2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 (III)[1]

2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 (III)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A
A
C
D
D
A
B
C
B
D
B
A
9．设F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝5a
4
上一点，△F 2PF 1是底
角为30°的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为(B)
A..34
B.58 C 104 D.3
2
10．已知一抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且它的焦点F 是椭圆x 24＋y 2
2＝1
的右顶点，经过点F 且倾斜角为π
3
的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长度为(D )
A. 154 B ．5 C. 203 D. 323
11. 若椭圆12
2=+y m x )1(>m 与双曲线122=-y n
x )0(>n 有相同的焦点P F F ,21、是两曲线的一个交点，则△21PF F 的面积为（ B ）
A.
2
1
B. 1
C. 2
D. 4 12. 已知P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上的一点，21F F 、分别为双曲线的左、右
焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心C 的横坐标为（A ）
A. a
B. b
C. c
D. a+b-c
13．命题“∃x ∈R,2x 2
－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．[－22，22]
14. 已知函数f (x )＝x 2
，g (x )＝x
21⎪⎭
⎫
⎝⎛－m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，
则实数m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞
15．已知双曲线x 24－y 2
b
2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的
两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为________
x 2
4－y 2
12
＝1
16. 椭圆x 24＋y 2
7＝1上的点到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短为_________．8
13
17.（10分）求双曲线9y 2
－4x 2
＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程
[解] 将9y 2
－4x 2
＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 2
22＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，
因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c
a ＝133，渐近线方程y ＝±
b a x ＝±23
x .
18．（12分）当],0[πα∈时，请讨论方程1sin cos x 2
2
=+ααy 表示什么曲线？ 解：①0=α或
2π
α=
时，表示两条直线，②
20π
α<
<且
4π
α≠
时，表示椭圆，
③4πα=
时，表示圆，④π
απ
<<2
时，表示双曲线，⑤πα=，不表示任何曲线。

19. （12分）命题p ：方程x 22m －y 2
m －6
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；
命题q ：方程
x 2
m ＋1＋
y 2
m －1
＝1表示双曲线．
(1)若命题p 为真命题，求m 的取值范围； (2)若命题q 为假命题，求m 的取值范围；
(3)若命题p 或q 为真命题，且命题p 且q 为假命题，求m 的取值范围．
解 (1)据题意⎩⎪⎨⎪
⎧
m －6<0，2m >0，
－m －6>2m ，
解之得0<m <2；故命题p 为真命题时m 的取值范围
为(0,2)．
(2)若命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)<0，解得－1<m <1，故命题q 为假命题时m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(3)由题意，命题p 与q 一真一假，从而
当p 真q 假时有⎩⎪⎨
⎪⎧
0<m <2，
m ≤－1或m ≥1.解得1≤m <2；
当p 假q 真时有⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≤0或m ≥2，
－1<m <1.解得－1<m ≤0；
故m 的取值范围是(－1,0]∪[1,2)．
20．(12分)已知抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，已知点N (2，
m )为抛物线C 上一点，且|NF |＝4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 过点F 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交y 轴于点M ，且AF a MA =，
BF b MB =(a ，b ∈R )，对任意的直线l ，a ＋b 是否为定值？若是，求出a ＋b 的值；若不是，
说明理由．
解 (1)因为|NF |＝4，由抛物线的定义知x N ＋p 2＝4，即2＋p
2＝4，p ＝4.
所以抛物线C 的方程为y 2
＝8x .
(2)显然直线l 的斜率存在且一定不等于零， 设其方程为x ＝ty ＋2(t ≠0)，
则直线l 与y 轴交点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－2t .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ty ＋2，
y 2
＝8x 得y 2－8ty －16＝0.所以Δ＝(－8t )2－(－64)＝64(t 2
＋1)>0.
所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝－16.
由MA →
＝aAF →
得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1，y 1＋2t ＝a (2－x 1，－y 1)， 所以a ＝x 12－x 1＝ty 1＋2－ty 1＝－1－2ty 1，同理可得b ＝－1－2ty 2
.
所以a ＋b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1－2ty 1＋⎝
⎛⎭
⎪⎫－1－2ty 2＝－2－
2y 1＋y 2ty 1y 2＝－2＋16t
16t
＝－1.
21.(12分）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为1
2
.已知A 是
抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12
.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为
6
2
，求直线AP 的方程． 解 (1)设点F 的坐标为(－c,0)．
依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2
＝34
.
所以椭圆的方程为x 2
＋4y 2
3
＝1，抛物线的方程为y 2
＝4x .
(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝
⎛⎭⎪⎫－1，2m .将x ＝my ＋1与x 2＋4y 2
3＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2
＋4)y 2
＋6my ＝0， 解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4
.
由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2
＋43m 2＋4，－
6m 3m 2＋4.
由点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，2m ，
可得直线BQ 的方程为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2
＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －2m ＝0，
令y ＝0，解得x ＝2－3m 2
3m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－3m 2
3m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m
2
3m 2＋2.
又因为△APD 的面积为
62
， 故12·6m 2
3m 2＋2·2|m |＝62， 整理得3m 2
－26|m |＋2＝0， 解得|m |＝
63，所以m ＝±63
. 所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.
22.（12分）（理科题）抛物线y x 42
=的焦点为F ，过点M （0，-1）作直线交此抛物线于不
同的点A 、B ，以线段AF ，BF 为邻边作□FARB ，求平行四边形顶点R 的轨迹方程。

（文科题）已知双曲线222
2
=-y x 与点P （1，1），是否存在过点P 的弦AB ，使AB 的中点为P ？
（理科题答案）
（文科题答案）
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