椒江区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

椒江区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数，且，则（ ）
x x x f 2sin )(-=)2(),3
1(log ),2
3(ln 3.02f c f b f a ===A ．
B ．
C ．
D ．c a b >>a c b >>a b c >>b a c
>>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．2． 双曲线E 与椭圆C ：＋＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
x 2
9y 2
3
为π，则E 的方程为（ ）
A.－＝1
B.－＝1
x 23y 2
3x 24y 22C.－y 2＝1 D.－＝1
x 2
5x
22y 2
4
3． 在区间上恒正，则的取值范围为（
）
()()
2
2f x a x a =-+[]0,1
A ．
B ．
C ．
D ．以上都不对
0a >0a <<02a <<4． 已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有
⎩
⎨⎧≤>=)0(||)
0(log )(2x x x x x f )(x g R R x ∈
；③当时，则函数在区间上零
1
()(2)2
g x g x =
+]1,1[-∈x ()g x )()(x g x f y -=]4,4[-点的个数为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.
5． 如图，在正四棱锥S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ∥BD ；②EP ⊥AC ；③EP ⊥面SAC ；④EP ∥面SBD 中恒成立的为（
）
A ．②④
B ．③④
C ．①②
D ．①③
6． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=
B ．y=﹣x+
C ．y=﹣x|x|
D ．y=
7． 设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域是（
）
(){,|,,1A x y x y x y =
--}A
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A ．12π+15
B ．13π+12
C ．18π+12
D ．21π+15
9． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为
（
）
A ．
B ．
C ．
D ．π1492+π1482+π2492+π
2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的
运用，难度中等.
10．已知三棱锥A ﹣BCO ，OA 、OB 、OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在△BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）
A ．
B ．或36+
C ．36﹣
D ．或36﹣
11．若f ′（x 0）=﹣3，则=（
）A ．﹣3
B ．﹣12
C ．﹣9
D ．﹣6
12．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）
A ．33%
B ．49%
C ．62%
D ．88%
二、填空题
13．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ．
14．已知△的面积为，三内角，，的对边分别为，，．若，ABC S A B C 2
2
2
4S a b c +=+则取最大值时
．
sin cos(4
C B π
-+
C =15．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
16．直线与抛物线交于，两点，且与轴负半轴相交，若为坐标原点，则
20x y t +-=216y x =A B x O 面积的最大值为
.
OAB ∆【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决
问题的能力.
17．若非零向量
，
满足|
+
|=|
﹣|，则
与
所成角的大小为 ．
　18．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
设0
3πα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα+=（1）求cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
20．在中已知，，试判断的形状.
ABC ∆2a b c =+2
sin sin sin A B C =ABC ∆21．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数.
()(),,x
f x e
g x x m m R ==-∈（1）若曲线与直线相切，求实数的值；()y f x =()y g x =m （2）记，求在上的最大值；()()()
h x f x g x =⋅()h x []0,1（3）当时，试比较与的大小.
0m =()
2f x e
-()g x
22．（本小题满分10分）
已知曲线，直线（为参数）.
22
:149x y C +=2,:22,x t l y t =+⎧⎨=-⎩
（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
C （2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.
C P 30
A ||PA 23．已知函数f （x ）=|x+2|﹣2|x ﹣1|（1）解不等式f （x ）≥﹣2；
（2）对任意x ∈[a ，+∞），都有f （x ）≤x ﹣a 成立，求实数a 的取值范围．
24．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD 为旋转轴旋转一周得到
如图所示的几何体σ．
（1）求几何体σ的表面积；
（2）点M时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD的体积为，试判断M点的轨迹是否为2个菱形．
椒江区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D
2． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为－＝1，x 2a 2y 2b 2
渐近线方程为y ＝±x ，即bx ±ay ＝0，
b a
由题意得E 的一个焦点坐标为（，0），圆的半径为1，
6∴焦点到渐近线的距离为1.即＝1，
|6b |
b 2＋a 2
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝，
5∴E 的方程为－y 2＝1，故选C.
x 25
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数在区间上恒正，则
()(
)2
2f x a
x a =-+[]0,1，即，解得，故选C.(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩2
020a a a >⎧⎨-+>⎩
02a <<考点：函数的单调性的应用.4． 【答案】D
第
Ⅱ卷（共100分）[．Com]
5．【答案】A
【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
6．【答案】C
【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
B.时，y=，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；
C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；
∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；
∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；
D.；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．
故选：C．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．
7．【答案】A
【解析】
考点：二元一次不等式所表示的平面区域.
