高考数学 优编增分练：10+7标准练2

[76分] 10＋7标准练2
1．设集合A ＝{x |－1<x <4，x ∈N }，B ＝{x |log 2x <3}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,4) B ．{1,2,3} C ．{0,1,2,3} D ．{2,3}
答案 B
解析 由题可得，A ＝{0,1,2,3}，由log 2x <3，得0<x <8，所以集合B ＝(0,8)，所以A ∩B ＝{1,2,3}，故选B.
2.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －2x 6的展开式中x 2项的系数为( ) A ．240 B ．－240 C ．160 D ．－160 答案 A
解析 二项展开式的通项T k ＋1
＝C k
6⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 6－k (－2x )k ＝C k 6·(－2)k x 2k －6，令2k －6＝2，解得k ＝4，所以x 2项的系数为C 46(－2)4＝240.故选A.
3．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)等于( ) A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．4 答案 B
解析 ∵y ′＝4x 3＋2ax ，∴－4－2a ＝8， ∴a ＝－6，∴f (－1)＝1＋a ＋1＝－4.
4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π
6个单位长度后得到函数y ＝sin 2x ＋
3cos
2x 的图象，则φ的可能值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π
12
答案 A
解析 将函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，
可得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，
所以φ的可能值为0.
5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1 000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2 000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱共有( ) A ．2×106枚 B ．2.02×106枚 C ．2.025×106枚 D ．2.05×106枚
答案 B
解析 由题意可知，可构成一个首项为70，末项为31，项数为40，公差为1的等差数列，则和为S ＝40×()
70＋312＝2 020，故这一堆铜钱共有2 020×1 000＝2.02×106(枚)．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2＋π
B ．1＋π
C ．2＋2π
D ．1＋2π
答案 A
解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成， 则V ＝1×1×2＋1
2
×π×12×2＝2＋π.
7．若实数a，b，d，e满足3≤a≤b≤d≤e≤12，则a
b＋d
e的最小值是( )
A．2 B. 2 C．1 D.
2 2
答案 C
解析因为a≥3，e≤12，b≤d，
所以a
b＋d
e≥
3
b＋
d
12
≥
3
d＋
d
12
≥2
3
12
＝1，
当且仅当a＝3，e＝12，b＝d＝6时等号成立，
故a
b＋
d
e的最小值为1，故选C.
8.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是( )
A ．y ＝x
2|x |
B ．y ＝2|x |－2
C ．y ＝e |x |－|x |
D ．y ＝2|x |－x 2 答案 D
解析 对于A ，函数y ＝x
2
|x |，
当x >0时，y >0，当x <0时，y <0，不满足题意； 对于B ，当x ≥0时，y ＝f (x )单调递增，不满足题意； 对于C ，当x ≥0时，y >0，不满足题意． 9．若双曲线C ：x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被抛物线y ＝4x 2所截得的弦长为
32
，则双曲线C 的离心率为( ) A.1
4 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C
解析 不妨设双曲线C ：x 2a
2－
y 2b 2
＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx ＋ay ＝0，与抛物线
方程联立，
得⎩⎪⎨⎪⎧
bx ＋ay ＝0，y ＝4x 2，
消去y ，得4ax 2＋bx ＝0， Δ＝b 2>0，设两交点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2＝－b
4a ，x 1x 2
＝0，
所以x 1，x 2中有一个为0，一个为－b
4a
，
所以所截得的弦长为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋b 2a 2×b 216a 2＝32， 化简可得bc 4a 2＝3
2
，bc ＝2
3a 2，(c 2－a 2)c 2＝12a 4，
e 4－e 2－12＝0，得e 2＝4或－3(舍)，
所以双曲线C 的离心率e ＝2.
10．如图1，已知正三角形ABC 的边长为6，O 是底边BC 的中点，D 是AB 边上一点，且
AD ＝2，将△AOC 绕着直线AO 旋转，在旋转过程中，若DC 的长度在[19，22]内变化，
如图2，则点C 所形成的轨迹的长度为( )
A.π2
B.3π4 C ．π D.3π
2 答案 A
解析 方法一 ∵△ABC 为正三角形，O 为BC 的中点， ∴AO ⊥OB ，AO ⊥OC ，
∴∠BOC 是二面角B －AO －C 的平面角，记∠BOC ＝θ.
