专题15三角函数与解三角形2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题15三角函数与解三角形第二缉
1．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC 的三个顶点到平面α的距离分别为1， 2，3，则△ABC 的重心G 到平面α的距离为_______． 【答案】{0，2
3，4
3，2} 【解析】
（1）当△ABC 的三个顶点在平面α的同侧时，由公式d =
ℎ1+ℎ2+ℎ3
3
求得重心G 到平面α的距离为2．
（2）当△ABC 的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α的异侧时，求得重心G 到平面α的距离分别为0，2
3，4
3．
故答案为：{0，2
3
，4
3，2}
2．【2018年贵州预赛】函数y =2(5−x)sin nx −1(0≤x ≤10)的所有零点之和等于________． 【答案】60 【解析】
函数y =2(5−x)sin nx −1(0≤x ≤10)的零点即为方程2(5－x )sinπx 在区间[0，10]上的解⇔函数y =2sinπx 的图像与函数y =1
5−x 的图像在区间[0，10]上的交点的横坐标．因为函数y =2sinπx 的图像与函数y =1
5−x 的图像均关于点(5，0)对称，且在区间[0，10]上共有12个交点（6组对称点)．每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60．
所以函数y =2(5－x )sinπ－1(0≤x ≤10)的所有零点之和等于60． 故答案为：60
3．【2018年浙江预赛】已知α，β∈(3π
4，π)，cos(α+β)=4
5，得sin(α+β)=−3
5，cos (α−π
4)=−5
13，所以cos (β+π
4)=_____
【答案】−5665 【解析】
cos (β+π
4)=cos (α+β)sin (α−π
4)=−56
65.
4．【2018年浙江预赛】在△ABC 中，AB +AC =7,且三角形的面积为4,则sin ∠A 的最小值为________. 【答案】3249
【解析】
由AB +AC =7⇒AB ×AC ≤
494
,
又12
AB ×ACsin∠A =4⇒sin∠A ≥3249
,AB =AC =7
2
时取等号.
5．【2018年浙江预赛】设x ，y ∈R 满足x −6√y −4√x −y +12=0，则x 的取值范围为________. 【答案】14−2√13≤x ≤14+2√13 【解析】
由x −6√y −4√x −y +12=0⇒(√x −y −2)2+(√y −3)2=1. 令√x −y −2=cosθ，
√y −3=sinθ⇒x =(2+cosθ)2+(3+sinθ)2=14+√52sin(θ+φ)(sinφ=√13)， 所以14−2√13≤x ≤14+2√13.
6．【2018年重庆预赛】在△ABC 中，sin 2A +sin 2C =2018sin 2B ，则(tanA+tanC)tan 2B
tanA+tanB+tanC =________． 【答案】
22017
【解析】
因为sin 2A +sin 2C =2018sin 2B 所以a 2+c 2=2018⋅b 2
注意到：tanA +tanB +tanC =tanA ⋅tanB ⋅tanC 故
(tanA+tanC)tan 2B tanA+tanB+tanC
=(tanA +tanC)tan 2B tanA ⋅tanB ⋅tanC =(1tanA +1
tanC
)tanB
=sin 2B
sinA⋅sinC ⋅1
cosB =b 2
ac (2ac
a 2+c 2−
b 2)=2b 2
2018b 2−b 2=2
2017． 故答案为：2
2017
7．【2018年陕西预赛】设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A −C =π
2.a,b,c 成等差数列，则cosB =________. 【答案】3
4 【解析】
分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C 表示∠A 与∠B ；根据a ，b ，c 成等差，得到2b =a +c ，利
用正弦定理实现边角转化。

得到关于∠C 的等式；由cosB =cos (π
2
−2C)=sin2C 即可得到最后的值。

详解：A +B +C =π ;A −C =π
2 所以A =π
2+C ,B =π
2−2C
同取正弦值，得sinA =sin(π
2+C)=cosC
sinB =sin(π
2
−2C)=cos2C
因为a ，b ，c 成等差，所以2b =a +c ，由正弦定理，边化角 2cos2C =cosC +sinC ，根据倍角公式展开
2(cosC +sinC )(cosC −sinC )=cosC +sinC
所以cosC −sinC =1
2，等式两边同时平方得
(cosC −sinC )2=1
4
，化简2sinCcosC =3
4
，即sin2C =3
4
而cosB =cos (π2
−2C)=sin2C =3
4
点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。