8．【答案】C
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，圆锥的底面圆半径为1，高为2，
∴圆锥的母线长为5，
∴几何体的表面积S=×π×42+×π×4×5+×8×3=18π+12．
故选：C．
9．【答案】A
10．【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．
【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或
．
故选D
11．【答案】B
【解析】解：∵f′（x0）=﹣3，则=[4]=4（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，
故选：B ．
【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．　
12．【答案】B 【
解
析
】
二、填空题
13．【答案】　a ≤0或a ≥3　．
【解析】解：∵A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，且A ∩B=B ，∴B ⊆A ，
则有a+1≤1或a ≥3，解得：a ≤0或a ≥3，故答案为：a ≤0或a ≥3．　
14．【答案】4
【解析】
考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1
【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现 及
ab 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为
2b 2a 正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列
不同形式
.111sin ,,(),
2224abc
ab C ah a b c r R
++15．【答案】BC
【解析】
【分析】验证发现，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的切线的集合，A ．M 中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=
=1，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的切线的集合，
A ．由于直线系表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点
（0，2）不可能，故A 不正确；
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察知点M （0，2）即符合条件，故B 正确；
C ．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 正确；
D ．如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC ．
16．【
解
析
】
17．【答案】　90°　．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．　
18．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B ﹣APQC 的体积，底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，B 到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B ﹣APQC 的底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，不妨把P 移到A ′，Q 移到C ，所求四棱锥B ﹣APQC 的体积，转化为三棱锥A ′﹣ABC 体积，就是：故答案为：
三、解答题
19．【答案】（1；（2．【解析】
试题分析：（1αα=⇒
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪
⎝⎭，
⇒cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
；（2）由（1）可得21cos 22cos 1364
ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
⇒sin 23πα⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭
⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=．
试题解析：（1αα+∴
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………6分
（2）由（1）可得2
21cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛
⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴sin 23πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．……………………………………10分
∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin
12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
．………………………………………………………………………………12分考点：三角恒等变换．
20．【答案】为等边三角形．ABC ∆【解析】
试题分析：由，根据正弦定理得出，在结合，可推理得到，2
sin sin sin A B C =2
a bc =2a
b
c =+a b c ==即可可判定三角形的形状．
考点：正弦定理；三角形形状的判定．21．【答案】（1）；（2）当时，；当时，；1m =-1e m e <-()()max 1h x m e =-1
e m e ≥-()max h x m =-（3）.
()
()2f x e
g x ->【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m 的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的
符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
试题解析：（1）设曲线与相切于点，()x
f x e =()
g x x m =-()00,P x y 由，知，解得，
()x
f x e '=0
1x e
=00x =又可求得点为，所以代入，得.
P ()0,1()g x x m =-1m =-（2）因为，所以.()()x
h x x m e =-()()()()
[]1,0,1x x x h x e x m e x m e x =+-=∈'--①当，即时，，此时在上单调递增，10m -≤1m ≤()0h x '≥()h x []0,1所以；
()()()max 11h x h m e ==-②当即，当时，单调递减，011m <-<12m <<()0,1x m ∈-()()0,h x h x '<当时，单调递增，.
()1,1x m ∈-()()0,h x h x '>()()()0,11h m h m e =-=-（i ）当，即时，；()1m m e -≥-21
e
m e ≤<-()()max 0h x h m ==-（ii ）当，即时，；
()1m m e -<-11
e
m e <<-()()()max 11h x h m e ==-③当，即时，，此时在上单调递减，
11m -≥2m ≥()0h x '≤()h x []0,1所以.()()min 0h x h m ==-综上，当时，；1
e
m e <-()()max 1h x m e =-当时，.1
e
m e ≥
-()max h x m =-（3）当时，，
0m =()()2
2,x f x e e e g x x --==①当时，显然；
0x ≤()
()2f x e g x ->②当时，，
0x >()
()2
22ln ln ,ln ln x f x e x e
e
e g x x ---===记函数，()221ln ln x x
x e x e x e
φ-=-=
⨯-则，可知在上单调递增，又由知，在
()22111
x x x e e e x x
φ-=⨯-=-'()x φ'()0,+∞()()10,20φφ''()x φ'上有唯一实根，且，则，即（*），
()0,+∞0x 012x <<()020010x x e x φ--'==020
1
x e x -=当时，单调递减；当时，单调递增，()00,x x ∈()()0,x x φφ'<()0,x x ∈+∞()()0,x x φφ'>所以，
()()02
00ln x x x e x φφ-≥=-结合（*）式，知，02
1
x e
x -=
002ln x x -=-
所以，
()()()
2
2
0000000
1211
20x x x x x x x x x φφ--+≥=+-==>则，即，所以.
()2
ln 0x x e x φ-=->2ln x e x ->2
x e e x ->综上，.
()
()2f x e
g x ->试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．22．【答案】（1），；（2
2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
26y x =-+【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线方程写出曲线的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）C C 由曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标，利用点到直线的距离公式求出点直线的距离，利用正C C P P 弦函数求出，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出的最大值与最小值.PA PA 试题解析：（1）曲线的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为.
C 2cos 3sin
x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩26y x =-+（2）曲线上任意一点到的距离为．C (2cos ,3sin
)P θθ|4cos 3sin 6|d θθ=
+-则，其中为锐角，且，当时，取|||5sin()6|sin 30
d PA θα==+-
α4
tan 3
α=sin(
)1θα+=-||PA .当时，sin()1θα+=||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.23．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=|x+2|﹣2|x ﹣1|≥﹣2，当x ≤﹣2时，x ﹣4≥﹣2，即x ≥2，∴x ∈∅；当﹣2＜x ＜1时，3x ≥﹣2，即x ≥﹣
，∴
﹣≤x ≤1；
当x ≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x ≤6，∴1≤x ≤6；综上，不等式f （x ）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x ≤6}
…
（2）
，
函数f （x ）的图象如图所示：
令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；
∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…（8分）
当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，
∴a≥2+，即a≥4时成立，
综上a≤﹣2或a≥4．…（10分）
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．
24．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）由已知S△ABD=××2×sin135°=1，
因而要使四面体MABD的体积为，只要M点到平面ABCD的距离为1，
因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．。