华师版八年级数学上册第11章2 实数

较实数的大小 对于数轴上的任意两个点， 右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
知3－讲
特别解读 1. 在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致
位置. 2. 借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的
任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.
知3－练
例 3 用“<”号连接下列各数：－12， 3，－2 2，2.5，0. 解题秘方：根据“在数轴上右边的点表示的数总比 左边的点表示的数大”求解.
特别提醒
知1－讲
1. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只
有无限不循环小数才是无理数. 例如：0.3ሶ 是无限小数，
但不是无理数.
2. 某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一 定都是无理数. 例如 4，3 27 就不是无理数.
知1－练 3
例 1 下列各数：3.141 59，－ 8，0.131 131 113…(每相邻
14＜(－1)2＜π.
知3－练
知识点 4 实数的性质
知4－讲
1. 相关概念 (1)相反数：实数a的相反数为－a，若a，b互为相反数，则 a＋b＝0；
(2)倒数：非零实数a的倒数为
1 a
，若a，b互为倒数，则ab＝1；
(3)绝对值：|a|＝ቊa－(aa(≥a<0)0，).
知4－讲
2. 比较实数的大小 (1)定义法：正数大于0，0大于一切负数. (2)性质法：两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝 对值大的数反而小.
负实数集合：{ －12，－ 3，－π，－ 1139，－4.2ሶ 01ሶ …}.
知2－练
2-1. 把下列各数填入相应的集合内：
－3.141 519 26，
3
2，
27，474，π3，0.2ሶ 1ሶ ，0，－3
2，
12327，0.101 001 000 100 001…(每相邻两个1之间0的个 数逐次加1).
知2－练
解：
知2－练
知识点 3 实数与数轴
知3－讲
1. 实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一 对应的.
(1)“一一对应”包含着两层含义：①每一个实数都可以用数 轴上的一个点来表示；②数轴上的每一个点都表示一个 实数.
(2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点 A、点B在数轴上表示的数分别为x1，x2，则AB＝|x1－x2|.
知5－练
知5－练
(3)| 3－2|＋2 3； 解：| 3－2|＋2 3＝2－ 3＋2 3＝2＋ 3.
3
(4) 5＋ 5－5.021(精确到0.01).
3
5＋ 5－5.021≈2.236＋1.710－5.021＝－1.075≈－1.08.
实数
有理数 定义 实数
无理数
数轴 性质 运算
幂 方根
特别提醒
知5－讲
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运
算的过程中，要做到：
一“看”——看算式的结构特点能否运用运算律或公式；
二“用”——运用运算律或公式；
三“查”——检查过程和结果是否正确.
例 5 计算：(1) 25＋2.34－π(精确到0.1)； (2)( 3＋ 5)( 2－1)(精确到0.01)；
3
3，－ 8，π，2 024这五个数
中，无理数的个数为( A )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
1-2. [中考·巴中]下列各数为无理数的是( C )
A. 0.618
B.
22 7
C. 5
D. 3 －27
知识点 2 实数
知2－讲
1. 定义 有理数和无理数统称实数. 特别解读：(1)在实数范围内，一个数不是有理数，那 么它一定是无理数，反之亦成立.
第11章 数的开方
11.2 实数
1 课时讲解 无理数
实数 实数与数轴 实数的性质
2 课时流程 实数的运算
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 无理数
知1－讲
1. 定义 无限不循环小数叫做无理数. 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环.
知1－讲
2. 三种常见形式 (1)开方开不尽得到的数，如 3，3 5，…；
2. 实数的运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：(ab)c＝a(bc)； 乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.
知5－讲
3. 运算种类
运算级别 运算名称 运算结果
第一级 加减 和差
知5－讲
第二级 乘除 积商
第三极 乘方 开方
A. － 3
B. － 1 3
C. ± 3
4-2. 计算|－ 17|的结果是( A )
A. 17
B. － 17 C. 17
知4－练
D. 3 D. －17
知识点 5 实数的运算
知5－讲
1. 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算 时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运 算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先 算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照 自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
知4－讲
特别提醒 1. 在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝
对值)在实数范围内依然适用. 2. 对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个
反例即可.
例 4 求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
知4－练
(1) 2； (2)－ 5； (3) 694； (4)2－ 3 . 解题秘方：利用实数的性质求相反数、倒数、绝 对值.