8．【2018年陕西预赛】设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A −C =π
2.a,b,c 成等差数列，则cosB =________. 【答案】3
4 【解析】
分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C 表示∠A 与∠B ；根据a ，b ，c 成等差，得到2b =a +c ，利用正弦定理实现边角转化。

得到关于∠C 的等式；由cosB =cos (π
2−2C)=sin2C 即可得到最后的值。

详解：A +B +C =π ;A −C =π
2
所以A =π2+C ,B =π
2−2C
同取正弦值，得sinA =sin(π
2+C)=cosC
sinB =sin(π
2
−2C)=cos2C
因为a ，b ，c 成等差，所以2b =a +c ，由正弦定理，边化角 2cos2C =cosC +sinC ，根据倍角公式展开
2(cosC +sinC )(cosC −sinC )=cosC +sinC
所以cosC −sinC =1
2，等式两边同时平方得
(cosC −sinC )2=1
4
，化简2sinCcosC =3
4
，即sin2C =3
4
而cosB =cos (π2
−2C)=sin2C =3
4
点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。

9．【2018年陕西预赛】设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A −C =π
2.a,b,c 成等差数列，则cosB =________. 【答案】3
4 【解析】
分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C 表示∠A 与∠B ；根据a ，b ，c 成等差，得到2b =a +c ，利用正弦定理实现边角转化。

得到关于∠C 的等式；由cosB =cos (π
2−2C)=sin2C 即可得到最后的值。

详解：A +B +C =π ;A −C =π
2 所以A =π
2
+C ,B =π
2
−2C
同取正弦值，得sinA =sin(π
2+C)=cosC
sinB =sin(π
2
−2C)=cos2C
因为a ，b ，c 成等差，所以2b =a +c ，由正弦定理，边化角 2cos2C =cosC +sinC ，根据倍角公式展开
2(cosC +sinC )(cosC −sinC )=cosC +sinC
所以cosC −sinC =1
2，等式两边同时平方得
(cosC −sinC )2=1
4，化简2sinCcosC =3
4，即sin2C =3
4
而cosB =cos (π
2
−2C)=sin2C =3
4
点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。

