2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课时作业

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
课时作业 A 组——基础对点练
1．(2018·郑州模拟)命题“∃x 0∈R ，x 2
0－x 0－1＞0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2
－x －1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2－x －1＞0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0 D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0
解析：依题意得，命题“∃x 0∈R ，x 2
0－x 0－1＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
－x －1≤0”，选A. 答案：A
2．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2
≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2
＜0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0
解析：命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2
≥0”的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 2
0＜0”，故选C. 答案：C
3．(2018·沈阳模拟)命题p ：“∀x ∈N *
，(12)x ≤12”的否定为( )
A ．∀x ∈N *
，(12)x ＞12
B ．∀x ∉N *
，(12)x ＞12
C ．∃x 0∉N *
，(12)x 0＞12
D ．∃x 0∈N *
，(12)x 0＞12
解析：命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“(12)x ≤12”改为“(12)x 0＞1
2”即可，故选
D. 答案：D
4．(2018·武昌调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－3)
C．(－3,1)
D．(1，＋∞)
解析：依题意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a ＞1，故选A.
答案：A
5．已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a＜c＜b；命题q：“x2－x－6＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
解析：因为0＜a＝0.30.3＜0.30＝1，b＝1.20.3＞1.20＝1，c＝log1.20.3＜log1.21＝0，所以c ＜a＜b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2－x－6＞0可得x＜－2或x＞3，故“x2－x－6＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)∧q为真命题，选C. 答案：C
6．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x0∉R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x0
解析：全称命题的否定是特称命题：∃x0∈R，x20＝x0，选D.
答案：D
7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( ) A．綈p：∀x∈A,2x∉B
B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x0∉A,2x0∈B
D．綈p：∃x0∈A,2x0∉B
解析：由命题的否定易知选D，注意要把全称量词改为存在量词．
答案：D
8．命题“存在实数x0，使x0＞1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x0，使x0≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x0，使x0≤1
解析：由特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对任意实数x，都有x≤1，故选C.
答案：C
9．已知命题p ：“a ＝2”是“直线l 1：ax ＋2y －6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0平行”的充要条件，命题q ：“∀n ∈N *
，f (n )∈N *
且f (n )＞2n ”的否定是“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *
且f (n 0)≤2n 0”，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )
D ．(綈p )∧(綈q )
解析：由l 1∥l 2得a (a －1)＝2，解得a ＝2或a ＝－1，故“a ＝2”是“直线l 1：ax ＋2y －6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0平行”的充分不必要条件，则p 是假命题，綈p 是真命题；“∀n ∈N *
，f (n )∈N *
且f (n )＞2n ”的否定是“∃n 0∈N *
，f (n 0)∉N *
或f (n 0)≤2n 0”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∧(綈q )均为假命题，(綈p )∧(綈
q )为真命题，选D.
答案：D
10．已知命题p ：∀x ∈R ，e x
－x －1＞0，则綈p 是( ) A ．∀x ∈R ，e x
－x －1＜0 B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0 C ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1＜0 D ．∀x ∈R ，e x
－x －1≤0
解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，e x
－x －1＞0，则綈p ：∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0.故选B. 答案：B
11．下列命题错误的是( )
A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题
B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2
＜14成立的概率是π16
C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 2
0＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≥0” D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件 解析：选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2＜14成立的a ，b ∈(0，12)，故不等式a 2＋b 2
＜14成立的概率是
14×π×1
2
2
1×1
＝π
16
，正确；选项C ，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3
，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3
的极值点，错误，故选D. 答案：D
12．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2
＞y 2
.在命题①p ∧q ；②p ∨
q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C. 答案：C
13．已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－5x 0－5≤0”，则綈p 为__________． 答案：∀x ∈R ，e x
－5x －5>0
14．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2
≥0”的否定是__________． 答案：∃x 0∈R ，|x 0|＋x 2
0<0
15．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π
2
；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线
x ＝π2
对称．则下列判断正确的是__________．
①p 为真 ②綈q 为假 ③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真
⑤綈p ∧綈q 为真 ⑥綈(p ∨q )为真． 解析：p 、q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假 綈p ∧綈q 为真，綈(p ∨q )为真． 答案：③⑤⑥
B 组——能力提升练
1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
解析：命题p ：若a·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0，是假命题；q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，是真命题．因此p ∨q 是真命题，其他选项都不正确，故选A. 答案：A
2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．(綈p )∨(綈q ) B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨q
解析：綈p ：甲没有降落在指定范围；綈q ：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p 或綈q 发生．故选A.
