2020年中考数学考点第23讲与圆有关的计算

第23讲 与圆有关的计算
1．弧长与扇形面积的相关计算
(1)半径为r 的圆的周长：C ＝2πr ；半径为r ，n °的圆心角所对的弧长：l ＝n πr
180
；
(2)半径为r 的圆的面积：S ＝πr 2
；半径为r ，圆心角为n °，弧长为l 的扇形面积：S 扇形＝n πr 2
360＝1
2
lr.
2．圆锥的侧面积和全面积
(1)圆锥与其侧面展开图的关系：圆锥侧面展开图是扇形；
圆锥底面周长＝其侧面展开所得扇形的弧长；圆锥母线长＝其侧面展开所得扇形的半径； (2)圆锥侧面积＝底面周长×母线长
2
＝πrl ；
圆锥全面积＝侧面积＋底面积＝πrl ＋πr 2
(r 表示底面圆半径，l 表示圆锥的母线长)．
3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法：直接用公式求解；
(2)割补法：将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解；
(3)拼凑法：将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影移位后，组成规则图形求解； (4)等积变形构造方程法：将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解； (5)去重法：将阴影部分图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差求解．
考点1：弧长计算
【例题1】（2019•湖北武汉•3分）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是»AB （异于A.B ）上两点，C 是¼MN
上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是（ ）
A ．2
B ．
2
C ．
3
2
D ．
52
【分析】如图，连接EB ．设OA ＝r ．易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是»GF
，点C 的运动轨迹是¼MN
，由题意∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EB ．设OA ＝r ．
∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵E 是△ACB 的内心， ∴∠AEB ＝135°， ∵∠ACD ＝∠BCD ，
∴»AD ＝»DB
，
∴AD ＝DB r ， ∴∠ADB ＝90°，
易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是»GF
，点C 的运动轨迹是¼MN ， ∵∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α
∴¼»MN
GF 的长的长
＝2180a r πg g ÷． 故选：A ．
归纳：1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可．
2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长．边长为a 的正n 边形的渐开线第m 段弧长为2π×ma n .
考点2：阴影部分面积的计算
【例题2】如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为________.
解析：如图，连接CD ，作DM⊥BC，DN ⊥AC.DF 交BC 于点G ，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，
点D 为AB 的中点，∴DC ＝12AB ＝1，四边形DMCN 是正方形，DM ＝22，则扇形FDE 的面积是：90π×12
360＝π
4，
∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，∴CD 平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN ⊥AC ，∴DM ＝DN ，∵∠GDH
＝∠MDN＝90°，∴∠GDM ＝∠HDN ，在△DMG 和△DNH 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠DMG＝∠DNH ∠GDM＝∠HDN DM ＝DN ，∴△D MG≌△DNH(AAS )，
∴S 四边形DGCH ＝S 四边形DMCN ＝12，则阴影部分的面积是：π4－1
2
归纳：在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：
(1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积； (2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积； (3)可以利用等积变换求阴影部分的面积； (4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；
(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积． 考点3： 关于圆锥的计算
【例题3】（2019浙江丽水3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．
D 2
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝2AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝2AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝2AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝2AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝2×1＝2．
故选：D．
一、选择题：
1. （2019，山东枣庄，3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）
A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π
【答案】C
【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣
2
454
360
πg g
＝8﹣2π，
故选：C．
2. （2018•山东淄博•4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（）
A．2π B．8
3
π
C．
3
4
π
D．
4
3
π
【答案】D
【解答】解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC的长为803
180
π
⨯⨯
=
4
3
π
，
故选：D．
3. （2018•山东滨州•3分）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）
A．25
36
π
B．
125
36
π
C．
25
18
π
D．
5
36
π
【答案】C
【解答】解：如图：连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，
∴劣弧的长=505
180
π
⨯⨯
=
25
18
π
，
故选：C．
4. （2019，四川巴中，4分）如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（）
A．15πB．30πC．45πD．60π
【答案】D
【解答】解：圆锥的母线l＝＝＝10，
∴圆锥的侧面积＝π•10•6＝60π，
5. （2018·湖北十堰·3分）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）
A．12π+18B．12π+36C．6D．6
【答案】C
【解答】解：如图，连接OD，AD，
∵点C为OA的中点，
∴OC=OA=OD，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，
∴CD=，6，
∴S扇形AOD==24π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）
=﹣﹣（24π﹣×6×6）
=18+6π．
故选：C．
二、填空题：
6. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．
【答案】
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，
∴阴影部分的面积是=π，
故答案为：
7. （2019▪湖北黄石3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经
过C.D两点的⊙O分别交AC.BC于点E.F，AD＝3，∠ADC＝60°，则劣弧»CD的长为4
3
π．
【答案】4
3
π．
【解答】解：连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB 交AB 于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝23，