如图，过点D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，连接CE ，则DE ∥AO ，OE ＝1，OC ＝3，DE ＝2
3AO
＝2
3，则DC →＝DE →＋EO →＋OC →，其中〈OE →·OC →〉＝θ，即〈EO →，OC →
〉＝π－θ，
∴DC →2＝(DE →＋EO →＋OC →)2＝DE →2＋EO →2＋OC →2＋2EO →·OC →
＝(23)2＋12＋32＋2×1×3×cos
〈EO →
，OC →
〉＝22－6cos θ，则DC →2
＝22－6cos θ∈[19,22]，即cos θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，12，即点C
转过的角度为π2－π3＝π
6
.
点C 的轨迹为以O 为圆心，以OC 为半径的一段圆弧，弧长为3×π6＝π
2
.
方法二 ∵△ABC 为正三角形，O 为BC 的中点，∴AO ⊥OB ，AO ⊥OC ，∴∠BOC 是二面角
B －AO －
C 的平面角，记∠BOC ＝θ.如图，过点
D 作D
E ⊥OB ，垂足为E ，连接CE ，则DE
∥AO ，OE ＝1，OC ＝3，DE ＝2
3
AO ＝2
3，
则EC 2＝OC 2＋OE 2－2OC ·OE ·cos θ＝10－6cos θ， 在Rt △DCE 中，DC 2＝DE 2＋EC 2＝(23)2＋10－6cos θ＝22－6cos θ，
则
DC 2＝22－6cos θ∈[19,22]，即
cos θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，12，
即点C 转过的角度为π2－π3＝π
6
.
点C 的轨迹为以O 为圆心，以OC 为半径的一段圆弧，弧长为3×π6＝π
2
.
11．已知i 为虚数单位，2
－1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________，a ＋b i 的共轭复数
在复平面内对应的点位于第________象限．
答案－2 二
解析
2－1＋
i
＝－1－i，则a＝－1，b＝－1，∴a＋b＝－2，a＋b i的共轭复数在复平面内对应的点为(－1,1)，位于第二象限．
12．(2018·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
答案
21
7
3
解析如图，由正弦定理
a
sin A
＝
b
sin B
，
得sin B＝
b
a·sin
A＝
2
7
×
3
2
＝
21
7
.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
13．已知实数x，y满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋2y≥0，
x－y≤0，
0≤y≤m，
若z＝x＋y的最大值为6，则m＝________，此时
z1＝2x＋y的最小值为________．
答案 3 －9
解析
作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥0，x －y ≤0，
0≤y ≤m
所表示的区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图可
知，当直线z ＝x ＋y 过点A (m ，m )时，z 取得最大值6，所以m ＝3.当直线z 1＝2x ＋y 过点B (－6,3)时，z 1取得最小值，最小值为－9.
14．甲、乙同学参加“中学生辩论赛”的选拔测试，在相同的测试条件下，甲、乙5次测试的成绩(单位：分)如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 58 55 76 92 88 乙
65
82
87
85
95
若从甲、乙5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，则抽到的2个成绩中高于80分的个数
X 的期望为________，方差为________．
答案 65 2
5
解析 由题意知，X 的所有可能取值为0,1,2，且从甲、乙5次的成绩中各随机抽取1次，甲的成绩高于80分的概率P 1＝25，乙的成绩高于80分的概率P 2＝4
5，
则P (X ＝0)＝35×15＝3
25，
P (X ＝1)＝25×15＋35×45＝14
25
，
P (X ＝2)＝25×4
5＝8
25
.
X 的分布列为
期望E (X )＝0×3
25＋1×1425＋2×825＝6
5
，
方差为3
25×⎝ ⎛⎭⎪⎫65－02＋1425×⎝ ⎛⎭⎪⎫65－12＋825×⎝ ⎛⎭⎪⎫65－22＝2
5
.
