统计学平均指标与标志变异指标

下限公式： Mo LMo
1 1 2
d Mo
上限公式：
Mo
U Mo
2 1 2
d Mo
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（二）中位数（Me） ※ 中位数是将数列中的标志值按大小顺序
排列，处于中间位置的那个标志值。 ※ 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端
的标志值个数相等 ※ 中位数不受极端值的影响 ※ 当数列中出现极大标志值或极小标志值时，
极差是总体各单位标志值中最大值与最小 值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。
其计算公式为： R＝最大值－最小值
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（二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从
变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。
常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。
bx a
22 x
即有：
3、如果两xy个变量x2 和独y2 立，它x2们y的代x2数和 y2的标准
差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数
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4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有：
2 2 2
组内方差——反映组内部标志值对组平均数的方 差 组间方差——反映组平均数对总平均数的方差 总方差——表示总体第各39页标/共志51页值对总平均数的方差
（三）标准差和方差的数学性质
1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。
若a 为任意常数，则变y量 x a
的
标准
差和
方差与原
xa
变量相x，同，x2即a有:
2 x
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2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y bx
的标准差和方差分别为原来的 b
倍b和2
倍
b
bx a
x
b 2
的 一般水平和集中趋势，并受数列中每一个标志值
变 动的影响。
数值平均数主要有： 第5页/共51页
（一）算术平均数（ ）
※ 是一种最广泛、最常用的x平均 数，它是
将总体各单位某一数量标志之和求得标志总量后，除以总体单 位总数。
其基本公式如下：
算术平均数 总体标志总量 总体单位总量
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※ 根据所掌握的资料不同，算术平均数可以分 为
f
2
S Me1
f Me
d Me
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（三）分位数 ※ 中位数是从中点将全部数据等分为两部分 ※ 与中位数类似的还有四分位数（quartile）、 十分位数（decile）和百分位数（percentile）。 它们分别是用三个点、9个点和99个点将数据4 等份、10等份和100等份后各分位点上的值。
i 1
(x x)2 f f
x2 f x2 f
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（二）方差
标准差的平方即为方差，在抽样调查、相关
分析以及质量控制中应用较多。
其计算公式为：
n
(xi x)2
2 i1
(x x)2
n
n
n
或：
(xi x)2 fi
2 i1
(x x)2 f第36页/共51页
2
(x x)2 f
f
(1
p)2n (0 1n
p)2n 0
q2 p p2q pq( pq) pq p(1 p)
p(1 p)
当 p = q = 0 . 5 时 ， “第420页-/共15分1页布 ” 的 方 差 有 最 大 值 ，
六、变异系数
当水平不同或计量单位不同的总体之间比较
离散程度时，不能直接用平均差（标准差、极差)
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2、由单项式数列计算中位数
在资料分组为单项式数列时，先计算单项式
数列的向上或向下累计次数，累计次数第一次超 过
中位数位置的哪一组即为中位数所在组，该组的
标
中位数位置 f
2
志值即为中位数。中位数的位置公式为：
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3、由组距式变量数列计算中位数 在资料分组为组距式变量数列时，先计算组距
※ 根据数据资料的不同，用来作为权数的主要 有
两种形式：一种是数据的各可能值——变量出现
的
次x数（
频x数ff ） ，x1 另f1 一x种2 f是2 频f率。x其n f计n
算
公
式
为
：
x1
f1 f
x2
f2 f
xn
fn f
xf f
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※ 当各组的权数相同时，即 f1 f2 fn ，分