10．【2018年湖南预赛】函数f(x)=sinx +2|sinx|，x ∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，
则k的取值范围是_____. 【答案】1<k<3
【解析】
f(x)={3sinx,x∈[0,π].
−sinx,x∈[π,2π].作出其图像，可只有两个交点时k的范围为1<k<3.
故答案为：1<k<3
11．【2018年广东预赛】已知△ABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、
√3
成等比数列，则SΔABC:a2=___________.
【答案】√3
2
【解析】
因为A、B、C成等差数列，2B=A+C，3B=A+B+C=180°，因此B=60°.
又因为a、c、
√3成等比数列，所以c=qa，b=√3q2a
4
.
由正弦定理a
sinA =√3q2a
4sin60°
=qa
sin(120°−A)
，
整理得sinA=2
q2，√3
2
cosA=2
q
−1
q2
，(q−2)[3q3+5q2+4+(q−2)2]=0.
所以q=2，sinA=1
2
，A=30°，C=90°.
故SΔABC=1
2ab=√3
2
a2，所以SΔABC:a2=√3
2
.
故答案为：√3
2
12．【2018年贵州预赛】如图，在△ABD中，点C在AD上，∠ABC=π
2，∠DBC=π
6
，AB=CD=1．则AC=____．
【答案】x=√2
3【解析】
在△ABD中，AD
sin120∘=1
sinD
⇒sinD=√3
2(x+1)
（其中AD=x）①
在△BCD中，BC
sinD =1
sin30∘
⇒√x2−1
sinD
=2⇒sinD=√x2−1
2
②
由①②得√3
2(x+1)=√x2−1
2
⇒(x+1)√x2−1=√3⇒x4+2x3−2x−4=0
⇒(x+2)(x3−2)=0，因为x+2>0，∴x3=2．即x=√2
3．
故答案为：x=√2
3
13．【2018年贵州预赛】函数y=2(5−x)sinπx−1(0≤x≤10)的所有零点之和等于__________.
【答案】60
【解析】
函数y=2(5−x)sinπx−1(0≤x≤10)的零点，即为方程2(5−x)sinπx−1=0在区间[0,10]上的解.等价于
函数y=2sinπx的图象与函数y=1
5−x
的图象，在区间[0,10]上的交点的横坐标.因为函数y=2sinπx的图象与
函数y=1
5−x
的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间[0,10]上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数y=2(5−x)sinπx−1(0≤x≤10)的所有零点之和等于60.
14．【2018年广西预赛】设sinx+cosx=1
2
.则sin3x+cos3x=________.
【答案】11
16
【解析】
由sinx+cosx=1
2⇒1+2sinx⋅cosx=1
4
⇒sinx⋅cosx=−3
8
⇒sin3x+cos3x =(sinx+cosx)(sin2x−sinx⋅cosx+cos2x)
=1
2(1+3
8
)=11
16
.
15．【2018年安徽预赛】函数f(x)=|sin2x+sin3x+sin4x|的最小正周期=_________.
【答案】2π
【解析】
f(x)=|1+2cosx|⋅|sin3x|，其中|1+2cosx|的最小正周期是2π，|sin3x|的最小正周期是π
3
.
故答案为：2π
16．【2018年湖北预赛】若对任意的θ∈[0,π
2
]，不等式4+2sinθcosθ−asinθ−acosθ<0恒成立，则实数a 的最小值为______.
【答案】4
【解析】
设x=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π
4
)，则
2sinθcosθ=x2−1.
当θ∈[0,π
2
]时，可得1≤x≤√2.
不等式4+2sinθcosθ−asinθ−acosθ≤0，即x2−ax+3≤0，所以
a ≥x +3
x
.
当1≤x ≤2时，函数f (x )=x +3
x
单调递减，可得
a ≥f (1)=1+3=4. 故实数a 的最小值为4.
17．【2018年湖北预赛】设G 为ΔABC 的重心，若BG ⊥CG,BC =√2，则AB +AC 的最大值为______. 【答案】2√5 【解析】
设BC 的中点为D ，因为BG ⊥CG ，故ΔBCG 是直角三角形，所以GD =1
2BC =
√2
2
. 又因为G 为ΔABC 的重心，所以AD =3GD =
3√2
2
. 由三角形的中线长公式可得AD 2=1
4(2AB 2+2AC 2−BC 2)，所以 AB 2
+AC 2
=2AD 2
+1
2BC 2
=2⋅(3√22)
2
+1
2⋅(√2)2
=10.
所以AB +AC ≤2√
AB 2+AC 2
2
=2√5，当且仅当AB =AC 时等号成立.
故AB +AC 的最大值为2√5.
18．【2018年河北预赛】在△ABC 中，AC =3，sinC =ksinA(k ≥2)，则△ABC 的面积最大值为_____. 【答案】3 【解析】
由正弦定理将sinC =ksinA 变形为c =ka ，其中c =AB,a =BC .
以线段AC 所在直线为x 轴，以AC 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (−3
2,0),C (3
2,0)，B (x,y )，
由c =ka 得√(x +32)2
+y 2=k √(x −3
2)2
+y 2
两边平方整理得(k 2−1)x 2+(k 2−1)y 2−(3k 2+3)x +9
4(k 2−1)=0 因为k ⩾2，所以上述方程可化为为x 2+y 2−(3k 2+3)k 2−1
x +9
4=0
由此可知点B
的轨迹是以(3(k 2+1)
2(k 2−1
),0)为圆心，以r
=3k k 2−1为半径的圆.所以当点B 在圆上运动时，点B 到x
轴的最大距离为半径r =3k
k 2−1，所以△ABC 的面积S =1
2×3×3k
k 2−1(k ⩾2)=9
2×1k−
1k
在k ⩾2上单调递减，所
以S max =9
2×
12−
12
=3.
19．【2018年河北预赛】已知
√3cosθ+1
>1．则tanθ的取值范围是________．
【答案】(−∞,−√2]∪(√3
3