15．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋9－a |＋1在区间[0,3]上的最大值是8，则实数a 的值为________． 答案 2或12
解析 令t ＝x 2－4x ＋9，
若x ∈[0,3]，则5≤t ≤9，y ＝|t －a |＋1，
当a <5时，y ＝t －a ＋1，最大值为9－a ＋1＝8，得a ＝2； 当5≤a ≤7时，f (x )的最大值为9－a ＋1＝8，得a ＝2(舍去)； 当7<a ≤9时，f (x )的最大值为a －5＋1＝8，得a ＝12(舍去)； 当a >9时，f (x )的最大值为a －5＋1＝8，得a ＝12. 综上，实数a 的值为2或12.
16．已知点A 在以O 为圆心、2r 为半径(r >0)的圆上，点B 在以O 为圆心、r 为半径的圆上，若对任意的t ∈R 总有|OA →＋OB →|－|OA →＋tOB →
|≤0，则∠AOB 的大小为________． 答案 2π3
解析 方法一 记OA →＝a ，OB →
＝b ，a ，b 的夹角为θ， |a |＝2r ，|b |＝r ，
则对任意的t ∈R ，不等式|a ＋b |≤|a ＋t b |恒成立，
平方得a 2＋2a ·b ＋b 2≤a 2＋2t a ·b ＋t 2b 2， 整理得t 2＋4t cos θ－(4cos θ＋1)≥0，
则Δ＝16cos 2θ＋4(4cos θ＋1)＝4(2cos θ＋1)2≤0， 所以cos θ＝－1
2
.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π
3.
方法二 记OA →＝a ，OB →
＝b ， |a |＝2r ，|b |＝r ，
则任意t ∈R ，不等式|a ＋b |≤|a ＋t b |恒成立．
当a ，b 共线时显然不合题意，则a ，b 不共线，分别作出OC →＝a ＋b ，OD →
＝a ＋t b ，且点D 在直线AC 上，如图所示．
欲使|a ＋b |≤|a ＋t b |恒成立，则∠ACO ＝π
2，
又|a |＝2r ，|b |＝r ，
所以∠AOC ＝π6，∠AOB ＝2π
3
.
17．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，且F 1，F 2在x 轴上，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝2π
3，则椭圆和双曲线的离心率之积的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 方法一 设椭圆方程为x 2a 21＋
y 2
b 21
＝1(a 1>b 1>0)，
离心率为e 1，半焦距为c ，满足c 2＝a 21－b 21
，
双曲线方程为x 2a 22－y 2
b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，
离心率为e 2，半焦距为c ，满足c 2＝a 22＋b 22
， 不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是它们在第一象限的一个公共点， 则由椭圆与双曲线的定义得，
⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得
(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－4c 22(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝－12
， 整理得4c 2＝3a 21＋a 22，即3×a 21c 2＋a 22c 2＝4， 即3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22＝4－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e 12. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1e 1>1，
1e 2∈(0，1)，令t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e 12， 则t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＝－3t 2＋4t ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43
， ∵函数f (t )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43上单调递减，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43
∈(0,1)， 即e 1e 2的取值范围为(1，＋∞)．
方法二 设椭圆方程为x 2a 21＋y 2
b 21＝1(a 1>b 1>0)，
离心率为e 1，半焦距为c ，满足c 2＝a 21－b 21
， 双曲线方程为x 2a 22－y 2
b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，
离心率为e 2，半焦距为c ，满足c 2＝a 22＋b 22
， 不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是它们在第一象限的一个公共点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n >0，
在△F 1PF 2中，由余弦定理可得m 2＋n 2＋mn ＝4c 2，
则由椭圆与双曲线的定义，得⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2， 则1e 1·1e 2＝a 1a 2c 2＝m 2－n 24c 2＝m 2－n 2
m 2＋n 2＋mn
＝m 2＋n 2＋mn －(2n 2＋mn )
m 2＋n 2＋mn ＝1－2＋m n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n 2＋m n
＋1， 令t ＝2＋m n
>3， 则1e 1·1e 2＝1－t t 2－3t ＋3＝1－1t ＋3t
－3， ∵函数g (t )＝1－1t ＋3t
－3在(3，＋∞)上单调递增，
∴1
e1·1
e2∈(0,1)，
即e1e2的取值范围为(1，＋∞)．。