式变量数列的向上或向下累计次数，累计次数第一 次超过中位数位置的哪一组即为中位数所在组，中 位数的位置公式为：
中位数位置 f 2
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然后根据中位数组的上限、下限计算中位数的
值，其计算公式为：
下限公式： 上限公式：
Me LMe
f
2
S Me1
f Me
d Me
Me U Me
（x x）2 f 最小
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（二）调和平均数（H）
•
又称倒数平均数，它是对变量的倒数求
平均，然后再取倒数而得到的平均数。
作为算术平均数的一种变形，一种特定
意义上的加权调和平均数在统计中具有相当
强的实用性。
调和平均数有简单调和平均数与加权调 和
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1、简单调和平均数
H
三、位置平均数 亦称描述平均数，是反映数据结构特点的
位置特征的平均数。 与数值平均数不同的是，位置平均数通常
不是对统计数列的所有各项数据进行计算的结果， 而是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或者 部分单位的标志值来确定的代表值。
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（一）众数（Mo ） ※ 是指总体中出现次数最多的标志值 ※ 是一种位置平均数 ※ 不受极端值的影响 ※ 若总体中有两个或两个以上标志值的次数 都比较集中，就可能有两个或两个以上众数 ※ 若总体单位数少或虽多但无明显集中趋势， 就不存在众数。
A.D i1
n
xx f
n
fi
f
i 1
或：
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四、标准差与方差
（一）标准差
标准差是总体各单位标志值对其算术平均 数
的离差平方的算术平n均数的平方根，又称均方
差。
(xi x)2
其计算公式为 ：i1 n
(x x)2
x2 x2
n
n
或：
n
(xi x)2 fi
i 1
n
fi
等变异指标，而要用变异系数（平均差系数、
标准差系数、极差系数等）。其计算公式为：
变异系数
变异指标 平均指标
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平均差系数的计算公式为：
VA.D
A.D x
极差系数、标准差系数的计算公式分别为：
VR
R x
V
x
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第三节 偏度与峰度
一、矩及测度
“矩”又称为“动差”，本是一个力学概念，
简单算术平均数： 根据未经分组的原始数据求平均时，一般 计算简单算术平均数。多用于数据量较少的情况。 加权算术平均数： 当数据量较大时，我们一般以频率或频数为 权数，计算加权平均值。
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1、简单算术平均数
※ 简单算术平均数就是直接将各变量值相加，
再除以变量值的个数。简单算术平均数在资料
总量在总体各单位之间数值差异抽象化 3、平均指标是说明现象在一定历史条件下的
一般水平 4、计算平均指标应以大量观察法为基础
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※平均数的分类
静态平均数 平均数
动态平均数
数值平均数
算术平均数 调和平均数 几何平均数
位置平均数
众数 中位数 分位数
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二、数值平均数 ※ 数值平均数是对统计数列的所有各项数据计算 的平均数，它能够概括整个数列中所有各项数据
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四分位差 计算四分位差的目的是排除部分极端值
对变异指标的影响。其计算公式为：
Q.D Q3 Q1 2
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三、平均差
平均差是总体各单位标志值对其算术平均数
的
A.D
n
离差的绝对值的算 术A.D平均i数1 ，xi 平x均差以x x 表示。
其计算公式为：
n
n
xi x fi
2、加权几何G平均数 f
x f1 1
x f2 2
xnfn
f xf
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（四）三种平均数的关系 可以证明，对于任意一组大于0的数据 ，其调和平均数H、几何平均数G
和算术平均x1,数x2 , 之, x间n 存在有如下关系：
x
H Gx
三者相等当且仅当
x1 。x2 xn
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1
n
n
1 1 ... 1
x1 x2
xn
1 1 ... 1
1
x1 x2
xn
x
n
2、H加 权调和1平均数 m1 m2 ... mn m
m1 m2 ... mn m1 m2 ... mn
m
x1 x2
xn x1 x2
xn
x
m1 m2 ... mn
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※ 调和平均数和算术平均数的关系
