吉林省辽源市2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题理201708250340

2016-2017学年度下学期高二期末考试
理科数学试题
一．选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共 60分） 1．设集合 M
{x | 2x
1
1, x
R}， N x
x
x ，则 M N 等于（ ）
{ | log
1,
R}
2
A.[3,4)
B.(2,3]
C.(1,2)
D.(0,1)
2．在复平面内，复数 z 满足 z 1 i 1 3i ，则 z 的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
x
q
a 2
b 2 ab 4
3．命题 p ：“
x 0 R , 使 2 0
0 ”，命题 ：“
且
是
成立的充分条件”，
则下列命题为假命题的是（ ） A.
p q B. p q C. p q D. p q
4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、 丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、 巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十 为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是“干支 纪年法”中的丙申年，那么 2017年是“干支纪年法”中的（ ） A. 丁酉年
B. 戊未年
C. 乙未年
D. 丁未年
5．下列求导运算正确的是（ ） A.
2x
' x
2x B.
3
' 3
1
x
x
e
e
1
1
x
cos x x sin x C. x
2
' 2x D.
'
x x
cos x cos x
2
2
6．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1个球，摸到红球、白球和黄 1 1
1 球的概率分别为 ，
，
，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3次，则
2
3 6
记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ） 5
1
5
A.
B.
C.
D.
36 3 12
1 2
7． 已 知 两 个 随 机 变 量 X ,Y 满 足 X 2Y 4， 且 X ～ N (1,22 ) ， 则 E Y , D Y
依 次 是
（ ）
313 A．B．C．D．,2,1,1
2221
2
,2
8．设12
x a a x a x a x a x a x a x a x，则代数式7234567
01234567
a a a a a a
a
1223344556677
的值为（）
1
A. -14
B. -7
C. 7
D. 14
9．如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜
色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（）
A. 360种
B. 320种
C. 108种
D. 96种
10．已知直线ax by20与曲线y x3在点P1,1处的切线互相垂直，则a的值为
b
（）
12
2
1 A. B. C. D.
3333
11．已知函数f(x)ln x ln(2x)，则( )
A. y f(x)的图像关于点（1,0）对称
B. f(x)在（0,2）单调递减
C. y f(x)的图像关于直线x1对称
D. f(x)在（0,2）单调递增
1
12．设函数f x x ax bx，若x1是f x的极大值点，则a的取值范围是ln
2
2
（）
A. 1,0
B. 1,
C. 0,1
D. 1,
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．如下图，由函数f(x)x2x的图象与x轴、直线x2围成的阴影部分的面积为
__________.
14．已知函数f x ln x，则函数g x f x f'x在区间2,e
上的最大值为__________．
15．已知f(x)xe x，g(x)(x1)2a，若1,2，使
x x R
得成立，则实数的取值范围是____________．
f(x)g(x)a
21
2
16．已知函数21，其中，若存在唯一的整数，使得
f x e x ax a a x
x
f x a e
，则的取值范围是.( 为自然对数的底数)
三．解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．选修4-5：不等式选讲
已知f(x)|x2||2x1|，M为不等式f(x)0的解集.
（1）求M；
（2）求证：当x,y M时，|x y xy|15.
18．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，过点P(2,1)的直线l的倾斜角为45，以坐标原点为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin4c os，直线与曲线的交
l C
2
点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA||PB|及|AB|的值.
19．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PCD为等边三角形，
BC AB M BC PCD ABCD
2
，点为中点，平面平面.
（1）求异面直线PD和AM所成角的余弦值；
（2）求二面角P AM D的大小.
3
20．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方
图.
（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率；
（Ⅱ）假设该市高一学生的体重X服从正态分布.
N57,a
2
（ⅰ）利用（Ⅰ）的结论估计该高一某个学生体重介于54～57kg之间的概率；
（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57kg之间的人数为Y，利用
（ⅰ）的结论，求Y的分布列及E(Y).
ln x a
f x a R
21．已知函数
.
x
（1）若曲线y f x在点1,f1处的切线与直线x y10平行，求a的值；
（2）在（1）条件下，求函数f x的单调区间和极值.
22．已知函数f x x33x2m,g x3e x61m x3（m R,e为自然
对数的底
数）
（Ⅰ）试讨论函数f x的零点个数；
（Ⅱ）证明：当m0且x0时，总有g x f'x.
