2021届高考二轮数学人教版专题训练：26 不等式选讲 Word版含解析

第二部分 专题七 第2讲
专题训练二十六 不等式选讲
一、选择题
(2020·汉阳区校级模拟)已知实数a ，b ，c .
(1)设ε＞0，|a －b |＜ε，|b －c |＜ε.证明：|2a ＋b －3c |＜5ɛ； (2)若a ＞b ＞c ，证明：
1a －b ＋1b －c ≥4
a －c
【解析】 证明：(1)∵|a －b |＜ε，|b －c |＜ε.
∴|2a ＋b －3c |＝|2(a －b )＋3(b －c )|≤2|a －b |＋3|b －c |＜5ε； (2)∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，
∴(1a －b ＋1
b －
c )[(a －b )＋(b －c )]＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥4，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时等号成立，
∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c
2．(2020·绥化模拟)已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )≤x ＋2； (2)证明：3[f (x )－1]≥f (2x )－1．
【解析】 (1)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，x >1
2，－1≤x ≤1
－2x ，x <－1
.
∴不等式f (x )≤x ＋2等价于⎩⎨⎧
x >1
2x ≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ≤12≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧
x <－1－2x ≤x ＋2
.
解得1＜x ≤2或0≤x ≤1或x ∈Ø.
∴不等式f (x )≤x ＋2的解集是{x |0≤x ≤2}；
(2)证明：由(1)得，y＝3[f(x)－1]＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧－6x－3，x≤－1
3，－1<x<1
6x－3，x≥1
y＝f(2x)－1＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧－4x－1，x≤－
1
2
1，－
1
2<x<
1
2
4x－1，x≥
1
2
.
如图所示，画出函数y＝3[f(x)－1]和y＝f(2x)的图象，
由图象可得，3[f(x)－1]≥f(2x)－1．
3．(2020·衡水模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋2b|(a＞0，b＞0)．
(1)当a＝b＝1时，解不等式f(x)≥2－x；
(2)若函数f(x)的值域为[2，＋∞)，求
a2
2b＋
4b2
a的最小值．
【解析】(1)根据题意得，a＝b＝1时原不等式为
|x－1|＋|x＋2|≥2－x，
等价于
⎩⎪
⎨
⎪⎧x≤－2，
1－x－x－2≥2－x
，或
⎩⎪
⎨
⎪⎧－2<x<1，
1－x＋x＋2≥2－x
，或
⎩⎪
⎨
⎪⎧x≥1，
x－1＋x＋2≥2－x
；解得x≤－3或－1≤x＜1或x≥1，
所以不等式f(x)≥2－x的解集为{x|x≤－3或x≥－1}．
(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋2b|≥|x－a－x－2b|＝|a＋2b|，
当且仅当(x－a)(x＋2b)≤0时等号成立；
又a＞0，b＞0，f(x)的值域为[2，＋∞)，
所以a＋2b＝2；
所以a 22b ＋4b 2a ＝⎝⎛⎭⎫
a 22
b ＋4b 2a ＋(a ＋2b )－2
＝⎝⎛⎭⎫a 2
2b ＋2b ＋⎝
⎛⎭⎫a ＋4b
2
a －2 ≥2a 2＋24
b 2－2＝2(a ＋2b )－2＝2， 当且仅当a ＝2b ＝1时取等号； 所以a 22b ＋4b 2
a
的最小值为2．
4．(2020·贵阳模拟)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |－6． (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤0的解集； (2)若f (x )≥2a －3，求a 的取值范围． 【解析】 (1)当a ＝2时，
f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－6＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x －5，x <－1
－3，－1≤x ≤2
2x －7，x >2 .
∵f (x )≤0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2x －5≤0x <－1
或－1≤x ≤2或⎩⎨⎧
2x －7≤0
x >2 ，
∴－52≤x ＜－1或－1≤x ≤2或2＜x ≤7
2，
∴－52≤x ≤72
，
∴f (x )≤0的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－52≤x ≤72.
(2)要使f (x )≥2a －3，只需f (x )min ≥2a －3即可． ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |－6≥|a ＋1|－6， ∴f (x )min ＝|a ＋1|－6≥2a －3，∴|a ＋1|≥2a ＋3， 当2a ＋3≤0，即a ≤－3
2时，|a ＋1|≥2a ＋3恒成立；
当2a ＋3＞0，即a ＞－3
2时，|a ＋1|2≥(2a ＋3)2，
∴3a 2＋10a ＋8≤0，∴－2≤a ≤－43，∴－32＜a ≤－4
3，
综上，a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，－4
3.
5．(2020·阳泉三模)已知函数f (x )＝|x ＋2－t |＋⎪⎪⎪⎪1
x ＋t －3(x ＞0)． (1)求函数f (x )的最小值m ；
(2)若1a ＋1b ＋1
c
＝m (a ，b ，c ＞0)，证明：
1a 2＋1b 2
＋1b 2＋1c 2
＋1c 2＋1
a 2
≥ 2. 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋2－t |＋⎪⎪⎪⎪1x ＋t －3≥⎪⎪⎪⎪x ＋2－t ＋1x ＋t －3＝⎪⎪⎪⎪x ＋1
x －1， 当且仅当(x ＋2－t )⎝⎛⎭⎫1x ＋t －3≥0取得等号， 又x ＞0，x ＋1
x ≥2，当且仅当x ＝1时取得等号，
则f (x )≥1，即f (x )的最小值为1，即m ＝1． (2)证明：由(1)可得1a ＋1b ＋1
c
＝1，
由a 2＋b 2≥2ab ，可得2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， 即有a 2＋b 2≥2
2(a ＋b )，当且仅当a ＝b 时取得等号， 则
1a 2＋1b 2
＋1b 2＋1c 2
＋1c 2
＋1a 2≥22(1a ＋1b ＋1b ＋1c ＋1c ＋1a
) ＝2(1a ＋1b ＋1
c )＝2(当且仅当a ＝b ＝c ＝3取得等号)．。