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※ 众数的计算 1、由未分组资料或单项式数列计算众数
在资料未分组或分组资料为单项式数列时， 可以直接观察标志值出现的次数，找出次数最多 的标志值，即为众数。
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2、由组距数列计算众数
在资料分组为组距数列时，先在组距数列中
确定众数所在的组，然后再利用上下限公式计算
众数。其计算公式为：
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第二节 标志变异指标
一、标志变异指标概述 （一）标志变异指标的概念
是反映总体各单位标志值之间差异程度的 指标，它反映总体变量的分布特征、变动范围 或离散程度。 （二）标志变异指标的作用
1、是衡量平均数代表性的尺度 2、反映社会经济现象变动的均匀性和稳定性
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二、极差与分位差 （一）极差（全距）
五、成数指标
又称为“是非”标志或交替标志，将总体分成
具有某种性质和不具有某种性质两部分,我们所关 心
标志的称为“是”，另一部分称为“非”。
设总体的n个单位中，具有某种特p征的nn1单位数
是
q
n n0
1
p
n1个，不具有某种特征的单位数是n0个，
n1+n0=n 。
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• 是非标志数量化： x 1 （当单位具有某种特征）
标
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（三）几何平均数（G） 是若干变量值的连乘积的n次方根。 说明事物在一段时间按几何级数规律变化
的 平均水平。 ※ 它主要用来计算平均比率和平均发展速度 几何平均数根据掌握的资料是否分组分为 简单几何平均数和加权几何平均数两种方
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1、简单几何平均数
G n x1x2 xn n x
表示作用力、力臂与其平衡点之间的数量关系。
在统计学中，可以通过利用一系列的“矩”
指标来描述分布的特征。前面所学的算术平均数、
n
n
方差以及平(x均i 差a等)k ，都可以看成是(矩xi 的 特a)例k f。i
※ 平均指标的作用： 1、可以消除因总体不同而带来的总体数量上的
差异，从而使不同的总体可以对比 2、可以对比同一现象在不同时间的一般水平，
反映这类现象发展变化的规律性 3、利用平均指标可以分析现象之间的依存关系 4、利用平均指标估计、推算其他有关指标
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※ 平均指标的特点： 1、平均指标必须应用于同质总体 2、平均指标是一种代表值，它是将总体标志
中位数比数值平均数更具有代表性。 ※ 在缺乏计量手段时，也可用中位数近似地
代替算术平均数。
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※ 中位数的计算
1、由未分组资料计算中位数
当资料为未分组的原始资料时，先对数列按
标
志
值
大
小
x1
排≤序x2，≤排
序≤结x果n
为
：
然后按排序结中果位确数定位中置位数n的2位1 置，中位数
的位置公式为：
组
资料可以不考虑权数，而采用简单算术平均数，
计其算x公式x为1
f 1
：
x 2
f 2
f
x n
f
n
x n
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3、算术平均数的数学性质
（1）算术平均数与各个变量值的离差之和为零
或：
（x x） 0
（x x）f 0
（2）算术平均数与各个变量值的离差平方和为最小。
（x x）2 或最：小
未经分组整理的情况下应用，其计算公式为：
n
x
x1x2 xn
xi
i 1
xi
x
n
n nn
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2、加权算术平均数 ※ 当资料已经分组，整理成变量数列时，可以 使用加权算术平均数来计算。其计算公式为：
x x1 f1 x2 f2 xn fn xf
f1 f2 fn
f
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调和平均数是算术平均数的变形。权数m 为
各组的标志总量,即m = xf。
调H和平均数m和算术平xf 均数的x关f 系如x 下：
m x
xf x
f
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※ 从相对数（或平均数）求平均数时:
若已知的是相对数（或平均数）的分子指 标 时，用调和平均数计算；
若已知的是相对数（或平均数）的分母指
0 （当单位不具有某种特征）
“0—1分布”
标志表现 标志值 x
是
1
非
0
合计
—
次数 f n1 n0
n
x xf “0—1分f
1n 1
0 n
n 0
n n1
布”的平均数为：
p
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标志表现 标志值 x
次数 f
(x x)2
是
1
非
0
n1
(1 p)2
n0
(0 p)2
合计
—
n
—
“0—1分布”的标准差为：