4
参考答案
1-12．
DABABCCABDCB
[ 1
,)
3
,1
1
13．1;14．
;15．
;16．
1
e
e
2e
17．试题解析：（1）解：
f (x )
x 3, x 3x
1,2
x 3, x
2 x
1 2
1 2
当 x
2 时，由 x 3
0得 x 3 ，舍去； 1 1
1
1
x
当 时，由 得
，即
；
2 x
3x 1
x
2
3
3 2
1
1
x
当
时，由 得 ，
即
；
x
x 3
0 x 3
3 2
2
1
综上， M
( ,3) . 3
（2）证明：∵ x , y M ，∴| x | 3，| y | 3，
∴| x
y xy || x y | | xy || x | | y | | xy || x | | y | | x |
| y | 3 3 3
3
15.
sin
4 c os
2
sin 2
4
cos
2
18．试题解析： （1）∵ ，∴
，
∵
cos x ，
sin
y ，
y 2 4x
∴曲线C 的直角坐标方程为 ．
（2）∵直线l 过点 P (2,
1) ，且倾斜角为 45
，
2 x 2
t ,
2
∴l 的参数方程为
（ 为参数），
t
2 y 1
t
2
y 2 4x
t 2 6 2t 14
0 代入
，得
，
设点 A ， B 对应的参数分别为t ，t ，
1
2
t 1t 2
14
6 2, ∴
，
t 1 t
2
∴| PA || PB |14,
| AB
t t t t 2
t t (6 2)2
4(14) 8 2
| || AB t t t t 2
t t
(6 2)2
4
(14) 8 2 1 | ( ) 4
2
1
2
1 2
.
19．试题解析：
取CD的中点O，连接OP，
PCD为等边三角形，
OP CD PCD ABCD
，又平面平面，
OP 平面ABCD
以O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz . BC 2AB，不妨设AB 2则BC 22,依题意可得：221,
01
00
3(21,0
A ，，D ，，，P，，，M，）
（1）PD （0，1，3)，AM
2，2，0,
从而PD AM
2, PD 2，AM 6
cos26
PD，AM
PD AM
PD AM
266
6
于是异面直线PD和AM所成角的余弦值为.
6
（2）因为OP 平面ABCD，所以OP （0，0，3）是平面ADM的法向量，
设平面PAM的法向量为n
x，y，z，又P A
22，1，3，
22x y
3z0
由n P即，令y 得n
21
3
1，，
2x 2y
于是
cos n，OP
n OP20103
32
2
n OP2
21(3)3
22
从而二面角P AM D的大小为45.
20.试题解析：
1
0.040.015
4
（Ⅰ）这400名学生中，体重超过60kg的频率为，
1
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率为.
4
（Ⅱ）（ⅰ）∵，，∴，
X～N P(X60)1(54)1
57,P X
2
44
11
∴，∴.
P X(5457)111
(5460)12P X
42224
（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重
6
复实验，
i
3
i
1
1 3
其 中 体 重 介 于 54～57kg 之 间 的 人 数
3, ， P Y i C
，
Y
B
～
i
3
4
4
4
i 0,1, 2, 3
.
所以Y 的分布列为
Y 0 1 2 3
P
27 64
27 64 9 64
1 64
1 3 EY 3
4 4
.
21．试题解析：（1）函数 f x
的定义域为
x x 0
,
1
ln x a
所以
又曲线 y f x
在点
1, f
1处的切线与直线 x
y
1 0平
行，
f x
.
x
2
所以 f
11 a 1,即a 0.
（2）令 f
x 0,得x e
当 x 变化时， f
x , f x
的变化情况如下表：
+ 0 —
极大值
由表可知： f x
的单调递增区间是
0,e
，单调递减区间是
e
,
所以 f
x 在x
e 处取得极大值，
ln e e
. 1 e
f x f e
极大值
22．
试题解析：（Ⅰ）f x x x m零点个数即为方程x33x2m的根的个数.
332
记h x x33x2m，则h'x3x x2，令h'x0得x0或x2. 当x变化时，h'x,h x的变化情况如下表：
7
x ,0
0 0, 2
2 2,
h x
'
h x
单调递增
极大值 0
单调递减
极小值
4
单调递增
故可画出 h 'x
的草图如图所示：
由图象知：当 m 4 或 m 0时，函数 f x
有一个零点；
当 m 4或 m 0时，函数 f x
有两个零点；
当
4 m 0 时，函数 f x
有三个零点.
（Ⅱ）
，设函数
，
f x x 2 x
'
3 6
u x
g x
f x
3e x
3x 2
6mx
3(x 0)
则 '
3
2 2
，
u x e x x m
v x
e
x m '
x
2 记
2 2 ，
则
，
x
v x e
当 x 变化时， v 'x
,v
x
的变化情况如下表：
x 0, ln2
ln2
ln2,
v x
'
v x
单调递减
极小值
单调递增
由上表可知 v x v
ln2，而
，
v ln2 e
2ln2 2m 2 ln2 2m 2 m ln2 1
ln2
由 m 0知， m ln2 1.
所以 v
ln2
0，所以 v
x 0 ，即u 'x 0 ，所以u x
在区间
0,
上为增函
数，
所以当 x 0 时， u
x u 0 0.
即当 m
0且 x 0 时， g x f '
x
.
8。