答案：A
3．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －3≤03x －y ＋3≥0
x －2y ＋1≤0
的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D,2x ＋
3y ≥－1；p 2：∃(x ，y )∈D,2x －5y ≥－3；p 3：∀(x ，y )∈D ，y －12－x ≤1
3；p 4：∃(x ，y )∈D ，
x 2＋y 2＋2y ≤1.其中的真命题是( )
A ．p 1，p 2
B ．p 2，p 3
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －3≤03x －y ＋3≥0
x －2y ＋1≤0
表示的区域，如图中阴影部分所示，其中A (0,3)，
B (－1,0)，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋y ＝3
x －2y ＋1＝0得{ x ＝1y ＝1，即C (1,1)，对于p 1，因为2×(－1)＋0≤
－1，故p 1是假命题，排除A ；对于p 2，将C (1，1)代入2x －5y ＋3＝0得到2×1－5×1＋3＝0，说明点C (1,1)在2x －5y ＋3＝0上，故p 2是真命题，排除D ；对于p 3，因为3－1
2－0＝1＞
1
3
，故p 3是假命题，排除B ，故选C.
答案：C
4．(2018·山西八校联考)已知命题p ：存在n ∈R ，使得f (x )＝nxn 2
＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q ：“∃x ∈R ，x 2
＋2＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋2＜3x ”．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧q C ．p ∧綈q
D ．綈p ∧綈q
解析：当n ＝1时，f (x )＝x 3
为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x ∈R ，x 2
＋2＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，綈p ∧q ，綈p ∧綈q 均为假命题，
p ∧綈q 为真命题，选C.
答案：C
5．(2018·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是( ) A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln b
B ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的条件是m ＝1
C ．命题“∀n ∈N *,3n
＞(n ＋2)·2
n －1
”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2
n －1
”
D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题
解析：A 中，因为函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数，所以若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错；B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错；C 中，命题“∀n ∈N *,3n
＞(n ＋2)·2
n
－1
”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2
n －1
”，故C 错；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在
区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”，该逆命题是假命题，如函数f (x )＝x
2
－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，故D 正确，选D. 答案：D
6．命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，使得函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上无零点，则下列命题中是真命题的是( )
A ．綈p
B ．p ∧q
C ．(綈p )∨q
D ．p ∧(綈q )
解析：设h (x )＝x ＋
a
x ＋1.当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
6
>0, 则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，
∴g (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，故选D.
答案：D
7．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )
A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0
B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0
C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0
D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0
解析：∵f ′(x )＝3cos x －π，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对
∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，∴p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，∴綈
p ：∃x 0∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
，f (x 0)≥0.故选C.
答案：C
8．若命题“∃x 0∈R ，使得x 2
0＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[－6，－2] C ．(2,6)
D ．(－6，－2)
解析：由题意知不等式x 2
＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2
－4(2m －3)≤0，解得2≤m ≤6，所以实数m 的取值范围是[2,6]，故选A. 答案：A
9．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝e x
，g (x )＝x ＋1，则关于f (x )，g (x )的语句为假命题的是( )
A ．∀x ∈R ，f (x )>g (x )
B ．∃x 1，x 2∈R ，f (x 1)<g (x 2)
C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝g (x 0)
D ．∃x 0∈R ，使得∀x ∈R ，f (x 0)－g (x 0)≤f (x )－g (x )
解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝e x
－1，于是当x <0时F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x >0时F ′(x )>0，F (x )单调递增，从而F (x )有最小值F (0)＝0，于是可以判断选项A 为假，其余选项为真，故选A. 答案：A
10．(2018·郑州质测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x
＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，
使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2
D ．a ≥2
解析：由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，
所以5≥4＋a ，即a ≤1. 答案：A
11．已知p ：∃x 0∈R ，mx 2
0＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2
＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2
B ．m ≤－2
C ．m ≤－2或m ≥2
D ．－2≤m ≤2
解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2
＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2
－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.
答案：A
12．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(綈q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( ) A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名 B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名 C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名 D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
解析：(綈q )∧r 是真命题意味着綈q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；
p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于
还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D. 答案：D
13．若“∀x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．
解析：由题意可知，只需m ≥tan x 的最大值．
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，y ＝tan x 为增函数，当x ＝π4时，y ＝tan x 取最大值1.
∴m ≥1. 答案：1
14．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．
解析：由“∀x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，可得－1≤tan x ≤1，∴0≤tan x ＋1≤2，∴实数m 的最大值为0. 答案：0
15．命题“存在x 0＞－1，x 2
0＋x 0－2 018＞0”的否定是________．
解析：特称命题的否定是全称命题，故命题“存在x 0＞－1，x 2
0＋x 0－2 018＞0”的否定是“任意x ＞－1，x 2
＋x －2 018≤0”． 答案：“任意x ＞－1，x 2
＋x －2 018≤0”
16．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2
＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2
＋mx ＋1＞0恒成立．若p
∧q为假命题，则实数m的取值范围为__________．
解析：由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1，由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，若命题p、q均为真命题，则此时－2＜m≤－1.因为p∧q为假命题，所以命题p、q中至少有一个为假命题，所以m≤－2或m＞－1.
答案：m≤－2或m＞－1。