椭圆中三角形【范本模板】

椭圆中三角形（四边形）面积最值求解策略
最值问题是一种典型的能力考查题,能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略
一 利用椭圆的几何性质（对称性、取值范围等） 例 1 已知椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b y a x 的
右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点,求三角形ABF 面积的最大值.
分析：将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和,并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解
解析：因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0，y 0）(y 0〉0)， 设三角形ABF 的面积为S,则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0， 0〈y 0≤b ，∴ S=cy 0≤bc 。

所以三角形ABF 面积的最大值是bc.
点评： 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值,是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。

二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2,0),C （0,1）是它的两个顶点，直线y=kx （k>0)与椭圆相交于B,D 两点,求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再
求函数的最大值。

解析：因为点A(2，0)，C （0，1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是
124
2
=+y x ，由椭圆的对称性知,
点B,D 关于原点对称，设点B(x 0,y 0）（x 0〉0)，则
12
04
20=+y x ，即442020=+y x .设四边形ABCD 的
面积为S ，则S=S △ABD + S △BCD =2S △AOB +2S △COB =｜0A|×y 0+|0C ｜•x 0=2y 0+x 0。

法一:
12
04
2
0=+y x 可设x 0
=2cos θ
，y 0=sin θ，∴S=2y 0+x 0=2sin θ+2cos θ=2
2
sin （θ+450
）≤22，当且仅当θ
=450
时取等号。

故四边形ABCD 面积的最大值是2
2.
法二： S=2y 0+x 0=
2
00)2(y x +=
02
02044y x y x ++=
≤••+00224y x
442
02
0++y x =22,当且仅当2y 0
=x 0
=2时取等号。

故四边形ABCD 面积的最大值是22。

点评: 将四边形ABCD 的面积表示成关于点B 的坐标（x 0，y 0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD 的面积表示成关于k 的函数，则运算量要大许多. 三 巧设直线方程，简化运算 例3 已知椭圆C: 13
4
22
=+
y x ，若经过椭圆右焦点F 2作直
线l 交椭圆于A ，B 两点,求1ABF ∆面积的最大值。

分析： 直线l 过x 轴上的一点,故可设直线l 方程为1+=my x
可简化讨论和运算，不会出错,认真领会。

解 :设直线AB 的方程为
1+=my x ()
R m ∈把
1
+=my x 代入
1
3
4
22
=+
y x 得
()
964322
=-++my y m
①显然0
>∆设A
()
11,y x ,B
()
22,y x 则=-⨯⨯=21212y y S 2
1y y -又
因
为
=
+21y y 4
362+-m m ，=
⋅21y y 4
39
2+-m ,
=-221)(y y 4)(221-+y y 2
1y y ⋅=48
2
22)43(33++m m 令
2
33m t +=则
,3≥t =
-221)(y y t
t 1
48+由于函数
t
t y 1
+=在[)+∞,3上单调递增，所以3101≥+t t 故9)(2
21≤-y y 即3≤S
故1ABF ∆面积的最大值等于3。

点评：解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同,具体求最值可用到配方法，不等式法，换元法等。

四 构造关于k 的函数求最值 例4 过点P(3,0)的直线l 与椭圆13
2
2=+
y x 相交于不同的两
点E ，F,求∆OEF （O 为坐标原点）面积的最大值。

分析:将∆OEF 的面积分割成两个三角形的面积之差，并表示成关于k 的函数，然后利用换元法、配方法求最大值。

解析：显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为：y=k(x —3)(k ≠0）代入132
2=+
y x 消去y 整理得
(k 2+3)x 2-6k 2x+9k 2—3=0,=∆
36k 4-4(k 2+3） (9k 2—3)〉0,得0〈k 2〈83。

而S
△OEF
=｜S △OPE -S △OPF ｜=
2
3｜y 1—y 2|=
2
3×|k ｜×｜x 1—x 2|=
2
3｜k|
()212214x x x x -+=3
9
62492442++-k k k k 令k 2=t ，则()83
,0∈
t ,S
△OEF
=
39
624922
++-t t t t 再令t+3=m ， S △OEF =3
241532432
-+-m m ,m ∈(3，383)，配方易求得t=173
时,∆OEF 面积的最大值为
2
3。

点评：利用面积分割,简化运算，注意∆〉0是直线与椭圆相交于不同两点的充要条件，任何时候不能忘，求k 取值范围不能忽视。

五 构造关于b 的函数求最值 例5 已知椭圆
14
2
22=+
y x ,过椭圆上的点P （1，2）作倾斜
角互补的两条直线PA ，PB 分别交椭圆于A ，B 两点。