无理数集合：{ － 3， 32，－π，3.101 001 000 1…(每相 邻两个1 之间0 的个数逐次加1) …}；
整数集合：{ －3 －8，0…}；
分数集合：{ －12，92，－ 1139，－4.2ሶ 01ሶ …}；
知2－练
正实数集合：{ 32，92，－3 －8，3.101 001 000 1…(每相邻 两个1 之间0 的个数逐次加1) …}；
知3－练
解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图11.2-1所示.
由图可知，－2 2 < －12 <0< 3 <2.5 .
知3－练
3-1. 已知下列实数：π，－|－2|，0，
1 4
，(－1)2，
3
－27
，
将它们在如图所示的数轴上表示出来，并把这六个实
数用“<”号连接起来.
解：如图所示．
3
－27<－|－2|<0<
(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数， 今后我们研究计算问题时，若没有特殊说明，就应在
实数范围内进行.
2. 分 类
(1)按定义分类：
实数
有理数
正整数 整数 ቐ 0
负整数
分数 ቊ正负分分数数
无理数 ቊ正 负无无理理数数
知2－讲
(2)按性质分类：
正实数 ቊ正正有无理理数数 实数 0
负实数 ቊ负负有无理理数数
知2－练
－12，－ 3， 32，92，－3 －8，0，－π，－1139， －4.2ሶ 01ሶ ，3.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间0 的个 数逐次加1). 解题秘方：根据有理数、无理数等概念进行分类时，
3
应注意先把一些数进行化简再判断，如－ －8＝2 .
知2－练
有理数集合：{ －12，92，－3 －8，0，－ 1139， －4.2ሶ 01ሶ …}；
知5－练
3
(3)( －216＋
2 14＋3 64)×
(－01.1)2.
解题秘方：在进行实数的运算时，有理数的运算法
则及运算性质等同样适用.
解：(1) 25＋2.34－π ≈ 12×2.24＋2.34 －3.14 ≈ 0.3 .
知5－练
(2)( 3 ＋ 5 )( 2 － 1) ≈ (1.732 ＋ 2.236)×(1.414 － 1) ＝
(2)含有π的一类数，如13π，15π，π＋1，…； (3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如
0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0).
知1－讲
3. 无理数与有理数的区别 (1)有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限 不循环小数； (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分 母为1的分数)，而无理数不能写成分数的形式.
知4－练
解：(1) 2的相反数是－ 2，倒数是 1 ，绝对值是 2. 2
(2)－ 5的相反数是 5，倒数是－ 1 ，绝对值是 5. 5
(3) 694＝38，则它的相反数是－38，倒数是83，绝对值是38.
(4)2－
3的相反数是
3－2，倒数是2－1
，绝对值是2－ 3
3.
4-1. － 3的相反数是( D )
知2－讲
特别解读
知2－讲
●实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法，
都要按同一标准，做到不重复不遗漏.
●0既不是正实数也不是负实数.
●对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后
根据最后结果进行分类. 不能看到带根号的数，就认为
是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数.
例 2 把下列各数填入相应的集合内：
两个3 之间依次多一个1)，π－5， 2＋1，－272中， 无理数有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解题秘方：根据无理数的三种形式去辨析.
知1－练
解：因为3.141 59 是有限小数，所以3 .141 59是有理数.
3
3
因为－ 8＝－2，所以－ 8是有理数. 因为0.131 131 113…
(每相邻两个3 之间依次多一个1)是无限不循环小数，所以
0.131 131 113…(每相邻两个3 之间依次多一个1)是无理数.
因为π是无理数，所以π－5是无理数.因为 2是无理数，所
以 2＋1 是无理数.因为－ 272是分数，所以－272是有理数. 答案：C
知1－练
1-1. [中考·常德改编]在3137，
3.968×0.414 ≈ 1.64 .
3
(3)( －216＋
2
1＋ 3 4
64)×
(－01.1)2＝(－6＋32＋4)×10＝
－0.5×10 ＝－5 .
5-1. 计算：
(1)( 7－ 6)＋ 6；
解：( 7－ 6)＋ 6＝ 7－ 6＋ 6＝ 7.
(2)12 5－3 6；
1 2
5－3
5＝－52
5.