,√2] 【解析】 由条件知√
3cosθ+1
>1⇔cosθ+
√3
3
>√3点表示单位圆上的动点P (cosθ,sinθ)与点M (−
√3
3
,0)连线的斜率大于√3．
作图可得点P 在圆弧AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上运动，含点A (−√33
,√63
)和点C (−√33
,−√63
)，不含点B (0,1)和点D (−√33
,−12
)．如
图：
而tanθ表示原点与点P 连线的斜率，由图计算得tanθ∈(−∞,−√2]∪(√3
3,√2]． 故答案为：(−∞,−√2]∪(
√3
3
,√2] 20．【2018年河北预赛】在△ABC 中，AC =3，sinC =ksinA(k ≥2)，则△ABC 的面积最大值为_____. 【答案】3 【解析】
由正弦定理将sinC =ksinA 变形为c =ka ，其中c =AB,a =BC .
以线段AC 所在直线为x 轴，以AC 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (−3
2,0),C (3
2,0)，B (x,y )，
由c =ka 得√(x +32
)2
+y 2=k √(x −3
2
)2
+y 2
两边平方整理得(k 2−1)x 2+(k 2−1)y 2−(3k 2+3)x +9
4(k 2−1)=0 因为k ⩾2，所以上述方程可化为为x 2
+y 2
−(3k 2+3)k 2−1
x +9
4=0
由此可知点B 的轨迹是以(
3(k 2+1)
2(k 2−1)
,0)为圆心，以r =3k k 2−1为半径的圆.所以当点B 在圆上运动时，点B 到x
轴的最大距离为半径r =3k
k 2−1，所以△ABC 的面积S =1
2×3×3k
k 2−1(k ⩾2)=9
2×1k−
1k
在k ⩾2上单调递减，所
以S max =9
2×
12−
12
=3.
21．【2018年四川预赛】在ΔABC 中，cosB =14
，则1
tanA
+
1tanC
的最小值为______.
【答案】
2√15
5
【解析】
由cosB =1
4，知sinB =√1−cos 2B =√15
4
. 于是1
tanA +1
tanC =
cosA
sinA
+cosC
sinC =sinB
sinAsinC .
注意到
0<sinA⋅sinC=−1
2[cos(A+C)−cos(A−C)]=−1
2
[−cosB−cos(A−C)]=1
8
+1
2
cos(A−C)≤1
8
+1
2
=5
8
，
当且仅当A=C时等号成立.于是，
1 tanA +1
tanC
≥√15
4
×8
5
=2√15
5
，
所以，所求的最小值是2√15
5
.
故答案为：2√15
5
22．【2018年浙江预赛】已知α,β∈(3π
4,π)，cos(α+β)=4
5
，sin(α−π
4
)=12
13
，则cos(β+π
4
)=________.
【答案】−56
65【解析】
由α,β∈(3π
4,π)，cos(α+β)=4
5
，得sin(α+β)=−3
5
，cos(α−π
4
)=−5
13
，
所以cos(β+π
4)=cos(α+β)cos(α−π
4
)+sin(α+β)sin(α−π
4
)=−56
65
.
故答案为：−56
65
23．【2018年浙江预赛】在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.
【答案】32
49
【解析】
由AB+AC=7⇒AB×AC≤49
4
,
又1
2AB×ACsin∠A=4⇒sin∠A≥32
49
,AB=AC=7
2
时取等号.
24．【2018年辽宁预赛】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a2+b2=2019c2，则cotC
cotA+cotB
=_____. 【答案】1009
【解析】
由题得cotC
cotA+cotB =sinAsinBcosC
sin2C
=ab
c2
·a2+b2−c2
2ab
=2019c2−c2
2c2
=1009.
故答案为：1009
25．【2018年江西预赛】若三个角x、y、z成等差数列，公差为π
3
，则tanxtany+tanytanz+tanztanx=______．【答案】−3
【解析】
根据x =y −π3，z =y +π
3， 则tanx =
√31+√3tany
tanz =
√31−√3tany
．
所以tanxtany =
2√3tany 1+√3tany
tanytanz =
2√3tany 1−√3tany
tanztanx =tan 2y−3
1−3tan 2y ．
则tanxtany +tanytanz +tanztanx =9tan 2y−3
1−3tan 2y =−3． 故答案为：-3
26．【2018年山西预赛】计算cos 2π7
cos
4π7
cos
6π7
的值为________.
【答案】1
8 【解析】 记S =cos 2π7cos
4π7
cos
6π
7
，则−S ⋅8sin π7=8sin π7⋅cos π7cos 2π7
cos
4π7
=4sin
2π7
⋅cos
2π7
cos
4π7
=2sin
4π7
cos
4π7
=
sin
8π7
=−sin π7
，所以，S =18
.
27．【2018年湖南预赛】如果函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点(4π
3,0)中心对称，那么|φ|的最小值为_____. 【答案】π
6
【解析】
由y =3cos(2x +φ)得图象关于点(4π
3,0)中心对称知， f (4π
3)=0，即8π
3+φ=kπ+π
2(k ∈Z)， 即φ=kπ−
8π3
+π
2(k ∈Z).因此，|φ|的最小值为
|φ|min =|(k −2)π−π6|min
=π
6.
故答案为：π
6
28．【2018年湖南预赛】若3sin 3x +cos 3x =3，则sin 2018x +cos 2018x 的值为__________. 【答案】1 【解析】
首先由3sin 3x +cos 3x =3可知，必有sinx ≥0，否则cos 3x =3−3sin 3x ≥3，矛盾. 又由sin 3x ≤sin 2x,cos 3x ≤cos 2x ，
因此有3=3sin 3x +cos 3x ≤3sin 2x +cos 2x =1+2sin 2x ， 解得sin 2x ≥1.因此有sinx =1以及cosx =0，故有