(1）求证直线AB 的斜率为定值2（2)求PAB ∆面
积的最大值.
分析：利用(1）结论以b 为变量构造函数，用弦长和点到直线距离求面积。

解析：（1）略（2)由（1)可设直线AB 的方程为：y=2x+b 代入14
22
2
=+
y x 得4x 2+22bx+b 2—4=
0,()
0416822
>--=∆b b
,b 2〈8。

设A ()11,y x ,B ()22,y x , AB|=()2
21+
()2
12214x x x x -+=
2
2
43b -，点
P 到直线AB 的距离d=
3
b ，
⋅=⋅=∴∆b d AB S PAB 2
1
2122
4b -=
()
1642
22
21+--b ≤2，当且仅当
b=±2时取等号,
所以PAB ∆面积的最大值是2。

点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线距离公式，三角形面积求法等知识， 六 利用垂直关系求四边形面积最值 例6 P,Q,M,N 四点都在椭圆12
2
2
=+
y x 上，F
为椭圆在y
轴正半轴上的焦点，已知PF =1λFQ ，MF =2λFN ,且MF PF ⋅=0，求四边形PMQN 的面积的最
大值和最小值。

分析：利用垂直关系建立面积关于k 的函数，然后运用单调性求最值
解析：由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0，1)，且P Q ⊥MN ，直线PQ,MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k,又PQ 过点F （0，1），故PQ 方程为y=kx+1.代入椭圆12
2
2=+
y x 中得(2+k 2）
x 2+2kx —1=0，
设P
()11,y x ，Q ()22,y x 则｜PQ ｜=
2
1k
+()212214x x x x -+=()2
22122k k ++①当k ≠0时，MN 的斜率为—
k
1,用-
k
1代换k 可推得|MN ｜=
()()()
212
12122
k
k -+
-+，故四边形面积S=2
1｜PQ ｜｜
MN|=2
22212
2524k
k k k ++⎪
⎭⎫ ⎝
⎛++，令u=k 2
+
2
1k ,得S=
()()u u
u 251252412+++-=，因为u=k 2
+2
1k ≥2，当k=±1时,u=2，S=9
16且S 是以u 为自变量的增函数，所以916≤S 〈2，②当k=0时,MN 为椭圆长轴，｜MN ｜=22,|PQ ｜=2，
S=
2
1
|PQ ｜｜MN ｜=2，
综合①②知，四边形PMQN 面积的最大值为2,最小值为9
16. 点评：本题综合考查了向量共线、垂直,弦长求法，直线与椭圆的位置关系，四边形面积,函数最值求法等知识。

分类讨论思想及综合运用知识解题能力。

7,已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A,B 两点处的切线交于点M 。

(1）求证：A ，M,B 三点的横坐标成等差数列；（2）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点,求四边形ABCD 面积的最小值。

解析:（1)由已知，得F （0,1）,显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程为y=kx+1(k ≠0）,
A ()11,y x ,
B ()22,y x ，由⎩⎨⎧+==1
42kx y y x ，消去y ，得x 2-4kx —4=0,显然∆=16k 2+16>0。

∴x 1+x 2=4k ，
x 1x 2=-4，由x 2=4y ，得y=
4
1
x 2， ∴
y '=2
1
x, ∴直线AM 的斜率为k AM =
2
1x 1。

直线AM 的方程为y —y 1=
2
1
x 1（x-x 1）
，又x 12=4y 1, ∴直线AM 的方程为x 1x=2(y+y 1）①同理，直线BM 的方程为x 2x=2(y+y 2)②由②—①并据x 1≠x 2，得,点M 的横坐标x=
2
1
（ x 1+x 2)。

即A ，M,B 三点的横坐标成等差数列.（2）由①②易得y=—1， ∴点M 的坐标为（2k,-1） （k ≠0)。

∴k MF =k k 122-=-，则直线MF 的方程为y=k
1-x+1，又|AB ｜=2
1k +()212214x x x x -+
=4(k 2+1)。

用k
1-
代换k 得|CD ｜=
()2
11k
-+()212214x x x x -+=4(2
1
k +1)， k MF k AB =—1, ∴A B
⊥CD. ∴S ABCD =
2
1|AB ｜｜CD ｜=8(2
1k +1） （k 2+1)=8(k 2+2
1k +2)≥32, 当且仅当k=±1时取等号，所以
四边形ABCD面积的最小值我32。