苏教版高中数学必修四学同步训练三角恒等变换Word含答案(1)(1)

3.1.2 两角和与差的正弦
一、填空题
1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是________．
2．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35
，则sin β的值是________． 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为________．
4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2
，则f (x )的最大值为________． 5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是________三角形．
6．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β
的值是______． 7．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513
，则cos C ＝________. 8．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°
的值是________． 二、解答题
9．已知sin α＝
55，sin(α－β)＝－1010
，α，β均为锐角，求β. 10．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35
，求sin 2α的值． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 三、探究与拓展
12．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．
答案
1．－12 2.725 3.±1 4．2 5．等腰 6.137 7.3365
8. 3 9．解 ∵α为锐角，sin α＝55
， ∴cos α＝255
. ∵－π2<α－β<π2
且sin(α－β) ＝－1010
， ∴cos(α－β)＝31010
， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝1010×255＋31010×55＝22
， ∵β为锐角，∴β＝π4
. 10．解 因为π2<β<α<3π4
， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35
， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝
1－⎝⎛⎭⎫12132
＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)
＝－1－⎝⎛⎭
⎫－352 ＝－45
. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭
⎫－35 ＝－5665
. 11．解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35
， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45
. cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦
⎤π2＋(α＋β)
＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝
513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭
⎫－45 ＝－3365. 12．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β
＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β
＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．
∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β.
∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°
＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)
＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34
.。