sin 2018x +cos 2018x =1.
故答案为：1
29．【2018年福建预赛】在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．若a =2，b =3，C =2A ，则cosC =______．
【答案】14 【解析】
由C =2A ，知sinC =sin2A =2sinAcosA ．
结合正弦定理，得c =2acosA ．
由a =2，b =3，及余弦定理，得c =2acosA =2a ⋅
b 2+
c 2−2a 22bc ，c =4×9+c 2−46c ． 所以c 2=10，c =√10．故cosC =a 2+b 2−c 22ab =4+9−102×2×3=14．
30．【2018高中数学联赛B 卷（第01试）】设α,β满足tan (α+π3)=−3,tan (β−π6)=5，则tan(α−β)的
值为
. 【答案】−74
【解析】由两角差的正切公式可知tan ((α+π3)−(β−π6))=−3−51+(−3)×5=47
， 即tan (α−β+π2)=47，从而tan(α−β)=−cot (α−β+π2)=−74.
31．【2017高中数学联赛A 卷（第01试）】在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点若∠A =π3，
△ABC 的面积为√3，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .
【答案】√3+1
【解析】由条件知，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=18
(3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 由于√3=S △ΩBC =12⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sinA =√34⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，进一步可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosA =2. 从而AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⩾18
(2√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =√34
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3+1. 当|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√34|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√34时，AM ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为√3+1.
32．【2017高中数学联赛B 卷（第01试）】在△ABC 中，若sinA =2sinC ，且三条边a 、b 、c 成等比数列，则cosA 的值为
. 【答案】−√24
【解析】由正弦定理知，a c =sinA sinC =2，又b 2=ac ，于是a :b :c =2:√2:1，从而由余弦定理得，cosA =
b 2+
c 2−a 22bc =√2)222
2×√2×1=−√24
. 33．【2017年河北预赛】设函数f (x )=x 3+x ,若0≤θ≤π2时,f (m cos θ)+f (1−m )>0恒成立,则实数m 的
取值范围为
. 【答案】m <1
【解析】提示：易知f (x )为奇函数且在R 上为增函数.
因为f (m cos θ)+f (1−m )>0,所以f (m cos θ)>−f (1−m )=f (m −1)，
所以m cos θ>m −1对0≤θ≤π2恒成立,
令t =cos θ,则0≤t ≤1.
故mt −m +1>0对0≤t ≤1恒成立.
所以{−m +1>0,m −m +1>0
，故m <1. 34．【2017年河北预赛】函数f (x )=sin (π4x −π6)−2cos 2
π8x +1的图象与函数y =g (x )的图象关于直线x =1
对称,当x ∈[0,43
]时,g (x )的最大值为 . 【答案】√32
【解析】提示:f (x )=sin (π4x −π6)−cos π4x =√32sin π4x −32cos π4x =√3sin (π4x −π
3), 在函数y =g (x )的图象上任取一点(x,g (x )),其关于直.线x =1的对称点为(2−x,g (x )),
依题意(2−x,g (x ))在函数y =f (x )的图象上,
从而g (x )=f (2−x )=√3cos (π4x +π3)当0≤x ≤43时,π3≤π4x +π3≤2π3,
故g (x )在[0,43]上的最大值为g (0)=√3cos π3=√32.
35．【2017年河北预赛】正三角形ABC 的边长为2√3,其所在平面内的两个动点P,M 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
则|CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为 .
【答案】52
【解析】提示:依题意,动点P 在以A 为圆心,半径为1的圆上,M 为线段PB 的中点.
设D 为线段AB 的中点,则|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12
,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⩾||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||， 所以当且仅当CD
⃗⃗⃗⃗⃗ 与DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 反向共线时,|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小, 此时|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =3−12=52.。