨯-= 4.
解：30
(30)(
)2(1.5)10.8664,2020
X P X
P ≤=≤=Φ-=
设A 表示“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30cm ”
3()1()1(0.1336)0.9976.
P A P A =-=-=
§2.8 随机变量函数的分布习题
1. 解：1）Y -3 2 5 6
P 161 164 167 164
2） Z 1 2 3 4 9
P 16
2 16
4
16
5
16
4
16
1
2. 解：
3
110≤≤⇒≤≤y x ,
当31≤≤y 时，
1
2011
()()(21)(),
22
1
()();
2
y Y Y Y y y F y P Y y P X y P X dx f y F y ---=≤=+≤=≤=='==⎰;
当1
3,
y y ≤≥或时Y 的密度函数为零.
故Y 的密度函数为
1
,13
()2
0,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
22
2
2
2
()2()22
()()(
)
(),,
2()(),
.
22Y X y y Y Y X Y F y P Y y P y P X y dx y R Y f y F y y R μσμσμσμσ
μ
σ
μσπσ
σπσ
π
--
+-∞
+--
--=≤=≤=≤+=∈'==⋅=∈⎰
3.解:因为的分布函数为所以的密度函数为。