在Rt△FCD中，CF＝
cos30
CD
︒
＝
23
3
2
＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧
»CD的长＝1202
180
π⨯
＝
4
3
π，
故答案为
4
3
π．
8. （2018·山东青岛·3分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是﹣π．
【答案】﹣π
【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为：=
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB=AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为：×3×3=
∵△OAF的面积为：×2×=，
∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π
故答案为：﹣π
9. （2019•山东泰安•4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、
点C ，交OB 于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为 34
π ．
【答案】34
π ． 【解答】解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，
∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，
∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6，
由勾股定理得，OB ＝22AB OA -＝33，
∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，
∴△AOC 为等边三角形，
∴∠AOC ＝60°，
∴∠COB ＝30°，
∴CO ＝CB ，CH ＝12OC ＝32
， ∴阴影都分的面积＝2603360πg g ﹣12×3×3×32+12×33×32﹣2303360
πg g ＝34π， 故答案为：34
π．
三、解答题：
10. （2018•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．
（1）求证：AE=ED ；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴．
11. （2019•山东省德州市•12分）如图，∠BPD＝120°，点A.C分别在射线PB.PD上，∠PAC＝30°，AC ＝23．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A.C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段PA.PC围成的封闭图形的面积．
【考点】扇形的面积
【分析】（1）过A.C 分别作PB.PD 的垂线，它们相交于O ，然后以OA 为半径作⊙O 即可
（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP ，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断PB.PC 为⊙O 的切线；
（3）先证明△OAC 为等边三角形得到OA ＝AC ＝AP ＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC 与线段PA.PC 围成的封闭图形的面积进行计算．
【解答】解：（1）如图，
（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点A.C 分别在射线PB.PD 上，∠PAC＝30°，AC ＝过A.C 分别作PB.PD 的垂线，它们相交于O ，以OA 为半径作⊙O，OA⊥PB，
求证：PB.PC 为⊙O 的切线；
证明：∵∠BPD＝120°，PAC ＝30°，
∴∠PCA＝30°，
∴PA＝PC ，
连接OP ，
∵OA⊥PA，PC⊥OC，
∴∠PAO＝∠PCO＝90°，
∵OP＝OP ，
∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL ）
∴OA＝OC ，
∴PB.PC 为⊙O 的切线；
（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°，
∴△OAC 为等边三角形，
∴OA＝AC ＝，∠AOC＝60°，
∵OP 平分∠APC，
∴∠APO＝60°，
＝2，∴劣弧AC 与线段PA.PC 围成的封闭图形的面积＝S 四边形APCO ﹣S 形AOC ＝2×12×2
＝﹣2π．
12. (2018·河北模拟)如图，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D.
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；
(2)若PD ＝163 cm ，AC ＝8 cm ，则图中阴影部分的面积为25π－482
cm 2； (3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．
【解析】：(1)证明：连接OC ，
∵PA 切⊙O 于点A ，
∴∠PAO＝90°.
∵OP∥BC，
∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB.
∵OC＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB.
∴∠AOP＝∠COP.
在△PAO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOP＝∠COP，OP ＝OP ，
∴△PAO≌△PCO(SAS )．
∴∠PAO＝∠PCO＝90°.
又∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线．
(3)连接AE ，BE ，过点B 作BM⊥CE 于点M ，
∴∠CMB＝∠EMB＝90°，∠AEB＝90°.
又∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ︵＝BE ︵.
∴∠ECB＝∠ACE＝12
∠ACB＝45°. 又∵∠CMB＝90°，
∴∠CBM＝45°.∴BM＝CM.
在Rt △BCM 中，由勾股定理，得CM 2＋BM 2＝BC 2，即CM 2＋BM 2＝36，
∴CM＝BM ＝3 2 cm .
又∵∠ABE＝∠ACE＝45°，
∴在Rt △AEB 中，BE ＝AB·cos ∠ABE＝5 2 cm .
在Rt △BEM 中，由勾股定理，得
EM ＝BE 2－BM 2＝（52）2－（32）2＝42(cm )，
∴CE＝CM ＋EM ＝7 2 cm ，
即CE 的长为7 2 cm .
13. （2019•湖北武汉•8分）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN 于D.C 两点．
（1）如图1，求证：AB 2＝4AD •BC ；
（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC.OD ，证明△AOD ∽△BCO ，得出AD BO ＝OA BC
，即可得出结论； （2）连接OD ，OC ，证明△COD ≌△CFD 得出∠CDO ＝∠CDF ，求出∠BOE ＝120°，由直角三角形的性质得出BC ＝3，OB 3，图中阴影部分的面积＝2S △OBC ﹣S 扇形OBE ，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OC.OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE＝180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE＝1
2
∠ADE，∠OCE＝
1
2
∠BCE，
∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，
∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，
∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，
∴AD OA BO BC
,
∴OA2＝AD•BC，
∴（1
2
AB）2＝AD•BC，
∴AB2＝4AD•BC；
（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），
∴∠CDO＝∠CDF，
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°，
在Rt△DAO，AD＝
3
3
OA，
Rt△BOC中，BC＝3OB，∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB＝3，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×1
2
×3×3﹣
2
120(3)
360
π⨯
＝33﹣π．。