【必考题】高三数学下期末一模试题及答案(1)

【必考题】高三数学下期末一模试题及答案(1)
一、选择题
1．若复数21i z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i
B ．1−i
C ．−1+i
D ．−1−i 2．若圆
与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11
3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A ．由两个圆锥组合成的
B ．由两个圆柱组合成的
C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
4．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）
A ．536
B ．29
C ．16
D ．19
5．如果42π
π
α<<，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．sin cos tan ααα<<
B ．tan sin cos ααα<<
C ．cos sin tan ααα<<
D ．cos tan sin ααα<< 6．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
7．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ）
A ．49
B ．29
C ．12
D ．13
8．函数()1ln 1y x x
=-+的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知复数
，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
10．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）
A ．22
B ．1
C ．2
D ．2 11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）
A ．32
B ．0.2
C ．40
D ．0.25
12．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移
8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( )
A ．
B ．
C ．0
D ．4
π- 二、填空题
13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．
15．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．
16．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.
17．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.
18．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 19．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且22
EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；
③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
20．()sin 5013tan10+=o o ________________.
三、解答题 21．已知曲线C ：
（t 为参数）， C ：（为参数）． （1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线
（t 为参数）距离的最小值．
22．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.
（1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()
g t 的表达式.
23．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a C y a
⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
2cos()
124
πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．
24．定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.
（1）求(1)(1)f f -、的值；
（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；
（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.
25．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比
数列，12a =，324b b =+.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c 满足*221
1()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.
26．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)
z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.
2．C
解析：C
【解析】
试题分析：因为()()22
226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以
250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
1=9m ⇒=,故选C. 考点：圆与圆之间的外切关系与判断
3．D
解析：D
【解析】
【分析】 根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案.
【详解】
根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．D
解析：D
【解析】
掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,
∴P=
41369
=. 故选D 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.
【详解】
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，
样本在[)20,40的数据个数为459+=，
因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.
【详解】
甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基
本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122
P A B ==，故选C. 【点睛】 本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项．
【详解】
0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
9．A
解析：A
【解析】
在复平面内对应的点坐标为在第一象限，故选A.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c 2a =
则该双曲线的离心率为 e 2c a
=
=， 故选C ．
【点睛】
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 11．A
解析：A
【解析】
试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．
解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为
所以中间一组的频数为160×0.2=32
故选A
点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．
12．B
解析：B
【解析】 得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，
sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.
二、填空题
13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni 解析：18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取30060181000
⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．
14．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：12
- 【解析】
【详解】
因为，
所以
，① 因为
， 所以
，② ①②得
， 即
， 解得
， 故本题正确答案为
15．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以
【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】
【分析】
根据222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a .
【详解】
因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，
由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=， 111201 2.2a a a a -=∴=±>∴=+Q ，，，
【点睛】 （1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
16．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径 解析：33493【解析】
【分析】
做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.
【详解】
正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2
1642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到0323sin 60
= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABC h S ⨯⨯V 代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 3393 【点睛】
这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 17．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：1015
π 【解析】
【分析】
先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.
【详解】
由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，
令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=
, ∴sin 5SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+， 计算得，28110112020R =
+= ， 所以210145S R ππ==
. 故答案为101.5
π 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
18．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用
解析：64
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12
a q ==.所
以2(1)1712(1)
22212118()22n n n n n n n
n a a a a q L L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a L 取得最大值6264=.
考点：等比数列及其应用
19．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③
【解析】
【分析】
对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值．
【详解】
对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；
对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；
对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误． 综上知①②③正确，故答案为①②③
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1
【解析】
【分析】
利用弦化切的运算技巧得出()cos103sin10sin 50cos 0sin 5013t 1an10++=⋅o o
o
o o o ，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.
【详解】
原式
()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40sin50cos10cos10cos10++=⋅==o o o o o o o o o o o
()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10
-====o o o o
o o o . 故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题
21．（Ⅰ）为圆心是（，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）
【解析】
【分析】
【详解】
（1）
为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（2）当时，
，故 的普通方程为，到的距离
所以当时，取得最小值
. 考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.
22．（1）2()210f x x x =-（2）223268,,22535(),,22
25210,,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩
【解析】
(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()
0,5，所以可设()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a 值，从而求出f(x)的解析式.
（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),
∴可设()(5)(0).f x ax x a =->
()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=
由已知，得612,a =2,a ∴=
2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈
（2）由（1）知2
2525()2102.22f x x x x ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭，开口向上，对称轴为52x = ①当512t +≤，即32
t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2221101268g t t t t t ∴=+-+=--
②当52
t ≥时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-
③当512t t ≤≤+，即3522
t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭
23．（1）曲线C ：2
213
x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=；（2）1. 【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积
试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2
213
x y +=，
由cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．
（2）直线1l
的参数方程为122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 代入2
213
x y +=
化简得：2220t -=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，
121MA MB t t ∴⋅==．
24．(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1{|}2x x ≤
【解析】
试题分析：
(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；
(2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；
(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2
x x ≤.
试题解析：
（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；
（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0， ()f x ∴是偶函数；
（3）又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=，当0x >时，()f x 递增，由
()()12f x f x +≤-，得()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是
1{|}2
x x ≤. 25．（1）2n n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简
221
1log log n n n c a a +=（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可． 【详解】
（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①
n≥2时，a1+a2+a3+…+a n﹣1＝2b n﹣1②
①﹣②可得：a n＝2（b n﹣b n﹣1）（n≥2），∴a3＝2（b3﹣b2）＝8
∵a1＝2，a n＞0，设{a n}公比为q，
∴a1q2＝8，∴q＝2
∴a n＝2×2n﹣1＝2n
∴
()
1231
212
222
2222
12
n
n n
n
b+
-
=++++==-
-
L，
∴b n＝2n﹣1．
（2）证明：由已知：()
221
1111
1n n1
n
n n
c
log a log a n n
+
===-
++．
∴
123
1111111
11
1223n n11
n
c c c c
n
L L
++++=-+-++-=-<
++
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.
26．（1）证明见解析；（2）
3
5
.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】
(1)如图所示，连结11
,
A E
B E，
等边1
AAC
△中，AE EC
=，则
1
A E AC
⊥，
平面ABC⊥平面11
A ACC，且平面ABC∩平面
11
A ACC AC
=，
由面面垂直的性质定理可得：1A E⊥平面ABC，故1A E BC
⊥，
由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ，
结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.
(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()
1330,3,0,,0,0,3,3,02A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则： ()()13333,,330223333,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()
3,1m =u r ，333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 此时4cos ,53552EF m EF m EF m ⋅===⨯⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ，
设直线EF与平面1A BC所成角为θ，则
43 sin cos,,cos
55
EF m
θθ
===
u u u r u r
.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。